Урок 9. Сила всесвітнього тяжіння

ВИДЕО УРОК

Одна з найважливіших в природі сил – сила гравітації, або сила тяжіння. Вона діє на всі тіла у Всесвіті.

Людині давно вже відома сила, що примушує усі тіла падати на Землю. Але до  XVII ст. вважалося, що тільки Земля має особливу властивість притягувати до себе тіла, що знаходяться поблизу її поверхні.Вперше до висновку про існування сил всесвітнього тяжіння прийшов Ньютон, коли вивчав рух Місяця навколо Землі і планет Сонячної системи навколо Сонця. У 1667 р. Ньютон висловив припущення, що взагалі між усіма тілами діють сили взаємного тяжіння. Він назвав ці сили силами всесвітнього тяжіння.

Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння, тобто формулу для розрахунку сили гравітаційної взаємодії. Згідно з цим законом рух з прискоренням можливо тільки під дією сили. Оскільки тіла, що падають, рухаються з прискоренням, то на них повинна діяти сила, спрямована вниз, до Землі.

Але немає підстав  вважати, що тільки Земля наділена винятковою властивістю притягувати до себе тіла. Чому ж ми не помічаємо взаємного тяжіння між тілами, що оточують нас ? Можливо, це пояснюється тим, сто сили тяжіння між ними занадто малі ?

Ньютону вдалося показати, що сила тяжіння між тілами залежить від мас обох тіл і, як виявилося, досягає помітної величини тільки тоді, коли взаємодіючі тіла (чи хоч би одно з них) мають досить велику масу. Прискорення вільного падіння відрізняється тією особливістю, що воно в цьому місці однаково для усіх тіл, для тіл будь-якої маси. Як пояснити цю властивість ?

Єдине пояснення, яке можна знайти тому, що прискорення не залежить від маси тіла, полягає в тому, що сама сила

з якою Земля притягує тіло, пропорційна його масі  m.
Дійсно, в цьому випадку збільшення маси  m, наприклад, удвічі приведе і до збільшення абсолютного значення сили

теж удвічі, а прискорення, яке дорівнює відношенню

залишиться незмінним. Ньютон і зробив цей єдино правильний висновок: сила всесвітнього тяжіння пропорційна масі того тіла, на яке вона діє. Але ж тіла притягуються взаємно. А за третім законом Ньютона на обидва тіла, що притягуються, діють однакові по абсолютному значенню сили. Значить, сила взаємного тяжіння має бути пропорційна масі кожного з тих, що притягуються тіл. Тоді обидва тіла отримуватимуть прискорення, які не залежать від їх мас.

Якщо сила пропорційна масі кожного зі взаємодіючих тіл, то це означає, що вона пропорційна добутку мас обох тіл.

Від чого ще залежить сила взаємного тяжіння двох тіл ? Ньютон припустив, що вона повинна залежати від відстані між тілами. З досвіду добре відомо, що поблизу Землі прискорення вільного падіння дорівнює  9,8 м/сек²  і воно однакове для тіл, що падають з висоти  1, 10  або  100 м. Але звідси ще не можна зробити висновок, що прискорення не залежить від відстані до Землі. Ньютон вважав, що відлічувати відстані потрібно не від поверхні Землі, а від її центру. Але радіус Землі дорівнює  6400 км. Зрозуміло тому, що декілька десятків або сотень метрів над поверхнею Землі не можуть помітно змінити прискорення вільного падіння.

Щоб з'ясувати, як впливає відстань між тілами на силу їх взаємного тяжіння, треба знати, з яким прискоренням рухаються тіла, віддалені від поверхні Землі на великі відстані.

Ясно, що виміряти прискорення вільного падіння тіл, що знаходяться на висоті в декілька тисяч кілометрів над поверхнею Землі, важко. Зручніше виміряти доцентрове прискорення тіла, що рухається навколо Землі по колу під дією сили тяжіння до Землі. Таким же прийомом користувалися при вивченні сили пружності. Вимірювали доцентрове прискорення циліндра, що рухається по колу під дією цієї сили.

У вивченні сили всесвітнього тяжіння сама природа прийшла на допомогу фізикам і дала можливість визначити прискорення тіла, що рухається по колу навколо Землі. Таким тілом є природний супутник Землі – місяць. Якщо вірне припущення Ньютона, то потрібно вважати, що доцентрове прискорення місяцю при її русі по колу навколо Землі повідомляє сила її тяжіння до Землі. Якби сила тяжіння між Місяцем і Землею не залежала від відстані між ними, те доцентрове прискорення місяця було б таким же, як прискорення вільного падіння тіл поблизу поверхні Землі. Насправді доцентрове прискорення, з яким рухається місяць по орбіті, рівне  0,0027 м/сек². А це приблизно в  3600  разів менше, ніж прискорення тіл, що падають, поблизу Землі. В той же час відомо, відстань від центру Землі до центру Місяці дорівнює  384 000 км. Це в  60 разів більше радіусу Землі, тобто відстані від центру Землі до її поверхні. Таким чином, збільшення відстані між тілами, що притягуються, в  60  разів призводить до зменшення прискорення в  60² раз. Звідси можна зробити висновок, що прискорення, що повідомляється тілам силою всесвітнього тяжіння, тобто і сама ця сила обернено пропорційні до квадрата відстані між взаємодіючими тілами. Такого висновку і дійшов Ньютон.

Можна, отже, написати, що два тіла масою  М  і  m  притягуються один до одного з силою

абсолютне значення якої виражається формулою

де   r – відстань центрами тіл,

G – коефіцієнт пропорціональності, однаковий для усіх тіл в природі.

Називається цей коефіцієнт постійною всесвітнього тяжіння або гравітаційної постійної.

Приведена формула виражає закон всесвітнього тяжіння, відкритий Ньютоном.

Усі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною твору їх мас і обернено пропорційною до квадрата відстані між ними.

Під дією сили всесвітнього тяжіння рухаються і планети навколо Сонця, і штучні супутники навколо Землі.

Але що потрібно розуміти під відстанню між взаємодіючими тілами ?

Виявляється, формула, що виражає закон всесвітнього тяжіння,

справедлива, коли відстань між тілами настільки велика в порівнянні з їх розмірами, що тіла можна вважати матеріальними точками. Спрямована ця сила уздовж лінії, що сполучає матеріальні точки. Матеріальними точками при обчисленні сили тяжіння між ними можна рахувати Землю і Місяць, планети і Сонце.

Якщо тіла мають форму куль, то навіть у тому випадку, коли їх розміри порівнянні з відстанню між ними, вони притягуються між собою як матеріальні точки, розташовані в центрах куль. В цьому випадку  r – ця відстань між центрами куль, а сила спрямована уздовж лінії, що сполучає центри куль.

Формулою

можна також користуватися при обчисленні сили тяжіння між кулею великого радіусу і тілом довільної форми невеликих розмірів, що знаходиться близько до поверхні кулі. Тоді розмірами тіла можна нехтувати в порівнянні з радіусом кулі. Саме так ми поступаємо, коли розглядаємо тяжіння різних тіл до земної кулі. Тоді  r  у формулі

– це радіус земної кулі.

Сила тяжіння – це ще один приклад сили, яка залежить від взаємного розташування взаємодіючих тіл, тобто від їх координат. Адже сила тяжіння залежить від відстані  r  між тілами.

Умови застосовності закону всесвітнього тяжіння.

– якщо розміри тел нехтує малі в порівнянні з відстанню між ними;

– якщо обидва тіла однорідні і мають кулясту форму;

– якщо одне з тіл – куля, розміри і маса якого значно більше, ніж у другого тіла (будь-якої форми), що знаходиться на поверхні цієї кулі або поблизу нього.

Остання умова допомагає розрахувати силу тяжіння, що діє на тіла, які знаходяться поблизу поверхні Землі. При цьому відстань між тілами вважається рівним радіусу Землі (6370 км), так як розміри тіл, що знаходяться поблизу Землі, нехтує малі в порівнянні із земним радіусом.

ПРИКЛАД:

За третім законом Ньютона яблуко, що висить на гілці або падлюче з неї з прискоренням вільного падіння, притягує до себе Землю з такої ж по модулю силою, з якою його притягує Земля. Але прискорення Землі, викликане силою її тяжіння до яблуку близько до нуля, оскільки маса Землі незрівнянно більша за масу яблука.

Постійна всесвітнього тяжіння.

У формулу, що виражає закон всесвітнього тяжіння Ньютона, входить коефіцієнт  G – постійна всесвітнього тяжіння (гравітаційна постійна).

Коефіцієнт  G  має простий і ясний сенс. Якщо маси обох взаємодіючих тіл  М  і  m  дорівнюють одиниці (М = m = 1 кг) і відстань  r  між ними теж дорівнює одиниці (r = 1 м), то, як це видно з формули 

Постійна всесвітнього тяжіння чисельно дорівнює силі тяжіння між двома тілами (матеріальними точками) масою  1 кг  кожне, коли відстань між ними рівна  1 м.

З формули для закону всесвітнього тяжіння витікає, що

Якщо сила вимірюється в ньютонах (Н), відстань в метрах (м) і маса в кілограмах (кг), то величина, що стоїть в правій частині рівності, виражається в

Але у будь-якій формулі, якщо вона правильна, величини, що стоять в обох частинах рівності, повинні вимірюватися в однакових одиницях (5 м, наприклад, не можуть дорівнювати  5 кг). Звідси витікає, що постійна  G  повинна виражатися в

Числове значення постійної всесвітнього тяжіння може бути визначено тільки з досвіду, в якому треба, очевидно, яким-небудь способом виміряти силу

що діє між двома тілами відомих мас  m₁  і  m₂, розташованими на відомій відстані  r  одно від іншого.

ДОСВІД:

До однієї з чашок чутливих вагів на довгій нитці підвісили скляну кулю, наповнену ртуттю

На іншу чашку вагів помістили гирі, що урівноважують ваги. Після того, як ваги були ретельно урівноважені, під кулею з ртуттю, як можна ближче до нього, встановили кулю зі свинцю великої маси (близько  6000 кг). Внаслідок тяжіння ртутної кулі до свинцевого рівновага куль порушувалася. Щоб знову урівноважити ваги, потрібно на чашку з гирями покласти додаткову гирю. Сила тяжіння цієї додаткової гирі до Землі, очевидно, дорівнює силі тяжіння ртутної кулі до свинцевої кулі, тобто

Тут  m_св – маса свинцевої кулі, m_рт – маса ртутної кулі і  r – відстань між їх центрами. Звідси легко вичислити значення  G:

З цього і з багатьох інших дослідів було отримано чисельне значення постійною  G:

Це дуже мала величина. Саме завдяки тому що вона така мала, ми і не помічаємо тяжіння між тілами, що оточують нас. Адже навіть дві кулі масою кожен в тонну при відстані між ними в  1 м  притягуються один до одного з силою всього в  6,67  стотисячних доль ньютона.

ЗАДАЧА:

Ракета стартує з Місяця вертикально вгору з прискоренням  20 м/сек². Скільки важить під час старту космонавт, маса якого дорівнює  90 кг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Сила тяжіння космонавта на Місяць дорівнює

где

– прискорення вільного падіння на Місяці (воно в  6 разів менше земного).

g_л = 9,81 : 6 ≈ 1,635 (м/сек²)

Згідно з другим законом Ньютона

где

– сила реакції опори. У проекції на вертикальну вісь отримуємо, що:

ma = –mg_л + N

звідки

N = m(g_л + а).

Згідно з третім законом Ньютона вага космонавта по модулю дорівнює силі реакції опори. отже,

Р = m(g_л + а) =

90 кг ∙ (1,635 м/сек² + 20 м/сек²) =

90 кг ∙ 21,635 м/сек² ≈ 1947,15 Н.

ВІДПОВІДЬ:  1947,15 Н