Урок 11. Вага тіла

ВИДЕО УРОК

Силу тяжіння, як і всяку іншу силу, можна вимірювати динамометрами. Динамометри, спеціально призначені для виміру сили тяжіння, називають пружинними вагами, тому що з їх допомогою можна виміряти вагу тіла. Що це за величина – вага ?

ДОСВІД:

Розглянемо процес деформації пружини динамометра, коли до неї підвішений деякий вантаж. Звернемо увагу не лише на те, що відбувається з пружиною, але і на те, що відбувається з самим вантажем, підвішеним до пружини.

На малюнку

зображена пружина динамометра до того, як до неї був підвішений вантаж. Це недеформована пружина (масою пружини нехтуємо).
Підвісимо до пружини вантаж. При своєму падінні він захоплює за собою і нижній кінець пружини, внаслідок чого пружина деформується, як це показано на малюнку.

Сила пружності, що виникає при цьому

теж прикладена до тіла, але спрямована вгору. При певному значенні подовження пружини сила пружності

по абсолютному значенню стає рівній силі тяжіння

Під дією цих двох сил, рівнодійна яких дорівнює нулю, вантаж встановлюється в стані спокою.
Але якщо пружина динамометра діє на вантаж, то за третім законом Ньютона і вантаж діє на пружину з такою ж по абсолютному значенню силою, але спрямованою в протилежну сторону, тобто вниз. Це теж сила пружності. Виникає вона через те, що і вантаж (а не тільки пружина) деформується. У сильно збільшеному виді ця деформація (подовження) показана на малюнку

Ось цю силу, прикладену не до тіла, а до пружини, і називають вагою тіла. Вагу тіла прийнято означати буквою  Р.
Якщо тіло не підвішувати, а помістити на горизонтальну опору,

те воно і на опору діє з силою, що теж називається вагою.

Вагою тіла називається сила, з якою нерухоме відносно Землі тіло давить на горизонтальну підставку, на якій воно лежить, або розтягує нитку, на якій воно висить.

Вага тіла приблизно дорівнює силі тяжіння тіла Землею. Згідно з другим законом Ньютона, вага тіла

P = mg.

Вага тіла в системі СІ вимірюється тими ж одиницями, що і сила – ньютонами. На практиці часто користуються одиницею сили (ваги) 

1 кГ.

1 кГ – це сила, що повідомляє масі  1 кг  прискорення 

g = 9,80665 м/сек².

Очевидно,

1 кГ = 1 кг × 9,80665 м/сек²

≈ 9,8 н = 9,8 × 10⁵ дин.

Вага тіла – це сила, прикладена не до тіла, а до опори або підвісу.

Не обов'язково, щоб опора або підвіс були спіральною пружиною. Тіло можна підвісити на нитці, на дроті або помістити на стіл. На нитку, дріт або стіл діятиме вага тіла.

У розглянутих прикладах вага тіла, очевидно дорівнює силі тяжіння. Але це вірно тільки тоді, коли опора або підвіс знаходяться у спокої відносно Землі (чи рухаються прямолінійно і рівномірно).

Вага і сила тяжіння не одно і те ж: вага і сила тяжіння завжди прикладені до різних тіл.

Вимір маси тіл зважуванням.

Масу тіла можна визначити, вимірюючи відношення прискорень при взаємодії цього тіла з тілом, прийнятим за еталон маси. Цей спосіб дуже незручний і на практиці зазвичай не застосовується. Розглянемо інший, зручніший спосіб виміру маси. Цей спосіб називають зважуванням. Визначення маси методом зважування ґрунтоване на тому, що сила тяжіння, що діє на тіло, і маса цього тіла пропорційні один одному:

А силу тяжіння можна вимірювати на вагах, оскільки вона по абсолютному значенню дорівнює вазі тіла, якщо ваги разом із зважуваним тілом покояться відносно Землі. Тому, вимірявши вагу тіла

пружинними вагами і знаючи прискорення вільного падіння

у місці, де робиться зважування, можна вичислити масу по формулі:

Ще зручніше визначати масу зважуванням на важільних вагах. На важільних вагах порівнюють ваги тіл і гир. Коли ваги урівноважені, можна стверджувати, що вага тіла дорівнює вазі гир. Але якщо рівні ваги тіл, то рівні їх маси. Оскільки на гирях (важках) вказані саме їх маси, то масу тіла ми визначаємо, просто склавши числа, вказані на важках.

Важільні ваги дуже чутливий прилад. Найменша маса, яку можна виміряти найбільш чутливими вагами, складає декілька мільйонних доль грама.

Вага тіла, що рухається з прискоренням.

Ми знаємо, що вага тіла – це сила, з якою тіло діє на опору або на підвіс. Якщо опора або підвіс покояться відносно Землі або рухаються відносно неї прямолінійно і рівномірно, то вага тіла дорівнює силі тяжіння

Але вага тіла може істотно відрізнятися від значення сили тяжіння, якщо опора або підвіс рухаються з прискоренням вгору або вниз. Чому ?

Подивимося, що покажуть пружинні ваги, якщо вони разом з підвішеним до них тілам рухаються з прискоренням вгору або вниз.

ДОСВІД:

Підвісимо до пружинних вагів який-небудь вантаж і дамо їм можливість рухатися з деяким прискоренням

Для цього можна узяти ваги з вантажем в руку і різко відпустимо їх вниз,

повідомивши їм прискорення, спрямоване вниз. Ми побачимо, що під час опускання вагів їх стрільця переміщається вгору. Це означає, що вага вантажу під час опускання стала менше, ніж він був у разі вагів, що покояться. Якщо, навпаки, різко підняти ваги, стрілка опуститься, показуючи, що вага вантажу збільшується.

Чим пояснюється це зменшення або збільшення ваги при прискореному русі динамометра з вантажем ?
Відповідь на це дає другий закон Ньютона. Подивимося, які сили діють на вантаж. На нього діють сила тяжіння

спрямована вниз, і сила пружності

пружини вагів, спрямована вгору. Під дією цих двох сил тіло і рухається з прискоренням

яке може бути спрямоване як вниз, так і вгору залежно від того, чи будемо ми опускати ваги або піднімати їх.
За другим законом Ньютона

Звідси

З такою ж по модулю силою, але спрямованою протилежно силі

вантаж діє на пружину. А ця сила і є вага вантажу

Отже,

Вектори

паралельні вертикальною примою. Направивши координатну вісь  Х  по вертикалі вниз, можна формулу

написати у формі алгебри для проекцій цих векторів на вертикальну вісь:

P = m(g – a).

Якщо ваги рухаються з прискоренням

вниз, то проекція цього вектору на координатну вісь позитивна. Якщо  a < g, то з формули

P = m(g – a)

cледует, що  P < mg.

Вага тіла, напрям прискорення якого співпадає з напрямом прискорення вільного падіння, менше ваги тіла, що покоїться.

Це видно на малюнку

Якщо ж ваги рухаються з прискоренням

вгору, то проекція вектору прискорення на координатну вісь негативна, і згідно з формулою

P = m(g – a)

P ˃ mg.

Якщо прискорення тіла спрямоване убік, протилежну до прискорення вільного падіння, його вага більше ваги тіла, що покоїться.

Збільшення ваги тіла, викликане його прискореним рухом, називають перевантаженням.

Вага зменшується або збільшується не лише тоді, коли тіло підвішене до пружинних вагів. Те ж саме відноситься і до будь-якого підвісу, і до будь-якої опори.

ПРИКЛАД:

Автомобіль, що рухається по опуклому мосту, легше за той же автомобіль, що нерухомо стоїть на тому ж мосту.

Дійсно, рух по опуклому мосту – цей рух по частині кола. Тому автомобіль рухається з доцентровим прискоренням, рівним по за абсолютною величиною:

де  V – лінійна швидкість автомобіля, r – радіус кривизни. В мить, коли автомобіль знаходиться у вищій точці моста, це прискорення спрямоване по вертикалі вниз. Воно повідомляється автомобілю рівнодійної сили тяжіння

і сили

реакції моста.
Направимо координатну вісь  Х  вертикально вниз. Тоді за другим законом Ньютона

звідки

Вага автомобіля (сила, з якою він давить на міст) за третім законом Ньютона рівна  –

Отже,

P < mg.

Точно також зменшується і вага пасажирів, що їдуть в автомобілі по опуклому мосту. Зменшення ваги тим більше, чим більше швидкості автомобіля.

ПРИКЛАД:

Будь-які тіла, що покояться на екваторі, завдяки обертанню Землі знаходяться в змозі, аналогічному стану пасажирів автомобіля, що рухається по опуклому мосту. Їх вага обчислюється за формулою:

де  R – радіус Землі  ω – кутова швидкість її обертання. На полюсі вага тих же тіл була б рівна  mg. Оскільки

𝜔²R ≈ 8,6 ∙ 10^-4 м/сек²,

те при грубих розрахунках величиною  𝜔²R  зазвичай нехтують і вважають, що і на екваторі вага тіла рівна  mg.

ПРИКЛАД:

Льотчик, що виводить літак з пікірування,

у нижній частині траєкторії піддається перевантаженню. Насправді, в цій частині траєкторії літак рухається по колу з доцентровим прискоренням, спрямованим до її центру по вертикалі вгору. Абсолютне значення прискорення рівне:

Але його проекція на вертикальну вісь, спрямовану вниз, негативна:

Отже, вага льотчика, тобто сила, з якою він діє на опору (сидіння), визначається формулою:

P ˃ mg.

Таким чином, вага льотчика більше <<нормальної>> ваги, рівної силі тяжіння  mg, на величину

Якщо при виході з пікірування доцентрове прискорення

перевищує по абсолютному значенню прискорення вільного падіння    в  g  і  n  разів

те вага льотчика

P = m(g + ng) = mg(n + 1),

тобто він буде в  n + 1  раз більше <<нормальної>> ваги льотчика.

При перевантаженні збільшують свою вагу і внутрішні органи льотчика, збільшується сила, з якою вони діють один на одного і на його остов (скелет). Це викликає хворобливі відчуття, а при надмірному перевантаженні може стати небезпечним для здоров'я. Треновані пілоти витримують перевантаження до  10 mg  ( зазвичай перевантаження виражають не через величину  mg, а через величину  g  і говорять, що перевантаження рівне, наприклад, 10 g).

Урок 11. Вес тела

ВИДЕО УРОК

Силу тяжести, как и всякую другую силу, можно измерять динамометрами. Динамометры, специально предназначенные для измерения силы тяжести, называют пружинными весами, потому что с их помощью можно измерить вес тела. Что это за величина – вес ?

ОПЫТ:

Рассмотрим процесс деформации пружины динамометра, когда к ней подвешен некоторый груз. Обратим внимание не только на то, что происходит с пружиной, но и на то, что происходит с самим грузом, подвешенным к пружине.

На рисунке

изображена пружина динамометра до того, как к ней был подвешен груз. Это недеформированная пружина (массой пружины пренебрегаем).
Подвесим к пружине груз. При своём падении он увлекает за собой и нижний конец пружины, вследствие чего пружина деформируется, как это показано на рисунке.

Возникающая при этом сила упругости

тоже приложена к телу, но направлена вверх. При определенном значении удлинения пружины сила упругости

по абсолютному значению становится равной силе тяжести

Под действием этих двух сил, равнодействующая которых равна нулю, груз устанавливается в состоянии покоя.
Но если пружина динамометра действует на груз, то по третьему закону Ньютона и груз действует на пружину с такой же по абсолютному значению силой, но направленной в противоположную сторону, то есть вниз. Это тоже сила упругости. Возникает она из-за того, что и груз (а не только пружина) деформируется. В сильно увеличенном виде эта деформация (удлинение) показана на рисунке

Вот эту силу, приложенную не к телу, а к пружине, и называют весом тела. Вес тела принято обозначать буквой  Р.
Если тело не подвешивать, а поместить на горизонтальную опору,

то оно и на опору действует с силой, тоже называемой весом.

Весом тела называется сила, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на горизонтальную подставку, на которой оно лежит, или растягивает нить, на которой оно висит.

Вес тела приближённо равен силе притяжения тела Землёй. Согласно второму закону Ньютона, вес тела

P = mg.

Вес тела в системе СИ измеряется теми же единицами, что и сила – ньютонами. На практике часто пользуются единицей силы (веса) 

1 кГ.

1 кГ – это сила, сообщающая массе  1 кг  ускорение 

g = 9,80665 м/сек².

Очевидно,

1 кГ = 1 кг × 9,80665 м/сек²

≈ 9,8 н = 9,8 × 10⁵ дин.

Вес тела – это сила, приложенная не к телу, а к опоре или подвесу.

Не обязательно, чтобы опора или подвес представляли собой спиральную пружину. Тело можно подвесить на нити, на проволоке или поместить на стол. На нить, проволоку или стол будет действовать вес тела.

В рассмотренных примерах вес тела, очевидно равен силе тяжести. Но это верно только тогда, когда опора или подвес находятся в покое относительно Земли (или движутся прямолинейно и равномерно).

Вес и сила тяжести не одно и то же: вес и сила тяжести всегда приложены к разным телам.

Измерение массы тел взвешиванием.

Массу тела можно определить, измеряя отношение ускорений при взаимодействии этого тела с телом, принятым за эталон массы. Этот способ очень неудобен и на практике обычно не применяется. Рассмотрим другой, более удобный способ измерения массы. Этот способ называют взвешиванием. Определение массы методом взвешивания основано на том, что сила тяжести, действующая на тело, и масса этого тела пропорциональны друг другу:

А силу тяжести можно измерять на весах, так как она по абсолютному значению равна весу тела, если весы вместе с взвешиваемым телом покоятся относительно Земли. Поэтому, измерив вес тела

пружинными весами и зная ускорение свободного падения

в месте, где производится взвешивание, можно вычислить массу по формуле:

Ещё удобнее определять массу взвешиванием на рычажных весах. На рычажных весах сравнивают веса тел и гирь. Когда весы уравновешены, можно утверждать, что вес тела равен весу гирь. Но если равны веса тел, то равны их массы. Так как на гирях (разновесках) указаны именно их массы, то массу тела мы определяем, просто сложив числа, указанные на разновесках.

Рычажные весы очень чувствительный прибор. Наименьшая масса, которую можно измерить наиболее чувствительными весами, составляет несколько миллионных долей грамма.

Вес тела, движущегося с ускорением.

Мы знаем, что вес тела – это сила, с которой тело действует на опору или на подвес. Если опора или подвес покоятся относительно Земли или движутся относительно её прямолинейно и равномерно, то вес тела равен силе тяжести

Но вес тела может существенно отличаться от значения силы тяжести, если опора или подвес движутся с ускорением вверх или вниз. Почему ?

Посмотрим, что покажут пружинные весы, если они вместе с подвешенным к ним телам движутся с ускорением вверх или вниз.

ОПЫТ:

Подвесим к пружинным весам какой-нибудь груз и дадим им возможность двигаться с некоторым ускорением

Для этого можно взять весы с грузом в руку и резко отпустим их вниз,

сообщив им ускорение, направленное вниз. Мы увидим, что во время опускания весов их стрелка перемещается вверх. Это значит, что вес груза во время опускания стал меньше, чем он был в случае покоящихся весов. Если, наоборот, резко поднять весы, стрелка опустится, показывая, что вес груза увеличивается.

Чем объясняется это уменьшение или увеличение веса при ускоренном движении динамометра с грузом ?
Ответ на это даёт второй закон Ньютона. Посмотрим, какие силы действуют на груз. На него действуют сила тяжести

направленная вниз, и сила упругости

пружины весов, направленная вверх. Под действием этих двух сил тело и движется с ускорением

которое может быть направлено как вниз, так и вверх в зависимости от того, будем ли мы опускать весы или поднимать их.
По второму закону Ньютона

Отсюда

С такой же по модулю силой, но направленной противоположно силе

груз действует на пружину. А эта сила и есть вес груза

Следовательно,

Векторы

параллельны вертикальной примой. Направив координатную ось  Х  по вертикали вниз, можно формулу

написать в алгебраической форме для проекций этих векторов на вертикальную ось:

P = m(g – a).

Если весы движутся с ускорением

вниз, то проекция этого вектора на координатную ось положительна. Если  a < g, то из формулы

P = m(g – a)

cледует, что  P < mg.

Вес тела, направление ускорения которого совпадает с направлением ускорения свободного падения, меньше веса покоящегося тела.

Это видно на рисунке

Если же весы движутся с ускорением

вверх, то проекция вектора ускорения на координатную ось отрицательна, и согласно формуле

P = m(g – a)

P ˃ mg.

Если ускорение тела направлено в сторону, противоположную ускорению свободного падения, его вес больше веса покоящегося тела.

Увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением, называют перегрузкой.

Вес уменьшается или увеличивается не только тогда, когда тело подвешено к пружинным весам. То же самое относится и к любому подвесу, и к любой опоре.

ПРИМЕР:

Автомобиль, движущийся по выпуклому мосту, легче того же автомобиля, неподвижно стоящего на том же мосту.

Действительно, движение по выпуклому мосту – это движение по части окружности. Поэтому автомобиль движется с центростремительным ускорением, равным по по абсолютной величине:

где  V – линейная скорость автомобиля, r – радиус кривизны. В момент, когда автомобиль находится в высшей точке моста, это ускорение направлено по вертикали вниз. Оно сообщается автомобилю равнодействующей силы тяжести

и силы

реакции моста.
Направим координатную ось  Х  вертикально вниз. Тогда по второму закону Ньютона

откуда

Вес автомобиля (сила, с которой он давит на мост) по третьему закону Ньютона равен –

Следовательно,

P < mg.

Точно также уменьшается и вес пассажиров, едущих в автомобиле по выпуклому мосту. Уменьшение веса тем больше, чем больше скорость автомобиля.

ПРИМЕР:

Любые тела, покоящиеся на экваторе, благодаря вращению Земли находятся в состоянии, аналогичном состоянию пассажиров автомобиля, движущегося по выпуклому мосту. Их вес вычисляется по формуле:

где  R – радиус Земли  ω – угловая скорость её вращения. На полюсе вес тех же тел был бы равен  mg. Так как

𝜔²R ≈ 8,6 ∙ 10^-4 м/сек²,

то при грубых расчётах величиной  𝜔²R  обычно пренебрегают и считают, что и на экваторе вес тела равен  mg.

ПРИМЕР:

Лётчик, выводящий самолёт из пикирования,

в нижней части траектории подвергается перегрузке. В самом деле, в этой части траектории самолёт движется по окружности с центростремительным ускорением, направленным к её центру по вертикали вверх. Абсолютное значение ускорения равно:

Но его проекция на вертикальную ось, направленную вниз, отрицательна:

Следовательно, вес лётчика, то есть сила, с которой он действует на опору (сиденье), определяется формулой:

P ˃ mg.

Таким образом, вес лётчика больше <<нормального>> веса, равного силе тяжести  mg, на величину

Если при выходе из пикирования центростремительное ускорение

превышает по абсолютному значению ускорение свободного падения    в  g  и  n  раз

то вес лётчика

P = m(g + ng) = mg(n + 1),

то есть он будет в  n + 1  раз больше <<нормального>> веса лётчика.

При перегрузке увеличивают свой вес и внутренние органы лётчика, увеличивается сила, с которой они действуют друг на друга и на его остов (скелет). Это вызывает болезненные ощущения, а при чрезмерной перегрузке может стать опасным для здоровья. Тренированные пилоты выдерживают перегрузку до  10 mg  (обычно перегрузку выражают не через величину  mg, а через величину  g  и говорят, что перегрузка равна, например, 10 g).

Задания к уроку 11   

• Задание 1