Урок 28. Чотирикутник і коло

Якщо всі вершини чотирикутника лежать на колі, його називають вписаним у коло, а коло – описаним навколо чотирикутника.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних кутів дорівнюють  180⁰.

Якщо сума двох протилежних кутів опуклого чотирикутника дорівнює суми двох інших його кутів, то такий чотирикутник можна вписати в кола.

Якщо сума двох протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнює суми двох інших його сторін, то такий чотирикутник можна описати навколо кола.

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. 

У чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

a + c = b + d                

Не в кожний чотирикутник можна вписати коло і не навколо кожного чотирикутника – описати коло.

Навколо будь – якого  прямокутника можна описати коло. Центром кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину його діагоналей.

У будь – якій квадрат можна вписати коло й навколо квадрата можна описати коло.

Центром вписаного й описаного кіл є точка перетину діагоналей квадрата

ЗАДАЧА:

Чотирикутник  АВСD  вписаний в коло. Діагональ  АС  даного чотирикутника є діаметром кола. Знайдіть кут між діагоналями чотирикутника, що лежить проти сторони  AD, якщо  

∠ ВАС = 23⁰, ∠ DАС = 52⁰.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCD – даний чотирикутник, вписаний в коло, АС – діаметр кола. Отже,

∠ B =∠ D = 90⁰.

Нехай  К – точка перетину діагоналей чотирикутника, тоді шуканий кут – АКD. Кути  ВАС  і  ВDС  спираються на одну й ту саму дугу та лежать з одного боку від хорди  ВС. Отже,

∠ BDC =∠ DAC = 23⁰.

Оскільки  ∠ D = 90⁰, то

∠ ADK = 90⁰ – ∠ BDC = 90⁰ – 23⁰ = 67⁰.

У трикутнику AKD

∠ AKD = 180⁰ – (∠ KAD + ∠ ADK)

= 180⁰ – (52⁰ + 67⁰) = 61⁰.

ВІДПОВІДЬ:  61⁰

ЗАДАЧА:

В коло вписаний прямокутник із сторонами  32  і  24. Знайти радіус кола.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Діагональ  Д  цього прямокутника є діаметром кола, тоді, по теоремі Піфагора:

Радіус рівний  40 : 2 = 20.

ВІДПОВІДЬ:  20

Завдання до уроку 28

• Завдання 1(чотирикутник)
• Завдання 2(прямокутник)
• Завдання 3(квадрат)