Задание 3. Прямые и плоскости в пространстве

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Величина двугранного угла равна  30°. На гранях двугранного угла проведены прямые  а  и  b, параллельные ребру двугранного угла, на расстоянии  8 см  и  2√͞͞͞͞͞3  см  от него соответственно. Найдите расстояние между прямыми  а  и  b.

 а)  2√͞͞͞͞͞7  см;     

 б)  7√͞͞͞͞͞2  см;     

 в)  3√͞͞͞͞͞7  см;     

 г)  2√͞͞͞͞͞3  см.

 2. Плоскость  γ  пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым  а  и  b, удалённым от ребра двугранного угла на  4 см  и  6 см  соответственно. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости  γ, если  расстояние между прямыми  а  и  b  равно  2√͞͞͞͞͞7  см.

 3. Сторона  АВ  равностороннего треугольника  АВС, площадь которого равна  36√͞͞͞͞͞3  см², лежит на ребре двугранного угла, величина которого меньше  90°, а точка  С  принадлежит одной из его граней. Из точки  С  до второй грани проведён перпендикуляр  СD. Расстояние от точки  D  до прямой  АВ  равно  3√͞͞͞͞͞3  см. Найдите величину этого двугранного угла.

 4. Величина двугранного угла равна  120°. На его ребре выделен отрезок  ВС  длиной  4 см. На разных гранях двугранного угла отмечены точки  А  и  D  такие, что  

АВ = АС = DВ = DС. 

Найдите длину отрезка  АВ, если  АD = 6 см.

 а)  2 см;      
 б)  7 см;     

 в)  4 см;      
 г)  6 см.

 5. Квадраты  АВСD  и  АВЕF  находятся на гранях двугранного угла. Найдите величину этого двугранного угла, если  

АВ = 8 см, 
СF = 8√͞͞͞͞͞2 см.

 а)  70°;      
 б)  90°;     

 в)  30°;      
 г)  60°.

 6. Равносторонний треугольник  АВС  лежит в одной из граней двугранного угла с ребром  АВ, величина которого равна  60°. Найдите углы, которые образуют стороны  ВС  и  АС  со второй гранью.

 7. Из точек  С  и  D, которые находятся на разных гранях двугранного угла, величина которого  45°, опущены к его рёбрам перпендикуляры  DА  и  СВ. Найдите длину отрезка  DС, если  

АВ = 3 см, 
АD = 6√͞͞͞͞͞2 см, 
ВС = 8 см.

 а)  7 см;      
 б)  11 см;     

 в)  5 см;      
 г)  9 см.

 8. Точки  Р  и  К  лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого  30°. С этих точек до ребра угла опущены перпендикуляры  РР₁  и  КК₁. Найдите длину отрезка  РР₁, если  

КК₁ = 6√͞͞͞͞͞3 см,  
Р₁К₁ = √͞͞͞͞͞38 см, 
РК = 9 см.

 а)  3 см или 15 см;     

 б)  5 см или 11 см;     

 в)  5 см или 13 см;     

 г)  7 см или 13 см.

 9. В плоскости одной из граней двугранного угла, величина которого равна  30°, проведена прямая, которая образует с ребром двугранного угла угол  45°. Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью второй грани.

10. Все плоские углы трёхгранного угла равны  60°. Найдите величины его двугранных углов.

11. В трёхгранном угле плоские углы равны  

45°, 45°  и  60°. 

Найдите величины двугранных углов, которые лежат против равных плоских углов.

 а)  60°;      
 б)  30°;     

 в)  45°;      
 г)  90°.

12. Все плоские углы трёхгранного угла равны  α (α < 90°). Найдите его двугранные углы.

 

 а)  60°;      
 б)  30°;     

 в)  45°;      
 г)  90°.

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2