Завдання 3. Прямі і площини у просторі

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

або

ВІДЕОУРОК

 1. З точки  В, яка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр  ВА  на ребро  МК  двогранного кута і перпендикуляр  ВС  на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо  ВС = 2√͞͞͞͞͞3  см, АС = 2 см.

 а)  30°;      
 б)  45°;     

 в)  60°;      
 г)  90°.

 2. Точка  М  лежить поза площиною трикутника  АВС. Яке взаємно розташування прямих  ВС  і  МА ?

 а)  встановити неможливо;     

 б)  паралельні;     

 в)  перетинаються;     

 г)  мимобіжні.

 3. Основа  АD  трапеції  АВСD, зображеної на рисунку, належить площині α, а основа  ВС  не належить цій площині. Точки  М  і  N – середини бічних сторін трапеції. Яке взаємно розташування прямої  М N  і площини  α ?

 а)  пряма і площина перетинаються;     

 б)  пряма і площина паралельні;     

 в)  пряма належить площині;     

 г)  встановити неможливо.

 4. Точка  А  віддалена від площини  α  на  12 см. З цієї точки проведено до площини  α  похилу  АВ  завдовжки  13 см. Знайдіть довжину проекції похилої  АВ  на площину  α.

 а)  4 см;      
 б)  5 см;     

 в)  6 см;      
 г)  9 см.              

 5. Відрізок  АВ  не перетинає площину  α, точки  А  і  В  віддалені від цієї площини на  7 см  і на  11 см  відповідно. Чому дорівнює відстань від середини відрізка  АВ  до площини  α ?

 а)  18 см;      
 б)  12 см;     

 в)  8 см;        
 г)  9 см.

 6. З точки  М  до площини  α  проведено похилі  МВ  і  МС, які утворюють з площиною кути, що дорівнюють  30°. Знайдіть відстань від точки  М  до площини  α, якщо  ∠ ВМС = 90°, а довжина відрізка  ВС дорівнює  8 см.

 а)  4√͞͞͞͞͞2;      
 б)  2√͞͞͞͞͞2;     

 в)  √͞͞͞͞͞2;        
 г)  2√͞͞͞͞͞3.

 7. З точки  М  до площини  α  проведено похилі  МN і  МК, довжини яких відносяться як  25 : 26. Знайдіть відстань від точки  М  до площини  α, якщо довжини проекцій похилих   MN і  MK  на цю площину дорівнюють  7 см  і  10 см.

 а)  12 см;      
 б)  10 см;     

 в)  20 см;      
 г)  24 см.

 8. Точка  К  знаходиться на відстані  2 см  від площина  α. Похилі  КА  і  КВ  утворюють із площиною  α  кути  45°  і  30°  відповідно, а кут між похилими дорівнює  135°. Знайдіть відстань між точками  А  і  В.

 а)  2√͞͞͞͞͞5 см;        
 б)  3√͞͞͞͞͞3 см;     

 в)  3√͞͞͞͞͞10 см;      
 г)  2√͞͞͞͞͞10 см.

 9. З точки  А  до площини  α  проведено похилі  АВ  і  АС, які утворюють з площиною кути, що дорівнюють  60°. Знайдіть відстань між точками  В  і  С, якщо  ∠ ВАС = 90°, а відстань від точки  А  до площини  α  дорівнює  3 см.

 а)  6√͞͞͞͞͞2  см;     

 б)  12√͞͞͞͞͞6  см;     

 в)  2√͞͞͞͞͞6  см;     

 г)  2√͞͞͞͞͞3  см.

10. З точки  А  до площини  α  проведено похилі  АВ  і  АС, довжини яких  15 см  і  20 см  відповідно. Знайдіть відстань від точки  А  до площини  α, якщо проекції похилих на цю площину відносяться як  9 : 16.

 а)  12 см;      
 б)  10 см;     

 в)  20 см;      
 г)  24 см.

11. Точка  А  знаходиться на відстані  9 см  від площина  α. Похилі  АВ  і  АС  утворюють із площиною  α  кути  45°  і  60°  відповідно, а кут між проекціями похилих на площину  α  дорівнює  150°. Знайдіть відстань між точками  В  і  С.

 а)  21√͞͞͞͞͞3 см;      
 б)  3√͞͞͞͞͞3 см;     

 в)  3√͞͞͞͞͞13 см;      
 г)  3√͞͞͞͞͞21 см.

12. З точки  М, віддаленої від площини  Р  на відстань  МО = 4, проведено до цієї площини похилі  МА, МВ, МС  під кутами  

30°, 45°, 60°  

до прямої  МО, перпендикулярної до площини  Р. Визначити довжину похилих  МА, МВ, МС.

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 2