Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 4 ноября 2017 г.

Урок 3. Показникові нерівності

Розв'язування найпростіших показникових нерівностей виду:

ах > b  
(або  ах < b, де  а > 0  і  а 1)

ґрунтується на властивостях функції  у = ах, яка зростає при  а > 1  і спадає при  0 < а < 1.

ПРИКЛАД:

Щоб знайти розв'язки нерівності

ах > b, при  > 0,

досить подати  b  у вигляді  b = ас.
Одержуємо нерівність:

ах > ас.

При  а ˃ 1  функція  ах  зростає, отже, більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу, тому з нерівності ах > ас   одержуємо  х > с  (знак цієї нерівності збігається зі знаком нерівності  ах ˃ ас.)
При  0 < а < 1  функція  ах  спадає, отже, більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу, тому з нерівності  ах > ас  одержуємо  х < с  (знак цієї нерівності протилежний знаку нерівності  ах > ас).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

5х > 25.

Досить подати цю нерівність у вигляді

5х > 52,

Урахувати, що  5 > 1  (функція 5х – зростаюча, отже, при переході до аргументів знак нерівності не змінюється), і записати розв'язки:

х > 2.

Зауважимо, що розв'язки заданої нерівності можна записувати у вигляді  х > 2  або у вигляді проміжку  (2; ).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:
Досить подати цю нерівність у вигляді
Урахувати, що  1/4 < 1  (функція
– спадна, отже при переході до аргументів знак нерівності змінюється на протилежний), і записати розв'язки:

х < 2.

Ураховуючи, що при будь-яких додатних значеннях  а  значення  ах  завжди більше нуля, одержуємо, що при  b ≤ 0  нерівність  ах < b  розв'язків не має, а нерівність  ах > b  виконується при всіх дійсних значеннях  х.

ПРИКЛАД:

Нерівність

7х < –7

не має розв'язків, а розв'язками нерівності

7х > –7

є всі дійсні числа.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:
Оскільки функція

y = (0,6)t

Є спадною, то

х27х + 6 ≤ 0.

Звідси

1   х 6

ВІДПОВІДЬ:

[1; 6]

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:
Заміна
дає нерівність
яка рівносильна нерівності
Оскільки  t > 0, одержуємо

t2 – 8t – 9 ≤ 0.

Звідси  –1t9.
Ураховуючи, що  t > 0, маємо

0 < t9.

Виконуючи обернену заміну, одержуємо
Тоді
Функція  y = 3t – зростаюча, отже,  √͞͞͞͞͞х  2.
Ураховуючи  ОДЗ, одержуємо:

0 х4.

ВІДПОВІДЬ:

[0; 4]

Завдання до уроку 3

Комментариев нет:

Отправить комментарий