Урок 3. Показникові нерівності

Розв'язування найпростіших показникових нерівностей виду:

а^х > b  
(або  а^х < b, де  а > 0  і  а ≠ 1)

ґрунтується на властивостях функції  у = а^х, яка зростає при  а > 1  і спадає при  0 < а < 1.

ПРИКЛАД:

Щоб знайти розв'язки нерівності

а^х > b, при  b > 0,

досить подати  b  у вигляді  b = а^с.

Одержуємо нерівність:

а^х > а^с.

При  а ˃ 1  функція  а^х  зростає, отже, більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу, тому з нерівності а^х > а^с   одержуємо  х > с  (знак цієї нерівності збігається зі знаком нерівності  а^х ˃ а^с.)

При  0 < а < 1  функція  а^х  спадає, отже, більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу, тому з нерівності  а^х > а^с  одержуємо  х < с  (знак цієї нерівності протилежний знаку нерівності  а^х > а^с).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

5^х > 25.

Досить подати цю нерівність у вигляді

5^х > 5²,

Урахувати, що  5 > 1  (функція 5^х – зростаюча, отже, при переході до аргументів знак нерівності не змінюється), і записати розв'язки:

х > 2.

Зауважимо, що розв'язки заданої нерівності можна записувати у вигляді  х > 2  або у вигляді проміжку  (2; ∞).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

Досить подати цю нерівність у вигляді

Урахувати, що  ¹/₄ < 1  (функція

– спадна, отже при переході до аргументів знак нерівності змінюється на протилежний), і записати розв'язки:

х < 2.

Ураховуючи, що при будь-яких додатних значеннях  а  значення  а^х  завжди більше нуля, одержуємо, що при  b ≤ 0  нерівність  а^х < b  розв'язків не має, а нерівність  а^х > b  виконується при всіх дійсних значеннях  х.

ПРИКЛАД:

Нерівність

7^х < –7

не має розв'язків, а розв'язками нерівності

7^х > –7

є всі дійсні числа.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

Оскільки функція

y = (0,6)^t

Є спадною, то

х² – 7х + 6 ≤ 0.

Звідси

1 ≤  х ≤ 6

ВІДПОВІДЬ:

[1; 6]

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

Заміна

дає нерівність

яка рівносильна нерівності

Оскільки  t > 0, одержуємо

t² – 8t – 9 ≤ 0.

Звідси  –1 ≤ t ≤ 9.

Ураховуючи, що  t > 0, маємо

0 < t ≤ 9.

Виконуючи обернену заміну, одержуємо

Тоді

Функція  y = 3^t – зростаюча, отже,  √͞͞͞͞͞х  ≤ 2.

Ураховуючи  ОДЗ, одержуємо:

0 ≤ х ≤ 4.

ВІДПОВІДЬ:

[0; 4]

Завдання до уроку 3

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 2. Показникові рівняння
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмічні перетворення
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 7. Логарифмічні рівняння
• Урок 8. Логарифмічні нерівності
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь