Урок 4. Логарифм числа

Логарифмом числа  N  за даною основою  а  називається показник степеня  х, до якого треба піднести основу  а, щоб одержати число  N.

Позначення:

log_a N = x.

Таким чином, за визначенням, якщо 

х = log_a N, то  а^х = N,

або

Основу вважаємо додатною і такою, що не дорівнює одиниці.

Формула

називається основною логарифмічною тотожністю.

ПРИКЛАД:

log₂ 8 = 3, бо  2³ = 8,

log₂ 0,25 = –2, бо  2^-2 = 0,25.

Властивості логарифмів.

– будь-яке додатне число при довільній основі має єдиний логарифм;

– при будь-якій (додатній) основі від’ємні числа не мають логарифмів;

– при будь-якій основі логарифм одиниці дорівнює нулю;

– логарифм самої основи дорівнює одиниці;

 – при основі, більшій за одиницю, більшому числу відповідає і більший логарифм, при цьому логарифми чисел, більших за одиницю, додатні, а логарифми чисел, менших за одиницю, від’ємні;

– при основі, меншій за одиницю, більшому числу відповідає менший логарифм, при цьому логарифми чисел, менших за одиницю, додатні, а логарифми чисел, більших за одиницю, від’ємні;

– якщо основа логарифмів більша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа необмежено зростає і його логарифм, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено зростає за абсолютною величиною;

 – якщо основа логарифма менша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено спадає, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм необмежено зростає.

Розв'язання прикладів з використанням властивостей логарифмів.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти яке число має логарифм  2  при основі  7.

2 = log₇ х,  х = 7² = 49.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти логарифм  125  за основою  5.

х = log₅ 125,  5^х = 125, 

х = 3.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти при якій основі логарифм числа  16  дорівнює  4.

4 = log_х 16,  х⁴ = 16, 

х = 2.

ПРИКЛАД:

Виходячи з тотожності  х = log_a N, знайти:

ПРИКЛАД:

Що більше ?

log_а 2  чи

log_а 3

Якщо  а ˃ 1, то більшому числу відповідає й більший логарифм, тобто

log_а 2 < log_а 3.

Якщо  а ˃ 1, то більшому числу відповідає менший логарифм, тобто

log_а 2 ˃ log_а 3.

Тут прийнято, що  а ˃ 0, а ≠ 1.

Знаком  lg  без зазначення основи позначається десятковий логарифм, тобто логарифм при основі  10.

Розглянемо більш докладно, як переходити від десяткових логарифмів до натуральних і навпаки.

Щоб за відомим десятковим логарифмом числа  N  знайти його натуральний логарифм, треба поділити десятковий логарифм числа  N  на десятковий логарифм числа  е  (останній дорівнює  0,4343…). 

Число  lg e = 0,4343…  називається модулем десяткових логарифмів і позначається буквою  М  так, що

ПРИКЛАД:

З таблиць десяткових логарифмів маємо 

lg 2 = 0,3010.

Звідси

Щоб за відомим натуральним логарифмом числа    знайти його десятковий, треба помножити натуральний логарифм на модуль десяткових логарифмів  М = lg е:

lg N = lg е × ln N =

М × ln N = 0,4343 ln N

ПРИКЛАД:

ln 3 = 1,0986, а звідси 

lg 3 = М × 1,0986 = 0,4771.

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 2. Показникові рівняння
• Урок 3. Показникові нерівності
• Урок 5. Логарифмічні перетворення
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 7. Логарифмічні рівняння
• Урок 8. Логарифмічні нерівності
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь