Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 10 ноября 2017 г.

Урок 4. Логарифм числа

Логарифмом числа  N  за даною основою  а  називається показник степеня  х, до якого треба піднести основу  а, щоб одержати число  N.

Позначення:

loga N = x.

Таким чином, за визначенням, якщо 

х = loga N, то  ах = N,
або

Основу вважаємо додатною і такою, що не дорівнює одиниці.

Формула
називається основною логарифмічною тотожністю.

ПРИКЛАД:

log2 8 = 3, бо  23 = 8,
log2 0,25 = –2, бо  2-2 = 0,25.

Властивості логарифмів.

– будь-яке додатне число при довільній основі має єдиний логарифм;
– при будь-якій (додатній) основі від’ємні числа не мають логарифмів;
– при будь-якій основі логарифм одиниці дорівнює нулю;
– логарифм самої основи дорівнює одиниці;
 – при основі, більшій за одиницю, більшому числу відповідає і більший логарифм, при цьому логарифми чисел, більших за одиницю, додатні, а логарифми чисел, менших за одиницю, від’ємні;
– при основі, меншій за одиницю, більшому числу відповідає менший логарифм, при цьому логарифми чисел, менших за одиницю, додатні, а логарифми чисел, більших за одиницю, від’ємні;
– якщо основа логарифмів більша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа необмежено зростає і його логарифм, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено зростає за абсолютною величиною;
 – якщо основа логарифма менша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено спадає, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм необмежено зростає.

Розв'язання прикладів з використанням властивостей логарифмів.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти яке число має логарифм  2  при основі  7.

2 = log7 х,  х = 72 = 49.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти логарифм  125  за основою  5.

х = log5 125,  5х = 125, 
х = 3.

ПРИКЛАД:

Виходячи з означення логарифма, знайти при якій основі логарифм числа  16  дорівнює  4.

4 = logх 16,  х4 = 16, 
х = 2.

ПРИКЛАД:

Виходячи з тотожності  х = loga N, знайти:
ПРИКЛАД:

Що більше ?

logа чи
logа 3

Якщо  а ˃ 1, то більшому числу відповідає й більший логарифм, тобто

logа 2 < logа 3.

Якщо  а ˃ 1, то більшому числу відповідає менший логарифм, тобто

logа 2 ˃ logа 3.

Тут прийнято, що  а ˃ 0, а 1.

Знаком  lg  без зазначення основи позначається десятковий логарифм, тобто логарифм при основі  10.
Розглянемо більш докладно, як переходити від десяткових логарифмів до натуральних і навпаки.
Щоб за відомим десятковим логарифмом числа  N  знайти його натуральний логарифм, треба поділити десятковий логарифм числа  N  на десятковий логарифм числа  е  (останній дорівнює  0,4343…). 
Число  lg e = 0,4343…  називається модулем десяткових логарифмів і позначається буквою  М  так, що
ПРИКЛАД:

З таблиць десяткових логарифмів маємо 

lg 2 = 0,3010.

Звідси
Щоб за відомим натуральним логарифмом числа    знайти його десятковий, треба помножити натуральний логарифм на модуль десяткових логарифмів  М = lg е:

lg N = lg е × ln N =
М × ln N = 0,4343 ln N

ПРИКЛАД:

ln 3 = 1,0986, а звідси 
lg 3 = М × 1,0986 = 0,4771.

Завдання до уроку 4

Комментариев нет:

Отправить комментарий