Урок 8. Логарифмічні нерівності

Функція зростає.

Функція спадає.

Найпростішими логарифмічними нерівностями називають нерівності вигляду

log_а х > b  або  log_а х < b.

Перша з них має множину розв'язків:

х > a^b  при  а > 1,

0 < х < a^b  при  0 < а < 1.

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

log₂ (х –5) > 3.

ОДЗ:  х – 5 > 0, тобто  х > 5.

log₂ (х –5) > log₂ 2³.

Функція  log₂ t  є зростаючою, отже,

х – 5 > 2³, х > 13.

Ураховуючи  ОДЗ, маємо  

х > 13.

ВІДПОВІДЬ:

(13; +∞).

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

Ураховуючи  ОДЗ, маємо 

5 < х < 5¹/₈.

ВІДПОВІДЬ:

(5; 5¹/₈).

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

log_0,5 х ≥ 3.

Потенціюючи вихідну нерівність, маємо:

х ≤ 0,5³,  0 < х ≤ 0,125.

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

Виконавши додавання в лівій частини, одержимо:

Звідки

0 < lg х(1 – lg х) < 1.

Як бачимо, розв'язок  х  мусить задовольняти дві нерівності:

lg² х – lg х + 1 > 0  і

lg х(1 – lg х) > 0.

Першу задовольняє будь-яке додатне значення  х, тому що дискримінант тричлена в його лівій частині від’ємний. Другу задовольняють значення  х, при яких

0 < lg х < 1, тобто

0 < х < 10.

Завдання до уроку 8

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 2. Показникові рівняння
• Урок 3. Показникові нерівності
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмічні перетворення
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 7. Логарифмічні рівняння
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь