Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 14 ноября 2017 г.

Урок 9. Системи показникових і логарифмічніих рівнянь

При розв'язуванні системи, що містять показникові і логарифмічні рівняння, використовують прийоми розв'язування систем (спосіб підстановки, спосіб додавання, заміну змінних) та методи розв'язування показникових і логарифмічних рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:
З першого рівняння системи

у = 1 – х.

Тоді з другого рівняння одержуємо

4х + 41-х = 5,

тобто
Заміна  4х = t  дає рівняння
З якого одержуємо рівняння

t2 – 5t + 4 = 0,

Що має корені:

t1 = 1, t2 = 4.

Обернена заміна дає  4х = 1,
тоді  x1 = 0  або  4х = 4, 
звідки  x2 = 1.
Знаходимо відповідні значення

у = 1 – х:

Якщо  x1 = 0, то  у1 = 1;
Якщо  x2 = 1, то  у2 = 0.

ВІДПОВІДЬ:

(0; 1), (1; 0)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:
Заміна
дає систему
З другого рівняння цієї системи маємо

u = 2 + v.

Тоді з першого рівняння одержуємо

(2 + v)2 – v2 = 16.

Звідси  v = 3, тоді  u = 5.
Обернена заміна дає
ВІДПОВІДЬ:

(2; 2).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:
За означенням логарифма маємо:
Із другого рівняння останньої системи одержуємо

у = х + 3

і підставляємо в перше рівняння:

х(х + 3) = 4,
х2 + 3х – 4 = 0,
х1 = 1, х2 = –4.

Тоді

у1 = 4, у2 = –1.
– розв'язок заданої системи.

ПЕРЕВІРКА:
– сторонній розв'язок (під знаком логарифма одержуємо від’ємні числа).

ВІДПОВІДЬ:

(1; 4).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:
ОДЗ:
Тоді з першого рівняння маємо:
Заміна  t = logх y  дає рівняння
t2 – 2t + 1 = 0, t = 1.

Обернена заміна дає

logх y = 1,

тобто  у = х.
Тоді з другого рівняння системи маємо:

х2 – х – 20 = 0,
х1 = –4  (не входить до  ОДЗ),
х2 = 5  (входить до  ОДЗ).

Отже, розв'язок заданої системи:

х = 5, у = 5.

ВІДПОВІДЬ:

(5; 5).

 Завдання до уроку 9
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий