Урок 2. Правила сложения и умножения

ВИДЕО УРОК

Правила сложения и умножения в комбинаторике называют основными правилами комбинаторики.

Правило сложения (правило  <<ИЛИ>>).

Если некоторый объект  А  можно выбрать  m  способами, а объект  В – другими  n  способами, причём выборы объектов  А  и  В  несовместимы, то выбор  “А  или  В”  можно выполнить m +  n  способами.

Или:

Если два действия  А  и  В  взаимно исключают друг друга, причём действие  А  можно выполнить  m  способами, а  В – n  способами, то  выполнить одно любое из этих действий (либо  А, либо  В) можно  m +  n  способами. 

Другими словами:

Если в условии задачи звучит  “ИЛИ”, то выбираем. правило сложения

Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только один элемент.

Кортеж – конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.

ЗАДАЧА:

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор  17  тем по алгебре и  13  тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы ?

РЕШЕНИЕ:

По правилу суммы получим:

17 + 13 = 30.

ОТВЕТ:  30 вариантов.

ЗАДАЧА:

Идя на соревнования, спортсмен одевает либо майку, либо футболку.

Сколько вариантов выбора майки или футболки у него имеется, если его мама постирала  3  майки и  4  футболки.

РЕШЕНИЕ:

Пользуемся правилом сложения.

Допустим, что в шкафу на одной полке лежит  3  майки, а на другой – 4  футболки. Произвольно с какой-нибудь полки берём только одну вещь. С первой полки взять одну вещь можно только тремя разными способами, а с другой – четырьмя способами. Тогда взять одну какую-либо из названных вещей можно

3 + 4 = 7

разными способами.

ОТВЕТ:  7 вариантов.

ЗАДАЧА:

Пусть в одном ящике есть  m  шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков ?

РЕШЕНИЕ:

Очевидно, что ОДИН шарик можно достать

m + n

способами.

ОТВЕТ:  m + n

Правило умножения (правило  <<И>>).

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

Если некоторый объект  А  можно выбрать  m  способами, и после каждого такого выбора другой объект  В  можно выбрать (независимо от выбора объекта  А)  n  способами, то пары объектов  А  и  В  можно выбрать  m × n  способами.

Или:

Пусть требуется выполнить последовательно  k  действий. Если первое действие можно выполнить  n₁  способами, второе действие  n₂  способами, третье – n₃  способами и так до k–го действия, которое  можно выполнить  n_k  способами, то все k   действий вместе могут быть выполнены:

N = n₁ × n₂ ×…× n_k

Правило умножения формулируют также в другой форме:

Если при составлении комбинации из двух элементов вида  (a, b)  первый элемент можно выбрать  n  способами, а затем второй – m  способами, то различных комбинаций вида  (a, b)  можно выбрать  m × n  способами.

Другими словами:

Если в условии задачи звучит  “И”, то выбираем правило умножения

ЗАДАЧА:

Цех по изготовлению головных уборов начал выпуск трёх новых моделей, для которых был закуплен фетр четырёх цветов. Сколько видов разных шляп может изготовить цех ?

РЕШЕНИЕ:

Для каждой из трёх моделей можно использовать каждый из четырёх цветов.

По правилу умножения количество разных видов будет:

3 × 4 = 12.

Для иллюстрации можно составить таблицу:

ОТВЕТ:  12.

ЗАДАЧА:

Переплётчик должен переплести  12  различных книг в красный, зелёный и коричневые переплёты. Сколькими способами он может это сделать ?

РЕШЕНИЕ:

Имеется  12  книг и  3  цвета, значит по правилу произведения возможно 

12 × 3 = 36 

вариантов переплёта.

ОТВЕТ:  36.

ЗАДАЧА:

В магазине  <<Всё для чая>>  есть  6  разных чашек и  4  разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить ?

РЕШЕНИЕ:

Чашку мы можем выбрать  6-ю способами, а блюдце  4-я  способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно
сделать 

6 × 4 = 24   

способами (по правилу произведения).

ОТВЕТ:  24.

ЗАДАЧА:

Сколько чисел можно составить из цифр

0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,

если число должно быть двузначным ?

РЕШЕНИЕ:

Можно составить  90  чисел – первую цифру числа можем выбрать  9  способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа можем выбрать  10  способами, так как у нас есть  10  цифр. Итого получается:

9 ∙ 10 = 90.

ОТВЕТ:  90

ЗАДАЧА:

Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр

0,  3,  5,  7,  8,  9 ?

Цифры в записи чисел не повторяются.

РЕШЕНИЕ:

На первом месте должна стоять запись любой из цифр

3,  5,  7,  8,  9  – всего  5  способов.

На втором – снова какая-нибудь из  5  (среди них может уже быть цифра  0).

На третьем любая из  4, что остались после записи первых двух цифр числа.

Всего

5 ∙ 5 ∙ 4 = 100

разных способов трёхзначных чисел.

ОТВЕТ:  100

ЗАДАЧА:

Прямого сообщения между городами  А  и  В  нет. Турист может попасть из  А  в  В  либо через город  С, либо через город  D. Из  А  в  С  есть два различных пути, а из  А  до  D – три. Из  С до  В  можно попасть тремя разными дорогами, а из  D  до  В – двумя. Сколько разных вариантов выбора пути из  А  до  В  есть у туриста ?

РЕШЕНИЕ:

Делаем графический рисунок:

Если идти из  А  в  В  через  С, то путь можно выбрать

2 ∙ 3 = 6

способами.

Если идти из  А  в  В  через  D, то для выбора пути есть

3 ∙ 2 = 6

способов.

Тогда разных вариантов выбора пути всего

6 + 6 = 12.

Можно не выполняя ни одного правила, определить количество вариантов выбора пути просто, проведя карандашом по линиям.

ОТВЕТ:  12

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Простые методы решения комбинаторных задач
• Урок 3. Перестановки
• Урок 4. Размещения
• Урок 5. Сочетания