Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 11. Криволінійний рух

ВИДЕО УРОК

І у природі, і в техніці дуже часто зустрічаються рухи, траєкторії яких є не прямими, а кривими лініями. Називають такі рухи криволінійними.

ПРИКЛАД:

По криволінійних траєкторіях рухаються в космічному просторі планети і штучні супутники, а на Землі – всілякі засоби транспорту, частини машин і механізмів, води річок, повітря атмосфери і т. д.

При криволінійному русі вирішувати завдання механіки важче, тому що воно складніше за прямолінійний. При такому русі вже не можна сказати, що змінюється тільки одна координата тіла. Якщо рух відбувається на площині, то, як це видно з малюнка

при русі змінюються дві координати: х і у. Напрям руху, т. е. напрям вектору швидкості, також увесь час змінюється. Змінюється і напрям вектору прискорення. Якщо до цього додати, що можуть змінюватися і модулі швидкості і прискорення, то стане ясно, наскільки складний криволінійний рух.

Оскільки для вирішення завдань механіки особливо важливо уміти вичислити значення швидкості і прискорення, то передусім потрібно з'ясувати, як змінюються ці величини.

Переміщення і швидкість при криволінійному русі.

При прямолінійному русі напрям вектору швидкості завжди співпадає з напрямом переміщення. Що можна сказати про напрям швидкості переміщення при криволінійному русі ? Щоб відповісти на це питання, потрібно скористатися тим же прийомом, яким користувалися при вивченні миттєвої швидкості прямолінійного руху.

На малюнку

представлена деяка криволінійна траєкторія. Припустимо, що тіло рухається по ній з точки А в точку В. При цьому пройдений тілом шлях – це дуга АВ, а його переміщення – це вектор

Звичайно, не можна вважати, що швидкість тіла під час руху спрямована уздовж вектору переміщення. Проведемо між точками А і В ряд хорд

і уявимо собі, що рух тіла відбувається саме по цих хордах. На кожній з них тіло рухається прямолінійно і вектор швидкості

спрямований уздовж хорди. Зробимо тепер наші прямолінійні ділянки (хорди) коротшими.

Як і раніше на кожному з них вектор швидкості спрямований уздовж хорди. Але видно, що ламана лінія на малюнку

вже більше схожа на плавну криву. Ясно тому, що, продовжуючи зменшувати довжину прямолінійних ділянок, ми їх як би стягнемо в точки, і ламана лінія перетвориться на плавну криву. Швидкість же в кожній точці цієї кривої буде спрямована по дотичній до кривої в цій точці.

Швидкість руху тіла у будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до траєкторії в цій точці.

ПРИКЛАД:

У тому, що швидкість при криволінійному русі дійсно спрямована по дотичній, переконує нас спостереження за роботою жорна.

Якщо притиснути до точильного каменю, що обертається, кінці сталевого прутка, то розжарені частки, що відриваються від каменю, будуть видні у вигляді іскр. Ці частки летять з тією швидкістю, яку вони мали у момент відриву від каменю. Добре видно, що напрям вильоту іскор завжди співпадає з дотичною до кола в тій точці, де пруток торкається каменю. По дотичній до кола рухаються і бризки від коліс буксуючого автомобіля. По дотичній до кола рухаються і бризки від коліс буксуючого автомобіля.

Таким чином, миттєва швидкість тіла в різних точках криволінійної траєкторії має різні напрями.

Модуль же швидкості може бути в усіх точках траєкторії однаковим

чи змінюватися від точки до точки, від одного моменту часу до іншого.

Прискорення при криволінійному русі.

При криволінійному русі точки напрям її швидкості увесь час змінюється, а модуль швидкості може як змінюватися, так і залишатися постійним. Але навіть якщо модуль швидкості не змінюється, її все одно не можна вважати постійною. Адже швидкість - величина векторна. А для векторних величин модуль і напрям однаково важливі. Тому криволінійний рух завжди рух прискорений.

Як змінюється швидкість по модулю нам відомо. Адже при рівноприскореному прямолінійному русі змінюється саме модуль швидкості. В цьому випадку вектор прискорення спрямований уздовж вектору швидкості або проти нього, а модуль прискорення визначається зміною модуля швидкості в одиницю часу, тому надалі розглядатиметься тільки такий криволінійний рух, при якому модуль швидкості залишається увесь час постійним, так що прискорення буде пов'язано тільки зі зміною напряму вектору швидкості. Як спрямовано і чому дорівнює це прискорення ?

І модуль, і напрям прискорення повинні, очевидно

І модуль, і напрям прискорення повинні, очевидно, залежати від форми криволінійної траєкторії. Але нам не доведеться розглядати кожну з незліченних форм криволінійних траєкторій. На малюнку показана складна траєкторія, по якій рухається тіло.

Видно, що окремі ділянки криволінійної траєкторії є приблизно дугами кіл, зображених тонкими лініями. Наприклад, ділянка KL або BM – це дуги кіл малих радіусів, ділянка EF – це дуга кола більшого радіусу.

Таким чином, рух по будь-якій криволінійній траєкторії можна приблизно представити як рух по дугах деяких кіл. Тому завдання знаходження прискорення при криволінійному русі зводиться до відшукування прискорення при рівномірному русі тіла по колу.

Рух тіла, кинутого горизонтально.

Тіло, кинуте горизонтально, одночасно бере участь в двох рухах: в рівномірному по горизонталі (за інерцією) і в рівноприскореному по вертикалі (під дією сили тяжіння). Траєкторія результуючого руху - парабола з вершиною в точці кидання тіла. Час руху тіла по параболі дорівнює часу вільного падіння з тієї ж висоти.

Звідси видно, що якщо тіло бере участь одночасно в декількох рухах, то кожне з них відбувається незалежно від інших. Це положення механіки називається принципом незалежності руху.

ЗАДАЧА:

Камінь кинутий в горизонтальному напрямі. Через 0,5 сек після початку руху чисельне значення швидкості каменю стало в 1,5 разу більше його початкової швидкості. Знайти початкову швидкість каменю. Опором повітря нехтувати.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Швидкість каменю у будь-який момент часу виражається через її горизонтальну v₁ и і вертикальну v₂ складові по формулі

Оскільки

v = 1,5v₁, а v₂ = gt, то

Звідки v₁= 4,4 м/сек.

ВІДПОВІДЬ: v₁= 4,4 м/сек

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, є складним, як і рух тіла, кинутого горизонтально: воно складається з рівномірного прямолінійного руху уздовж лінії кидання (за інерцією) і рівноприскореного руху по вертикалі (під дією сили тяжіння). Результуючий рух відбувається по параболі. Траєкторія тіла, кинутого під кутом до горизонту, симетрична відносно вищої точки параболи.

Насправді опір повітря зменшує висоту польоту, дальність польоту і змінює форму траєкторії, роблячи її низхідну частину крутішою, ніж висхідну (балістична крива).

ЗАДАЧА:

Тіло кинуте під кутом α = 30° до горизонту із швидкістю v₀ = 49 м/сек. Визначити час польоту, дальність польоту і висоту підйому тіла. Опором повітря нехтувати.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо початкову швидкість тіла v₀ на горизонтальну і вертикальну складові:

v₁ = v₀ cos α

v₂ = v₀ sin α

Горизонтальна складова є швидкістю рівномірного руху тіла за інерцією, і для будь-якого моменту часу вона має одно і те ж значення. Вертикальна ж складова є швидкістю рівномірного руху, і для будь-якого моменту часу рівна

v₂ = v₀ sin α – gt.

У вищій точці траєкторії вертикальна складова швидкості дорівнює нулю, т. е. v₂ = 0. Тоді час підняття t' тіла на максимальну висоту визначиться з рівності

0 = v₀ sin α – gt',

Звідки