Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 12. Движение по окружности

ВИДЕО УРОК

Угол поворота и угловая скорость.

Движение тела по окружности можно описывать тем же способом, которым пользуются при описании прямолинейного движения. Но часто более удобным оказывается другой способ.

ПРИМЕР:

Представим себе, что некоторое тело движется по окружности радиусом r.

Проведём из центра О окружности радиус к какой-нибудь точке тела А и будем следить не только за самим телом, но и за радиусом, проведённым к нему. Мы увидим, что, по мере того как тело движется, радиус поворачивается. Если, например, тело за промежуток времени t переместилось из точки А в точку В, то за это же время радиус повернулся на угол φ. Этот угол мы будем называть углом поворота радиуса. О движении тела можно, следовательно, сказать, во-первых, что тело за промежуток времени t прошло путь l по дуге АВ окружности, во-вторых, что оно совершило перемещение

модуль которого равен длине хорды АВ, и, в-третьих, что радиус, проведённый к телу, совершил поворот на угол φ.
Если бы тело двигалось по окружности другого радиуса R ˃ r (смотрите рисунок), то длина пройденного пути была бы больше. Большей была бы и длина перемещения

Угол же поворота радиуса в обоих случаях остаётся одними тем же.

ПРИМЕР:

Минутная стрелка маленьких наручных часов за 15 мин проходит путь длиной около 1,5 см. За это же время конец минутной стрелки огромных башенных часов проходит путь длиной в несколько метров. Но минутные стрелки всех часов в мире за четверть часа поворачиваются на один и тот же угол – 90⁰.

Если мы снова вернёмся к рисунку,

то увидим, что у тел, движущихся по окружности с радиусами r и R, равны не только углы поворота. В обоих случаях одинаковы и отношения длины дуги к радиусу:

По какой бы окружности ни двигалось тело, при равных углах поворота радиуса равны и отношения длины дуги к радиусу.

Поэтому и сами углы можно измерять величиной этого отношения

При таком измерении углов за единицу измерения угла удобно принять не градус, а угол, соответствующий дуге, длина которой l равна радиусу r, потому что тогда угол φ будет равен единице. Такая единица измерения называется радианом (сокращённо рад).

Радиан – это угол между двумя радиусами круга, вырезающий на окружности дугу, длина которой равна радиусу.

Установим связь между градусом и радианом.

Когда тело (или точка) совершит один полный оборот по окружности радиусом r, то длина пройденной дуги будет равна 2πr. Поэтому величина угла в радианах равна:

2π рад ≈ 6,28 рад. Следовательно, один оборот – это поворот радиуса на угол в 2π рад. В градусной мере этот же угол равен 360⁰. Отсюда

Таким образом, длина дуги, пройденной телом, и угол поворота радиуса, проведённого к нему, связаны формулой

l = rφ.

Скорость равномерного движения тела по окружности тоже можно выражать в угловых единицах. Для этого используют понятие угловой скорости.

Под угловой скоростью мы будем понимать отношение угла
поворота радиуса, проведённого к телу, к промежутку времени, в течении которого совершён этот поворот.

Угловую скорость обозначают греческой буквой ω (омега), так что

Так как здесь угол φ выражен в радианах, а время t в секундах, то угловая скорость ω измеряется в радианах в секунду (рад/сек). В отличии от угловой скорости скорость v, измеряемую отношением длины пути l ко времени t и выражаемую в метрах в секунду, называют линейной скорость. Между угловой скоростью ω и линейной скоростью v очень простая связь. Если в выражение для угловой скорости подставить вместо φ его значение

то мы получим:

Так как в свою очередь l = vt, то

или v = ωr.

Линейная скорость точки равна произведению угловой скорости на радиус окружности, по которой происходит движение.

Скорость движения тела по окружности часто выражают также числом оборотов в единицу времени. Легко связать угловую скорость с числом оборотов в единицу времени. Действительно, при одном обороте радиус поворачивается на угол 2π рад. Значит, совершив в единицу времени, например, n оборотов, радиус повернётся на угол 2πn рад. Поэтому угловая скорость ω и число оборотов в единицу времени n связаны выражением

ω = 2πn.

Число оборотов в единицу времени (n) обычно называют также частотой вращения. Величина, обратная частоте, определяет время, за которое тело делает один оборот. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой Т:

Ускорение при равномерном движении тела по окружности.

Найдём ускорение тела (считаем его материальной точкой), движущегося по окружности с постоянной по модулю скорости.

Ускорение, как известно, определяется по формуле

где

– скорость тела в некоторый начальный момент времени, а

– его скорость через промежуток времени t. Здесь модули скоростей

равны друг другу. Предположим, что тело движется по окружности радиусом r и что в некоторый момент времени оно находится в точке А.

Чему равно ускорение в этой точке ? Скорость

в этой точке направлена по касательной к окружности в точке А. Через t сек тело оказывается в точке В, и скорость его

теперь направлена по касательной к окружности в точке В. По модулю скорости

равны (длина стрелок

одинаковы).

Надо найти ускорение в точке А окружности (мгновенное ускорение). Поэтому точки А и В, через которые последовательно проходит движущееся тело, надо взять настолько близкими друг к другу, чтобы дуга АВ как бы стянулась в точку.

Определим сначала, как направлено это ускорение.

Проведём из центра О окружности радиусы к точкам А и В. Радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания, следовательно, радиусы ОА и ОВ перпендикулярны векторам

Чтобы узнать направление вектора ускорения, нужно найти вектор, равный разности векторов

Его направление – это и есть направление вектора ускорения. Чтобы найти разность

векторы

расположим так, чтобы они исходили из одной точки, и соединим их концы, направив стрелку от вычитаемого к уменьшаемому (от конца вектора

к концу вектора

Вектор

и есть разность векторов

Следовательно, вдоль вектора

направлено ускорение. Что можно сказать об этом направлении ? Треугольник ADC (смотрите рисунок) равнобедренный. Угол при вершине А равен углу φ между радиусами ОА и ОВ (смотрите рисунок), так как они образованы взаимно перпендикулярными сторонами. Точки А и В расположены близко друг к другу, поэтому угол φ очень мал (близок к нулю). Каждый из углов при основании треугольника ADC близок к прямому, так как сумма углов треугольника равна двум прямым. Это означает, что вектор

перпендикулярен вектору скорости. Значит, и ускорение перпендикулярно скорости. Но скорость направлена по касательной к окружности в точке А, а касательная перпендикулярна радиусу. Значит, и ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его поэтому называют центростремительным ускорением.

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой её точке перпендикулярно скорости движения и направлено к центру окружности.Эта интересная особенность ускорения при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью показана на рисунке.

Найдём теперь модуль центростремительного ускорения. Для этого нужно найти, чему равно абсолютное значение величины

Из рисунка

видно, что модуль разности векторов

равен длине отрезка CD. Так как угол φ очень мал, то отрезок CD мало отличается от дуги CD окружности (показанной пунктиром) с центром в точке А. Радиус этой окружности r численно равен v (r = v). Но длина такой дуги равна rφ = vφ. Следовательно,

Абсолютное значение ускорения

Равно

Но

– это угловая скорость ω. Поэтому

Абсолютное значение ускорения тела, движущегося по окружности, равна произведению его линейной скорости и угловой скорости поворота радиуса, проведённого к телу.

Формулу для центростремительного ускорения удобнее представить в таком виде, чтобы в неё входила величина радиуса окружности, по которой движется тело. Так как угловая и линейная скорости связаны соотношением v = ωr (r – радиус окружности), то подставив это выражение в формулу

получим:

Но

поэтому формулу для центростремительного ускорения можно записать ещё и так:

При равномерном движении по окружности тело движется с ускорением, которое направлено по радиусу к центру окружности и модуль которого определяется выражением

Или

Очевидно, верно и обратное: если линейная скорость тела равна v и ускорение тела во всех точках перпендикулярно вектору его скорости и по абсолютному значению равно

То можно утверждать, что такое тело движется по окружности, радиус которой r определяется формулой:

Значит, если нам известны начальная скорость тела и абсолютное значение его центростремительного ускорения, мы можем изобразить окружность, по которой тело будет двигаться, и найти его положение в любой момент времени (начальное положение тела должно быть, конечно, известно). Тем самым будет решена основная задача механики.

Напомним, что ускорение при равномерном движении по окружности нас интересует потому, что всякое движение по криволинейной траектории представляет собой движение по дугам окружностей различных радиусов.

Теперь можно сказать, что при равномерном движении в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, направленным к центру той окружности, частью которой является данная траектория вблизи этой точки. Численное же значение ускорения зависит от скорости тела в этой точке и от радиуса соответствующей окружности. На рисунке

показана некоторая сложная траектория и указаны векторы центростремительного ускорения в различных точках траектории.

ЗАДАЧА:

Самолёт, выходя из пике, движется по дуге, которая в нижней своей части является дугой окружности радиусом 500 м.

Вычислите ускорение самолёта в наинизшей точке, если его скорость равна 800 км/час, и сравните полученное значение с ускорением свободного падения.

РЕШЕНИЕ:

Ускорение самолёта вычисляем по формуле