Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 4. Векторні і скалярні величини

ВИДЕО УРОК

Переміщення – це особлива величина. Особлива тому, що вона задається не лише певним числом, але і напрямом. Таких величин у фізиці відомі багато. Швидкість, прискорення, сила і ряд інших фізичних величин характеризуються не лише чисельним значенням, але і напрямом. Ці величини називають векторними величинами або просто векторами.

Величини, що характеризуються як чисельним значенням, так і напрямом, називаються векторними величинами, або векторами.

Вектор графічно зображується стрілкою, довжина якої (у деяких довільних одиницях довжини) дорівнює чисельному значенню даної величини, а напрям показує напрям вектору. Вектор зображується напівжирною буквою (s) або звичайною буквою із стрілкою над нею

а його чисельне значення – цією ж буквою без стрілки (s).

Модуль (чи довжина) вектору переміщення – число, що показує, скільком одиницям довжини (метрам, кілометрам і т. д.) дорівнює переміщення. Модуль вектору позначається тією ж буквою із стрілкою, що і сам вектор, але перед буквою і за нею ставляться вертикальні лінії.

ПРИКЛАД:

Вектор визначається його модулем і напрямом.

Два вектори вважаються рівними, якщо рівні їх модулі і вони однаково спрямовані.

Величини, які визначаються тільки чисельними значеннями, називаються скалярними величинами, або скалярами.

ПРИКЛАД:

Температура, час, маса, об'єм і ін.

Знаючи вектор переміщення і координати початкового положення тіла, можна знайти значення координат його кінцевого положення.

ПРИКЛАД:

Виберемо систему координат XOY.

Початкове положення тіла М₀ визначається координатами х₀ і у₀. Приставимо до точки М₀ вектор

переміщення тіла.

Як знайти координати х і у кінцевого положення тіла (точки М) ?

Опустимо з початку М₀ і кінця M вектора

перпендикулярі М₀N₀ і MN на вісь Х і перпендикулярі М₀L₀ і ML на вісь Y. Точки N₀ і N – це проекції точок М₀ і М на вісь X, а точки L₀ и L – на вісь Y. Проведемо вектор від точки N₀

к точці N

Вектор

називають складовій вектору

Аналогічно побудуємо вектор

З малюнка видно, що напрям вектора

співпадає з напрямом осі координат. В цьому випадку, щоб знайти координату х точки М, треба до початкової координати х₀ додати довжину відрізку N₀N.

Напрям вектору

може бути і протилежно напряму осі координат

Тоді, щоб знайти координату х, довжину відрізку N₀N треба буде відняти з координати х₀. Таким чином,

х = х₀ + N₀N, якщо вектор

спрямований також, як вісь Х, і

х = х₀ – N₀N, якщо напрям вектору

протилежно напряму осі Х.

Це виведення можна записати коротше, якщо ввести поняття проекції вектору

Проекцією вектору на вісь Х називають скалярну величину, чисельно рівну довжині складової вектору по цій осі.

Проекція буде позитивною, якщо складова вектору

по цій осі координат спрямована також, як і вісь координат, і негативною в протилежному випадку.

Проекцію вектору на осі координат означають тією ж буквою, що і вектор, але без стрілки над нею і з індексом, що показує, до якої осі відноситься проекція:

координата х рівна

Якщо є тільки одна вісь, то індекс у проекції вектору не пишеться.

У усіх випадках, як би не був спрямований вектор

координата х рівна: х = х₀ + s_x,

координата у рівна: у = у₀ + s_у,

тому, знаючи переміщення, а значить і його проекції на осі координат, можна знайти координати тіла.

Якщо вектор

спрямований так само, як вісь Х, то проекція s_x позитивна

(s_x =N₀N).

Якщо напрям вектору

протилежно напряму осі координат, то проекція s_x негативна
(s_x = –N₀N).

ПРИКЛАД:

Нехай тіло рухається так, що вектор переміщення увесь час залишається паралельним одній з координатних осей, наприклад осі Х.

Тоді його проекція на вісь Y дорівнюватиме нулю. Це означає, що координата у при русі не змінюється. Проекція ж вектору переміщення

на вісь Х за абсолютною величиною дорівнює довжині самого вектору

Для випадку, показаного на малюнку

вона позитивна, а для випадку, показаного на малюнку

негативна.

Але в тому і іншому випадку координата х визначається формулою:

х = х₀ + s_x

ЗАДАЧА:

Турист йшов з точки, розташованої в 2 км на схід і в 1 км на північ від перехрестя доріг, і за 1 годину пройшов такий шлях, що його переміщення виявилося рівним 5 км і спрямованим під кутом 135º до напряму на схід. Визначте місце розташування туриста до результату години.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помістимо початок координат у перехрестя доріг і направимо осі Х і Y відповідно на схід і на північ.

Початкове положення туриста (точка А) задане координатами

х₀ = 2 км і у₀ = 1 км.

З цієї точки проведемо під кутом 135° до осі Х вектор переміщення

Потрібно знайти координати х і у точки В.

на осі Х і Y.

Проекції s_x і s_у вектору переміщення, як видно з малюнка, дорівнюють за абсолютною величиною довжинам катетів прямокутного рівнобедреного трикутника АВС. Позначимо катет трикутника через а, тоді згідно з теоремою Піфагора

а² + а² = s²,

чи

2а² = s².

Звідси

s_x = –а = –3,5 км,

s_у = а = 3,5 км.

Кінцеві координати туриста ми знайдемо по формулах:

х = х₀ + s_x

у = у₀ + s_у

Підставивши в ці формули відповідні значення, отримаємо:

х = 2 км – 3,5 км = –1,5 км,

у = 1 км + 3,5 км = 4,5 км.

Переміщення при прямолінійному рівномірному русі.

Для того, щоб знайти положення тіла в якийсь момент часу, треба знати вектор переміщення, тому що саме він пов'язаний зі зміною координат тіла, що рухається. Проекції вектору переміщення точки на координатні осі просто дорівнюють змінам її координат. При русі тіла уздовж прямої в одному напрямі переміщення тіла безперервно зростає. Щоб знайти переміщення за час t, потрібно знати, як швидко воно зростає. Швидкість цього зростання визначають відношенням переміщення до значення проміжку часу t, в течії якого воно сталося. Це відношення називають швидкістю руху і означають буквою v. Оскільки переміщення – величина векторна, а час – скалярна, то швидкість теж векторна величина:

Швидкістю рівномірного прямолінійного руху тіла називають вектор, спрямований так само, як переміщення тіла, і рівний по модулю відношенню чисельних значень переміщення і проміжку часу, в течії якого це переміщення сталося.

Швидкість, таким чином, показує, яке переміщення тіло здійснює в одиницю часу. Отже, для того, щоб знайти переміщення тіла за цей час t, потрібно знати його швидкість

Тоді переміщення тіла можна вичислити по формулі:

По формулах, написаних у векторній формі, обчислення вести не можна. Адже векторна величина має не лише чисельне значення, але і напрям. При обчисленнях зручно користуватися формулами, в які входять не вектори, а їх проекції на осі координат, оскільки над проекціями можна виконувати дії алгебри.

При прямолінійному русі траєкторією являється пряма лінія. Природно тому направити координатну вісь уздовж цієї прямої. В цьому випадку при русі тіла змінюватиметься тільки одна координата, наприклад координата х, якщо вибрану вісь позначити через Х. Уздовж цієї осі будуть спрямовані і вектор швидкості, і вектор переміщення тіла.

Оскільки вектори

рівні, то рівні і їх проекції на вісь Х, т. е.

Ми вибрали координатну вісь Х так, щоб вона була спрямована уздовж тієї прямої, по якій рухається тіло. У такому разі, як ми умовилися, індекс при проекціях векторів переміщення і швидкості можна не ставити, так що замість s_х і v_х можна писати s і v. Тоді

s = vt.

Тепер можна отримати формулу для обчислення координати тіла х у будь-який момент часу. Відомо, що

x = x₀ + s_x,

отже,

x = x₀ + vt.

Необхідно пам'ятати, що в цій формулі v – це проекція вектору швидкості. А вона, як всяка проекція вектору, може бути позитивною і негативною. Якщо вектор швидкості спрямований так само, як вісь Х

те проекція його на вісь Х позитивна. Якщо ж напрям вектору швидкості протилежний до напряму осі Х

те його проекція на цю вісь негативна. Координата початкового положення тіла теж може бути позитивною і негативною: в початковий момент часу тіло може знаходитися і по одну і по іншу сторону від початку відліку.

Так само ця формула дозволяє знайти положення тіла (матеріальної точки) у будь-який момент часу при прямолінійному рівномірному русі. Для цього треба знати початкову координату тіла (точки) x₀ і проекцію вектору швидкості на вісь, уздовж якої рухається тіло (треба, отже, знати вектор швидкості !). ця формула показує, який сенс має величина <<швидкість>>.

Якщо рух відбувається уздовж осі Х, то проекція вектору швидкості на цю вісь рівна

Але х – х₀ – ця зміна координати х, а t – час, за який така зміна сталася. Отже:

При прямолінійному рівномірному русі проекція швидкості тіла на вісь координат дорівнює зміні координати тіла за одиницю часу.

Можна сказати, що швидкість показує швидкість зміни координати.

Коли тіло рухається уздовж осі, то за значенням проекції його швидкості на цю вісь можна знайти і сам вектор швидкості. Адже їх абсолютні значення співпадають, а знак проекції визначає напрям швидкості. Тому надалі в таких випадках скорочено називатимемо швидкістю значення її проекції на вісь. З тих же причин проекцію переміщення називатимемо переміщенням.

Для вирішення завдання механіки необхідно знати вектор швидкості, а не його модуль. Спідометри, що встановлюються в автомобілях, показують саме модуль швидкості. Їм <<все одно>>, куди рухаються автомобілі. За їх свідченнями тому не можна визначити ні напрями руху автомобіля, ні його положення у будь-який момент часу.

ЗАДАЧА:

По дорозі один назустріч одному рухаються два автомобілі: один із швидкістю 60 км/год, інший – 90 км/год. У заправної станції автомобілі зустрілися і після цього продовжували свій шлях.

Визначити положення кожного автомобіля через 30 мін після зустрічі і відстань між ними у цей момент.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За початок координат приймемо заправну станцію, а момент зустрічі автомобілів – за початок відліку часу. Координатну вісь (позначимо її буквою Х) направимо зліва направо. Тоді координати автомобілів через 0,5 годину після зустрічі можна вичислити по формулах:

x₁ = х₀₁ + v₁t и x₂ = х₀₂ + v₂t

Початкові координати х₀₁ і х₀₂ у обох автомобілів дорівнюють нулю. Тому

x₁ = v₁t и x₂ = v₂t

Проекція v₁ швидкості першого автомобіля позитивна, тому що вектор його швидкості спрямований так само, як вісь Х. Вона рівна v₁ = +60 км/год. Проекція v₂ швидкості другого автомобіля негативна, оскільки вектор його швидкості спрямований проти позитивного напряму осі Х, так що v₂ = –90 км/год.

Отже,