Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 8 января 2019 г.

Урок 5. Дії над векторами

ВИДЕО УРОК
Складання векторів.

 ЗАДАЧА:

 Пішоходові, що стоїть на перехресті двох вулиць, потрібно перейти з кута, позначеного  М1, на кут  М2.
Він міг би попрямувати безпосередньо до цього кута по прямій  М1М2. Тоді ми сказали б, що переміщення пішохода рівне
Але на вулицях з оживленим рухом такий перехід заборонений. Тому дисциплінований пішохід перейде спочатку з точки  М1  в точку  А, а потім з точки  А  в точку  М2. Кінцевий результат буде таким же, начебто він пройшов по прямій  М1М2. Переміщення
досягнуто в результаті двох переміщень:
Ці переміщення замінили одно. Природно вважати, що переміщення
є сума двох переміщень
Наведений приклад показує, що вектори складаються геометрично.

Щоб скласти два вектори, треба їх розташувати так, щоб кінець першого вектору примикав до початку другого. Вектор, що сполучає початок першого вектору з кінцем другого, є сума обох векторів.

 Правило паралелограма.

 Якщо треба скласти два вектори
їх розташовують так, щоб вони виходили з однієї точки.
Потім, вважаючи, що розташовані таким чином вектори утворюють дві сторони паралелограма, добудовують паралелограм і проводять діагональ з точки, де поєднані начала обох векторів. Ця діагональ і є сума векторів або результуючий вектор.
Інший спосіб складання двох векторів полягає в тому, що вектори, що складаються
розташовуються так, щоб кінець одного з них примикав до початку іншого. Сума обох векторів – це вектор, спрямований від початку першого вектору до кінця другого.
Цим же способом користуються, якщо треба скласти не два, а більше векторів. Усі вектори, що складаються, розташовуються так, щоб кінець першого вектору примикав до початку другого, кінець другого – до початку третього і т. д. Сума усіх векторів або результуючий вектор – це вектор, спрямований від початку першого вектору до кінця останнього.
Щоб скласти декілька векторів, потрібно розташувати їх так, щоб кінець першого вектору примикав до початку другого, кінець другого – до початку третього і т. д. Результатним буде вектор, спрямований від початку першого вектору до кінця останнього.

 За цим же правилом складають вектори, спрямовані уздовж однієї прямої (колінеарні вектори). Складання колінеарних векторів, спрямованих в одну і ту ж сторону і в сторони, протилежні один до одного показано на малюнках:
З цих малюнків видно, що паралельні (колінеарні) вектори складаються, як величини алгебри, якщо приписати одному з напрямів знак <<+>>, а протилежному знак <<–>>.
Як знайти проекцію вектору, що є сумою декількох векторів ? На малюнку
проведені вектори
і показаний результатний вектор
рівний сумі цих векторів:
З цього малюнка видно, що проекції векторів
на вісь  Х  позитивні, а проекція вектору
негативна. Видно також, що проекція результуючого вектору
виходить, якщо скласти проекції усіх трьох векторів, що складаються, алгебра, тобто з урахуванням того, що знак проекції вектору
негативний.

Отже, проекція суми векторів на задану вісь дорівнює сумі алгебри проекцій складових векторів на ту ж вісь.

 Тому, для того, щоб знайти проекцію суми векторів, немає необхідності знаходити результатний вектор і визначити його проекцію. Потрібно просто скласти проекції усіх векторів, враховуючи їх знаки.
Завданням, зворотним складанню вектору, є розкладання вектору на складові. Так, зокрема, знаходження по цій швидкості її складових називається розкладанням швидкості. Ця швидкість
розкладається на складові найрізноманітнішим чином, оскільки можна побудувати скільки завгодно паралелограмів із заданою діагоналлю, рівною вектору
щоб завдання розкладання цього вектору
на дві складові була б однозначною, треба додатково знати напрями складових векторів
чи величину і напрям одного з них.
Віднімання векторів.

 Щоб знайти вектор
рівний різниці двох векторів
треба скласти вектори
Вектор
рівний по модулю і спрямований протилежно вектору
Щоб знайти різницю двох векторів, треба розташувати їх так, щоб вони виходили з однієї точки, і з'єднати кінці обох векторів відрізком, спрямованим від другого вектору до першого (від від'ємника до зменшуваного). Цей спрямований відрізок і є вектор-різниця.

 За таким же правилом роблять віднімання колінеарних векторів
Якщо нам треба знайти проекцію різниці двох векторів
те, так само як у разі складання векторів, немає необхідності виконувати геометричні побудови. Неважко переконатися в тому, що проекція різниці векторів на вісь дорівнює різниці алгебри їх проекцій на цю вісь.

 Множення вектору на скаляр.

 ЗАДАЧА:

 Два автомобілі, що виїхали з гаража, до результату дня виявилися один в  100 км, а інший в  200 км  на північ від місця, де розташований гараж. Що можна сказати про переміщення цих двох автомобілів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Очевидно, що одно з них удвічі більше іншого. Якщо позначити переміщення в  100 км  через
те переміщення в  200 км  буде рівне
т. е. вектору
помноженому на  2. Вектор
має той же напрям, що і вектор
але його модуль удвічі більше.
Якби другий автомобіль відправився не на північ, а на південь, то його переміщення було б рівне
т. е. вектору
помноженому на і  –2. Вектор
удвічі більше вектора (за абсолютною величиною)
але спрямований в протилежну сторону.
Вектор
помножений на скаляр  k, є вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля вектору на модуль скаляра:
Вектор
спрямований так само, як вектор
якщо знак  k  позитивний. Якщо ж знак  k  негативний, то вектор

спрямований убік, протилежну до вектору
Проекція вектору
на вісь рівна помноженою на  k  проекції вектору


на цю вісь:

bx = kax.

 Итак, дії над векторами роблять за правилами геометрії.

При множенні вектору на скалярну величину  k  змінюється його модуль: збільшується при  k ˃ 1  або зменшується при  k < 1.

Якщо величина  k  позитивна, то напрям вектору
співпадає з напрямом вектору
Якщо ж величина  k  негативна, то вектор
спрямований протилежно вектору
Дії ж над проекціями векторів роблять за звичайними правилами алгебри. Якщо відомі проекції  aх  і  aу  вектору
на осі координат, те абсолютне значення самого вектору рівне
(теорема Піфагора).

ЗАДАЧА:

Камінь, який кинули з вікна другого поверху з висоти  4 м, упав на поверхню землі на відстані  3 м  від стіни будинку. Визначте модуль переміщення каменя.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Переміщення каменя
Перевіримо одиниці вимірювання:
Числове значення:
ВІДПОВІДЬ:  5 м

Відносність руху.

 Положення тіла (точки) в просторі завжди задається відносно якогось іншого тіла, вибраного тілом відліку. Через яку-небудь точку тіла відліку пов'язана система координат.
Але за тіло відліку ми можемо прийняти будь-яке тіло і з кожним з них зв'язати свою систему координат. Тоді положення одного і того ж тіла ми можемо одночасно розглядати в різних системах координат. Очевидно, що відносно різних тіл відліку в різних системах координат положення одного і того ж тіла може бути абсолютно різним.

 ПРИКЛАД:

 Положення автомобіля на дорозі можна визначити, вказавши, що він знаходиться на відстані  l1 км  на північ від населеного пункту  А.
Пункт  А  служить в даному випадку тілом відліку, а пряма, подумки проведена від нього на північ, – координатною віссю, пов'язаною з тілом відліку. Але можна вибрати за тіло відліку і який-небудь інший населений пункт, наприклад  В, і сказати, що автомобіль розташований в  l2 км  на схід від нього.
Це означає, що положення тіла відносне: воно різне відносно різних тіл відліку і пов'язаних з ними різних систем координат.
Але не лише положення тіла відносне. Відносно і його рух. У чому полягає відносність руху ?
Часто буває, що рух одного і того ж тіла доводиться розглядати відносно різних тіл відліку, які самі рухаються один відносно одного.

 ПРИКЛАД:

 Артилеристові важливо знати, як рухається снаряд не лише відносно Землі, на якій його знаряддя коштує нерухомо, але і відносно танка, в який він стріляє і який сам рухається відносно Землі.
Пілот цікавиться рухом літака і відносно Землі, і відносно повітря, яке у бурхливу погоду сам рухається.

 Рух одного і того ж тіла відносно різних тіл відліку, що рухаються одно відносно іншого, можуть сильно розрізнятися. Різними можуть бути і траєкторії, і швидкості руху цього тіла.
Розглянемо рухи одного і того ж тіла відносно двох тіл відліку, що рухаються один відносно одного. Припустимо, що одно тіло відліку нерухоме, а друге рухається відносно першого. Приймемо для простоти, що воно рухається прямолінійно і рівномірно. З'ясуємо, як знайти переміщення тіла відносно цих двох тіл відліку (звичайно, за одно і те ж час).

 ПРИКЛАД:

 Уявимо собі людину, що пливе вниз за течією річки з деякою швидкістю, яку він підтримує постійною, працюючи руками і ногами (якби він не працював руками і ногами, він би просто лежав на воді і відносно води знаходився у спокої). Приймемо за нерухоме тіло відліку беріг, а за рухливе – воду.
Як же рухається плавець відносно берега і відносно води ? припустимо, що за рухом плавця стежить два спостерігачі: один – на березі, а інший – на човні, який без весляру пливе за течією річки. Відносно води човен покоїться, а відносно берега вона рухається рівномірно з такою ж швидкістю, як і сама вода.
Проведемо подумки через точку  Про  на березі, в якій розташувався спостерігач, осі координат  X  і  Y, причому вісь  Х  направимо уздовж течії річки.
З човном (з водою) ми теж зв'яжемо систему координат  X'O'Y', осі  X'  і  Y'  якій паралельні осям  X  і  Y. Човен і вода рухаються поступально.
Знайдемо переміщення плавця відносно цих двох систем координат (систем відліку).
Для наочності подивимося, як рух плавця представлятиметься спостерігачам в човні і на березі. Спостерігач в човні через деякий час  t  відмітить, що плавець відносно нього вчинив переміщення
Розділивши це переміщення на якийсь час, він отримає швидкість плавця:
– це швидкість плавця відносно води (човна)
т. е. у рухливій системі координат  X'O'Y'.
Спостерігач на березі відмети, що за цей же час  t  переміщення плавця рівне
а сам човен вчинив переміщення
відносно берега. З малюнка видно, що переміщення
плавця відносно берега, т. е. у системі координат, XOY, дорівнює сумі обох переміщень:
Розділивши
на  t, спостерігач на березі отримає швидкість
плавця відносно берега:
Перший доданок

– це швидкість плавця відносно рухливої системи координат (води або човна). Доданок же
– це, очевидно, швидкість човна (води) відносно нерухомої системи координат (береги). Позначимо її через
Значить,
– це швидкість рухливої системи координат тієї, що відносно покоїться.
Отже
Ця формула називається формулою складання швидкостей.

 Таку саму формулу складання швидкостей ми отримали б і у тому випадку, якщо б плавець плив проти течії.
Швидкість руху тіла відносно нерухомої системи координат дорівнює геометричній сумі двох швидкостей: швидкості тіла відносно рухливої системи координат і швидкості найрухливішої системи відносно нерухомої.

 Швидкості тіла відносно різних систем відліку, що рухаються один відносно одного, різні. У цьому і проявляється відносність руху.
У розглянутому прикладі тіло (плавець), що рухається, і рухлива система координат (човен або вода) рухаються уздовж однієї прямої – уздовж осі  Х. Тому замість векторів
ми можемо скористатися їх проекціями на вісь  Х. Тоді формула складання швидкостей матиме вигляд:

 v = v1 + v2.

 Величини  v, v1  і  v2  в цій формулі можуть бути як позитивними, так і негативними залежно від напрямів векторів
по відношенню осі  Х.
Може статися і так, що тіло, яке рухається в одній системі координат, знаходиться у спокої відносно іншої. Якби той же плавець перестав працювати руками і ногами і просто лежав би на воді, то відносно човна він знаходився б у спокої, а відносно берега він рухався б із швидкістю течії. Навпаки, якби плавець плив із швидкістю течії, але в протилежному напрямі, то у спокої він знаходився ба відносно берега, а відносно води він рухався б зі швидкістю – v1. Отже, відносно не лише рух, але і спокій. Якщо тіло відносно якоїсь системи координат покоїться, то завжди можна знайти такі системи координат, відносно яких воно рухається. Це означає, що тіл, що абсолютно покояться, не існує. Рух властивий усім тілам і взагалі всьому, що існує в природі, т. е. всьому матеріальному світу.
Не завжди швидкості тіла, що рухається, і рухливої системи координат спрямовані уздовж однієї прямої, як в прикладі з плавцем в попередньому прикладі.

 ПРИКЛАД:

 Припустимо, що плавцеві знадобилося перепливти річку з одного берега на інший, так що рухатися він повинен увесь час перпендикулярно течії, т. е. перпендикулярно осі  Х.
Як і раніше вважатимемо рух плавця рівномірним.
Яким буде цей рух для спостерігача в човні (відносно рухливої системи координат  X'O'Y') і яким воно буде для спостерігача на березі (у системі координат  XOY, що покоїться) ?
Спостерігач в човні бачить, що плавець увесь час віддаляється від нього, рухаючись уздовж осі  Y'. Він бачить це, знаходячись і в точці  А, і в точці  В, і у будь-якій іншій точці. Через проміжок часу  t, коли човен знаходитиметься в точці  С, плавець виявиться на протилежному березі в точці  C', вчинивши переміщення
Переміщення самого спостерігача уздовж осі  Х  рівне
Розділивши переміщення
На якийсь час  t, спостерігач в човні отримає швидкість
плавця відносно рухливої системи координат  X'O'Y':
Спрямована вона уздовж осі  Y'.
Зовсім іншим видаватиметься рух плавця, що перепливає річку, спостерігачеві, що знаходиться на березі. Для цього спостерігача переміщатися буде і вісь  Y'. B  <<його>>  системі координат переміщення плавця за той же час  t  представиться спрямованим відрізком
Плавця віднесло вниз за течією. З малюнка видно, що переміщення
рівно геометричній сумі переміщення
плавця відносно рухливої системи координат  X'O'Y'  і переміщення
cамой системи координат  X'O'Y'  відносно нерухомої системи  XOY. Отже, і тепер так само як і в прикладі, розглянутому вище,
Швидкість плавця
Відносно системи  XOY  знайдемо так:
т. е.
Видно, що правило складання швидкостей залишилося таким же як і раніше, але тепер алгебра швидкості складати не можна, оскільки вектори

не паралельні один одному.
У розглянутому прикладі не лише швидкості руху, але і траєкторії плавця різні в різних системах координат. Якщо для спостерігача в човні траєкторією руху плавця є пряма, перпендикулярна течії річки, то для спостерігача на березі траєкторія руху плавця – це пряма, нахилена під деяким кутом (не рівним  90°) до напряму течії. Цей теж прояв відносності руху : в різних системах координат, що рухаються один відносно одного, і траєкторії руху різні.

 Завдання до уроку 5

Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий