Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 9 января 2019 г.

Урок 6. Нерівномірний прямолінійний рух

ВИДЕО УРОК
Рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення, називають нерівномірним рухом.

ПРИКЛАД:

Прив'яжемо до нитки такий вантаж, щоб візок почав рухатися без поштовху.
Краплі, що падають, залишать сліди, але вже не на рівних відстанях один від одного. Це означає, що тепер візок за рівні проміжки часу проходить вже неоднакові відстані.

Нерівномірно рухається автомобіль при чіпанні з місця або при гальмуванні. Нерівномірним є рух лижника або санчат з гори. Взагалі, нерівномірний рух в практиці зустрічається набагато частіше, ніж рівномірне.
При такому русі формулою
для обчислення переміщення користуватися не можна. Адже швидкість змінюється за часом і вже не можна говорити про якусь певну швидкість, значення якої можна було б підставити у формулу.
Будь-який змінний рух можна звести до рівномірного руху зі швидкістю, рівної середньої швидкості нерівномірного руху.

Середня швидкість тіла при нерівномірному русі.

В деяких випадках, коли мають справу з нерівномірним рухом, користуються так званою середньою швидкістю.
Потяги, пароплави, автомобілі і літаки між зупинками рухаються нерівномірно, тобто в рівні проміжки часу проходять неоднакові шляхи. Проте ми говоримо про швидкість руху потягу, пароплава, автомобіля і літака. Про яку ж швидкість йде тут мова ?

Говорячи про швидкість нерівномірного руху на якій-небудь ділянці шляху, мають на увазі середню швидкість.

 Якщо тіло вчинило деяке переміщення
за проміжок часу  t, то, розділивши
на  t, ми отримаємо середню швидкість:
Таким чином, середня швидкість показує, чому дорівнює переміщення, яке тіло в середньому здійснює за одиницю часу.

 Середньою швидкістю нерівномірного руху називають швидкість такого рівномірного руху, при якому тіло проходить той же шлях за той же час, що і при цьому нерівномірному русі.

 ПРИКЛАД:

 Потяг проходить  600 км  за  10 год, то означає, що в середньому він за кожну годину проходить  60 км:
Але ясно, що якусь частину часу потяг зовсім не рухався, а стояв на зупинці; рушаючи із станції, потяг збільшував свою швидкість, наближаючись до неї – зменшував її. Усе це при визначенні середньої швидкості не береться до уваги і вважається, що потяг кожну годину проходить по  60 км, щопівгодини – по  30 км  і т. д. Користуючись формулою
ми як би вважаємо, що потяг здійснює рівномірний рух з постійною швидкістю, рівною
хоча, можливо, за весь час руху не було жодної такої години, за яку він пройшов би саме  60 км. Але знання середньої швидкості дозволяє визначити переміщення по формулі:
При цьому потрібно пам'ятати, що ця формула дає вірний результат тільки для тієї ділянки траєкторії, для якої визначена середня швидкість. Якщо, користуючись значенням середньої швидкості в  60 км/год, обчислювати переміщення не за  10 год, а за 2, 4  або  5 год, то ми отримаємо невірний результат. Це пояснюється тим, що середня швидкість за час  10 год  не дорівнює середнім швидкостям за  2, 4  і  5 год.

 Таким чином, за допомогою поняття середньої швидкості основне завдання механіки – визначити положення тіла у будь-який момент часу – вирішити не можна.
Все ж у багатьох випадках значення середньої швидкості може виявитися корисним.

 ПРИКЛАД:

 Якщо туристам з їх колишнього досвіду або з досвіду їх товаришів відомо, що по гірській дорозі можна просуватися з середньою швидкістю  2 км/год, то вони, збираючись в новий похід в гірський район, можуть скористатися цим, щоб заздалегідь визначити місце, куди вони прийдуть до кінця дня.

 Часто, говорячи про середню швидкість, мають на увазі не вектор
а скалярну величину, визначувану завдовжки шляхи, яку тіло в середньому проходить за одиницю часу:
Якщо тіло не міняє напрям свого руху, то ця середня швидкість співпадає з абсолютним значенням вектору
Оскільки в цьому випадку
У разі, коли тіло рухається по складній непрямолінійній траєкторії (наприклад, автомобіль в місті), ці величини не співпадають. Про яку величину йде мова, зазвичай буває ясно з умови завдання.

ПРИКЛАД:

 Коли диспетчер в гаражі визначає, який запас пального потрібний автомобілю на день, він користується формулою
Знаючи середню швидкість автомобіля в місті, т. е. відстань, яка він в середньому проходить за  1 годину, можна визначити довжину шляху, яку він пройде за певний час, і, отже, необхідний запас пального.

 У цьому завданні не можна скористатися визначенням середньої швидкості як вектору: адже переміщення
автомобіля за день дорівнює нулю – він виїхав з гаража а потім в нього повернувся. Тому
ЗАДАЧА:

 Електропоїзд, відійшовши від станції, перші  s1 = 100 м  шляху проходить за час  t1 = 10 сек, а наступні  s2 = 300 м – за час  t2 = 15 сек. Визначите середню швидкість руху електропоїзда при розгоні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Середня швидкість руху електропоїзда визначається по формулі

 ВІДПОВІДЬ:  vc = 16 м/сек.

 Середню швидкість не можна визначати як середнє арифметичне значень швидкостей на окремих ділянках шляху. Останнє можливо лише у тому випадку, коли час руху на окремих ділянках з різними швидкостями однаковий.

 ЗАДАЧА:

 Першу половину часу свого руху автомобіль переміщався з середньою швидкістю  v1 = 60 км/год, а другу – з середньою швидкістю  v2 = 40 км/год. Визначити середню швидкість руху  vс  автомобіля в дорозі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Середня швидкість руху автомобіля визначається по формулі
де  s1 – шлях, пройдений автомобілем із швидкістю  v1, s2 – шлях, пройдений автомобілем із швидкістю  v2, t – час руху автомобіля. Шляхи  s1  і  s2  визначаються по формулах
Значення шляхів  s1  і  s2  підставимо у формулу середньої швидкості і знайдемо її чисельне значення:
ВІДПОВІДЬ:  vc = 50 км/час.

ПРИКЛАД:

Велосипедист, рухаючись по шосе, проїхав  900 м  зі швидкістю  15 м/сек, а потім, їдучи гіршою дорогою, – 400 м  зі швидкістю  36 км/год. З якою середньою швидкістю він подолав увесь шлях ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Середня швидкість нерівномірного руху:
Час руху велосипедиста на першій ділянці:
Час руху велосипедиста на другій ділянці:
Одиниці вимірювання очевидні.
Числове значення:
ВІДПОВІДЬ:  vc = 13 м/сек.

 Миттєва швидкість.

Ми зробили спробу звести нерівномірний рух до рівномірного руху і для цього ввели середню швидкість руху. Але це нам не допомогло: знаючи середню швидкість, не можна вирішувати найголовнішу задачу механіки – визначати положення тіла у будь-який момент часу. Чи можна яким-небудь іншим способом звести рівномірний рух до рівномірного ?
Цього зробити не можна, тому що механічний рух – це процес безперервний. Безперервність руху полягає в тому, що якщо, наприклад, тіло (чи точка), рухаючись прямолінійно із зростаючою швидкістю, перейшло з точки  А  в точку  В, то воно неодмінно повинне побувати в усіх проміжних точках, що лежать між  А  і  В, без всяких пропусків. Але це ще не усе.

ПРИКЛАД:

Припустимо, що, підходячи до точки  А, тіло рухалося рівномірно із швидкістю  5 м/сек, а після проходження точки  В  воно рухалося теж рівномірно, але із швидкістю  30 м/сек. При цьому на проходження ділянки  АВ  тіло витратило  15 сек. Отже, на відрізку  АВ  швидкість тіла за  15 сік  змінилася на  25 м/сек. Але так само як тіло при своєму русі не могло минути жодну з точок на його шляху, його швидкість повинна була набути усіх значень швидкості між  5 м/сек  і  30 м/сек. Теж без всяких пропусків !

У цьому і полягає безперервність механічного руху:

Ні координати тіла, ні його швидкість не можуть змінюватися скачками.

Звідси можна зробити дуже важливий висновок. Різних значень швидкості в інтервалі від  5 м/сек  до  30 м/сек  є незліченна множина (у математиці говорять нескінченно багато значень). Але між точками  А  і  В  є і незліченна безліч (нескінченно багато!) точок, а  15-секундний інтервал часу, в течії якого тіло перемістилося з точки  А  в точку  В, складається з незліченної безлічі проміжків часу (час теж тече без стрибків!).
Отже, в кожній точці траєкторії руху і в кожен момент часу тіло мало певну швидкість.

Швидкість, яку має тіло в даний момент часу або в цій точці траєкторії, називають миттєвою швидкістю.

При рівномірному прямолінійному русі швидкість тіла визначається відношенням його переміщення до проміжку часу, за який здійснено це переміщення. Що ж означає швидкість в цій точці або в даний момент часі ?

ПРИКЛАД:

 Припустимо, що деяке тіло (як завжди, ми маємо на увазі якусь певну точку цього тіла) рухається прямолінійно і поступально, але не рівномірно. Як вичислити його миттєву швидкість в деякій точці  А  його траєкторії ? Виділимо невелику ділянку  l  на цій траєкторії, що включає точку  А.
Мале переміщення тіла на цій ділянці позначимо через
а малий проміжок часу, в течії якого воно здійснене, через
Розділивши
ми отримаємо середню швидкість на цій ділянці: адже швидкість змінюється безперервно і в різних місцях ділянки  1  вона різна.
Зменшимо тепер довжину ділянки  1. Виберемо ділянку  2  (дивіться малюнок), що теж включає точку  А. На цій меншій ділянці переміщення рівне
і проходить його тіло за проміжок часу
Ясно, що на ділянці  2  швидкість тіла устигає змінитися на меншу величину. Але відношення
дає нам і для цієї меншої ділянки все ж середню швидкість. Ще менше зміні швидкості упродовж ділянки  3  (що також включає точку  А), меншого, ніж ділянки  1  і  2, хоча розділивши переміщення
ми знову отримаємо середню швидкість на цій малій ділянці траєкторії. Постійно зменшуватимемо довжину ділянки, а разом з ним і проміжок часу, за який тіло проходить цю ділянку. Врешті-решт ми стягнемо траєкторії, що примикає до точки  А, в саму точку  А, а проміжок часу, – у момент часу. Саме тоді середня швидкість і стане миттєвою швидкістю, тому що на досить малій ділянці зміна швидкості буде настільки мала, що його можна не враховувати, значить, можна вважати, що швидкість не змінюється.

 Миттєва швидкість, або швидкість, в цій точці дорівнює відношенню достатнього малого переміщення на малій ділянці траєкторії, що примикає до цієї точки, до малого проміжку часу, в течії якого здійснюється це переміщення.

Зрозуміло, що швидкість рівномірного прямолінійного руху – це одночасно його миттєва і середня швидкість.

Миттєва швидкість – величина векторна.

Її напрям співпадає з напрямом переміщення (рухи) в цій точці.
Прийом, до якого ми удалися, щоб пояснити сенс миттєвої швидкості, полягає, таким чином, в наступному. Ділянка траєкторії і час, в течії якого він проходиться, ми подумки поступово зменшуємо до тих пір, поки ділянку вже не можна відрізнити від точки, проміжок часу – від моменту часу, а нерівномірний рух – від рівномірного. Таким прийомом завжди користуються, коли вивчають явища, в яких грають роль які-небудь величини, що безперервно змінюються.

 Завдання до уроку 6
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий