Урок 4. Определение арифметической прогрессии

ПРИМЕР:

Пусть последовательность  (а_n)  такова, что её первый член равен  5, а каждый следующий, начиная со второго, получается прибавлением к предшествующему члену числа  3.

Вычислим несколько первых членов этой последовательности. Так как

а₁ = 5, то

а₂ = 5 + 3 = 8,

а₃ = 8 + 3 = 11,

а₄ = 11 + 3 = 14,

а₅ = 14 + 3 = 17,

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Рассмотренная выше последовательность  (а_n) – арифметическая прогрессия, так как при любом  n ∈ N 

а_n+1 = а_n + 3.

Из определения следует, что в арифметической прогрессии  (а_n)  разность между любым членом, начиная со второго, и ему предшествующим равна одному и тому же числу:

а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = … = а_n – а_n-1 = а_n+1 – а_n = … .

это число называют разностью арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии принято обозначать буквой  d.

Таким образом, арифметическая прогрессия  (а_n)  определяется:

1)  условием  а₁ = а, 

где  а – некоторое число;

2)  рекуррентной формулой

а_n+1 = а_n + d.

Для того чтобы задать некоторую арифметическую прогрессию  (а_n), достаточно знать её первый член  а₁  и разность  d.

ПРИМЕР:

Если

а₁  = 1  и  d = 1,

то мы имеем прогрессию

1;  2;  3;  4; … ,

членами которой являются последовательные натуральные числа.

ПРИМЕР:

Если

а₁  = 1  и  d = 2,

то членами соответствующей прогрессии

1;  3;  5;  7;  9; … ,

служат положительные нечётные числа, взятые в порядке возрастания.

ПРИМЕР:

Если

а₁  = 0  и  d = –2,

то мы получаем прогрессию

0;  –2;  –4;  –8; … ,

члены которой неположительные чётные числа, взятые в порядке убывания.

ПРИМЕР:

÷ 3; 7; 11; … ; 4n – 1; … – арифметическая прогрессия с разностью 

d = 4.

Очевидно, что арифметическая прогрессия, разность которой – положительное число, является возрастающей последовательностью, а арифметическая прогрессия, разность которой отрицательное число, – убывающей последовательностью.

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Арифметическая прогрессия обладает свойством:

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Если некоторая последовательность такова, что любой член её, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность – арифметическая прогрессия.

Поэтому:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, тогда каждый член её, начиная со второго, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

Свойства членов арифметической прогрессии.

а) каждый член арифметической прогрессии равен полусумме равноудалённых от него членов:

б) если задано  n  первых членов арифметической прогрессии  

a₁, a₂, a₃, … , a_n-2, a_n-1, a_n,

то суммы членов, равноудалённых от концов этой конечной арифметической прогрессии, равны между собой, то есть

a_k + a_n-k+1 = 2a₁ + d(n – 1),  k = 1, 2, 3, … , n.

ПРИМЕР:

Найдите первый член арифметической прогрессии  (а_n), если

а₃ + а₇ = 30,       

а₆ + а₁₆ = 60.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  a₁ = 5.

ПРИМЕР:

Найдите разность арифметической прогрессии  (а_n), если

а₅ + а₁₂ = 41,       

а₁₀ + а₁₄ = 62.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  d = 3.

• Задания к уроку 4

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии