Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 4 мая 2019 г.

Урок 4. Определение арифметической прогрессии

ПРИМЕР:

Пусть последовательность  (аn)  такова, что её первый член равен  5, а каждый следующий, начиная со второго, получается прибавлением к предшествующему члену числа  3.
Вычислим несколько первых членов этой последовательности. Так как

а1 = 5, то
а2 = 5 + 3 = 8,
а3 = 8 + 3 = 11,
а4 = 11 + 3 = 14,
а5 = 14 + 3 = 17,

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Рассмотренная выше последовательность  (аn) – арифметическая прогрессия, так как при любом  n N 

аn+1 = аn + 3.

Из определения следует, что в арифметической прогрессии  (аn)  разность между любым членом, начиная со второго, и ему предшествующим равна одному и тому же числу:

а2а1 = а3а2 = … = аnаn-1 = аn+1аn = … .

это число называют разностью арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии принято обозначать буквой  d.
Таким образом, арифметическая прогрессия  (аn)  определяется:

1)  условием  а1 = а
где  а – некоторое число;

2)  рекуррентной формулой

аn+1 = аn + d.

Для того чтобы задать некоторую арифметическую прогрессию  (аn), достаточно знать её первый член  а1  и разность  d.

ПРИМЕР:

Если

а1  = 1  и  d = 1,

то мы имеем прогрессию

1;  2;  3;  4; … ,

членами которой являются последовательные натуральные числа.

ПРИМЕР:

Если

а1  = 1  и  d = 2,

то членами соответствующей прогрессии

1;  3;  5;  7;  9; … ,

служат положительные нечётные числа, взятые в порядке возрастания.

ПРИМЕР:

Если

а1  = 0  и  d = –2,

то мы получаем прогрессию

0;  2;  4;  8; … ,

члены которой неположительные чётные числа, взятые в порядке убывания.

ПРИМЕР:

÷ 3; 7; 11; … ; 4n – 1; … арифметическая прогрессия с разностью 

d = 4.

Очевидно, что арифметическая прогрессия, разность которой – положительное число, является возрастающей последовательностью, а арифметическая прогрессия, разность которой отрицательное число, – убывающей последовательностью.
Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Арифметическая прогрессия обладает свойством:

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.
Справедливо и обратное:

Если некоторая последовательность такова, что любой член её, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность – арифметическая прогрессия.

Поэтому:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, тогда каждый член её, начиная со второго, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

Свойства членов арифметической прогрессии.

а) каждый член арифметической прогрессии равен полусумме равноудалённых от него членов:
б) если задано  n  первых членов арифметической прогрессии  

a1, a2, a3, … , an-2, an-1, an,

то суммы членов, равноудалённых от концов этой конечной арифметической прогрессии, равны между собой, то есть

ak + an-k+1 = 2a1 + d(n – 1),  k = 1, 2, 3, … , n.

ПРИМЕР:

Найдите первый член арифметической прогрессии  (аn), если

а3 + а7 = 30,       
а6 + а16 = 60.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТa1 = 5.

ПРИМЕР:

Найдите разность арифметической прогрессии  (аn), если

а5 + а12 = 41,       
а10 + а14 = 62.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  d = 3.
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий