Урок 4. Визначення арифметичної прогресії

ПРИКЛАД:

Нехай послідовність  (а_n)   така, що її перший член дорівнює  5, а кожен наступний, починаючи з другого, виходить збільшенням до попереднього члена числа  3.

Вичислимо декілька перших членів цієї послідовності. Оскільки

а₁ = 5, то

а₂ = 5 + 3 = 8,

а₃ = 8 + 3 = 11,

а₄ = 11 + 3 = 14,

а₅ = 14 + 3 = 17,

Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Розглянута вище послідовність  (а_n) – арифметична прогресія, оскільки при будь-кому  n ∈ N 

а_n+1 = а_n + 3.

З визначення виходить, що в арифметичній прогресії  (а_n)  різниця між будь-яким членом, починаючи з другого, і йому передуванням дорівнює одному і тому ж числу:

а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = … = 
а_n – а_n-1 = а_n+1 – а_n = … .

це число називають різницею арифметичної прогресії. Різницю арифметичної прогресії прийнято означати буквою  d.

Таким чином, арифметична прогресія  (а_n)  визначається:

1)  умовою а₁ = а, де  

а – деяке число;

2)  рекурентною формулою

а_n+1 = а_n + d.

Для того, щоб задати деяку арифметичну прогресію  (а_n), досить знати її перший член  а₁  і різниця  d.

ПРИКЛАД:

Якщо

а₁  = 1  и  d = 1,

те ми маємо прогресію

1;  2;  3;  4; … ,

членами якої є послідовні натуральні числа.

ПРИКЛАД:

Якщо

а₁  = 1  и  d = 2,

те членами відповідної прогресії

1;  3;  5;  7;  9; … ,

служать позитивні непарні числа, узяті в порядку зростання.

ПРИКЛАД:

Якщо

а₁  = 0  и  d = –2,

то ми отримуємо прогресію

0;  –2;  –4;  –8; … ,

члени якої непозитивні парні числа, узяті в порядку убування.

ПРИКЛАД:

3; 7; 11; … ; 4n – 1; … – арифметична прогресія з різницею 

d = 4.

Очевидно, що арифметична прогресія, різниця якої – позитивне число, є зростаючою послідовністю, а арифметична прогресія, різниця якої негативне число, – убуваючою послідовністю.

Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, то усі її члени рівні між собою і прогресія є постійною послідовністю.

Арифметична прогресія має властивість:

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним передуючого і подальшого членів.

Справедливо і зворотне:

Якщо деяка послідовність така, що будь-який член її, починаючи з другого, є середнім арифметичним передуючого і подальшого членів, то ця послідовність – арифметична прогресія.

Потому:

Числова послідовність є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, тоді кожен член її, починаючи з другого, є середнє арифметичне передуючого і подальшого членів.

Властивості членів арифметичної прогресії.

а) кожний член арифметичної прогресії дорівнює півсумі рівновіддалених від нього членів:

б) якщо задано  n  перших членів арифметичної прогресії  

a₁, a₂, a₃, … , a_n-2, a_n-1, a_n,

то суми членів, рівновіддалених від кінців цієї скінченної арифметичної прогресії, рівні між собою, тобто

a_k + a_n-k+1 = 2a₁ + d(n – 1),  k = 1, 2, 3, … , n.

ПРИКЛАД:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії  (а_n), якщо

а₃ + а₇ = 30,        

а₆ + а₁₆ = 60.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  a₁ = 5.

ПРИКЛАД:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії  (а_n), якщо

а₅ + а₁₂ = 41,        

а₁₀ + а₁₄ = 62.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  d = 3.

Завдання до уроку 4

Інші уроки:

• Урок 1. Поняття послідовності
• Урок 2. Способи завдання числової послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
• Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії