Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 4 мая 2019 г.

Урок 4. Визначення арифметичної прогресії

ПРИКЛАД:

Нехай послідовність  (аn)   така, що її перший член дорівнює  5, а кожен наступний, починаючи з другого, виходить збільшенням до попереднього члена числа  3.
Вичислимо декілька перших членів цієї послідовності. Оскільки

а1 = 5, то
а2 = 5 + 3 = 8,
а3 = 8 + 3 = 11,
а4 = 11 + 3 = 14,
а5 = 14 + 3 = 17,

Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Розглянута вище послідовність  (аn) – арифметична прогресія, оскільки при будь-кому  n N 

аn+1 = аn + 3.

З визначення виходить, що в арифметичній прогресії  (аn)  різниця між будь-яким членом, починаючи з другого, і йому передуванням дорівнює одному і тому ж числу:

а2а1 = а3а2 = … = 
аnаn-1 = аn+1аn = … .

це число називають різницею арифметичної прогресії. Різницю арифметичної прогресії прийнято означати буквою  d.
Таким чином, арифметична прогресія  (аn)  визначається:

1)  умовою а1 = а, де  
а – деяке число;

2)  рекурентною формулою

аn+1 = аn + d.

Для того, щоб задати деяку арифметичну прогресію  (аn), досить знати її перший член  а1  і різниця  d.

ПРИКЛАД:

Якщо

а1  = 1  и  d = 1,

те ми маємо прогресію

1;  2;  3;  4; … ,

членами якої є послідовні натуральні числа.

ПРИКЛАД:

Якщо

а1  = 1  и  d = 2,

те членами відповідної прогресії

1;  3;  5;  7;  9; … ,

служать позитивні непарні числа, узяті в порядку зростання.

ПРИКЛАД:

Якщо

а1  = 0  и  d = –2,

то ми отримуємо прогресію

0;  2;  4;  8; … ,

члени якої непозитивні парні числа, узяті в порядку убування.

ПРИКЛАД:

3; 7; 11; … ; 4n – 1; … арифметична прогресія з різницею 
d = 4.

Очевидно, що арифметична прогресія, різниця якої – позитивне число, є зростаючою послідовністю, а арифметична прогресія, різниця якої негативне число, – убуваючою послідовністю.
Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, то усі її члени рівні між собою і прогресія є постійною послідовністю.
Арифметична прогресія має властивість:

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним передуючого і подальшого членів.
Справедливо і зворотне:

Якщо деяка послідовність така, що будь-який член її, починаючи з другого, є середнім арифметичним передуючого і подальшого членів, то ця послідовність – арифметична прогресія.

Потому:

Числова послідовність є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, тоді кожен член її, починаючи з другого, є середнє арифметичне передуючого і подальшого членів.

Властивості членів арифметичної прогресії.

а) кожний член арифметичної прогресії дорівнює півсумі рівновіддалених від нього членів:
б) якщо задано  n  перших членів арифметичної прогресії  

a1, a2, a3, … , an-2, an-1, an,

то суми членів, рівновіддалених від кінців цієї скінченної арифметичної прогресії, рівні між собою, тобто

ak + an-k+1 = 2a1 + d(n – 1),  k = 1, 2, 3, … , n.

ПРИКЛАД:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії  (аn), якщо

а3 + а7 = 30,        
а6 + а16 = 60.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  a1 = 5.

ПРИКЛАД:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії  (аn), якщо

а5 + а12 = 41,        
а10 + а14 = 62.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  d = 3.

Комментариев нет:

Отправить комментарий