Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Зная первый член арифметической прогрессии  (а_n)  и её разность, можно с помощью последовательных вычислений найти любой член этой прогрессии.

ПРИМЕР:

Если  a₁ = 2,3  и  d =0,45, то 

a₂ = 2,75, a₃ = 3,2, a₄ = 3,65  и т. д.

Пусть нужно найти десятый член арифметической прогрессии, у которой заданы первый член и разность. Эту задачу можно решить, находя последовательно все члены от второго до десятого. Для получения сотого члена нужно проделать ещё большую вычислительную работу постораемся найти более короткий способ вычисления любого члена арифметической прогрессию

По определению арифметической прогрессии.

a₂ = a₁ + d.

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = 
a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = 
a₁ + 3d,

a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d =
a₁ + 4d,

Легко сообразить, что

a₆ = a₁ + 5d,

a₁₀ = a₁ + 9d,

a₂₃ = a₁ + 22d.

Вообще,

Приведём примеры в которых  n-член арифметической прогрессии выражается через первый член, разность прогрессии  d  и номер члена  n.

ПРИМЕР:

Требуется найти  10-й  и  100-й  члены арифметической прогрессии  (а_n), первый член которой  2,3, а разность  0,45. Воспользуемся формулой:

a₁₀ = 2,3 + 0,45 (10 – 1) = 
6,8 – 0,45 = 6,35,

a₁₀₀ = 2,3 + 0,45 (100 – 1) = 
47,3 – 0,45 = 46,85.

ПРИМЕР:

Выясним, является ли членом арифметической прогрессии

–10;  –5,5;  –1;  3,5; …

число  71.

Первый член данной арифметической прогрессии равен  –10, а разность  4,5. Число  71  является членом этой прогрессии, если существует такое натуральное значение переменной  n, при котором значение выражения

–10 + 4,5(n – 1)

равно  71.

Решим уравнение

–10 + 4,5(n – 1) = 71.

Получим:

4,5(n – 1) = 81,

n – 1 = 18,

n = 19.

Выражение

–10 + 4,5(n – 1)

Принимает значение, равное  71, при  n = 19, причём  19 – число натуральное. Значит, число  71 – девятнадцатый член данной прогрессии.

ПРИМЕР:

Между числами  2,5  и  4  вставить два таких числа, чтобы они вместе с данными образовали арифметическую прогрессию.

Имеем прогрессию  (а_n):

2,5;  a₂;  a₃;  4.

Воспользовавшись формулой

a_n = a₁ + d(n – 1)

и учитывая что

a₁ = 2,5,  a₄ = 4,

составим и решим уравнение:

2,5 + 3d = 4,

3d = 1,5,  d  = 0,5.

Тогда

а₂ = 2,5 + 0,5 = 3,

а₃ = 3 + 0,5 = 3,5.

ОТВЕТ:  3,  3,5

ПРИМЕР:

Найдите первый положительный член арифметической прогрессии:

–10,2;  –9,6;  –9; … .

РЕШЕНИЕ:

а₁ = –10,2, a₂ = –9,6. Поэтому,

d = a₂ – a₁ = –9,6 – (–10,2)  = 0,6.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Если  a_n > 0, то  

–10,2 + 0,6(n – 1) > 0,

n – 1 > 17, n > 18.

Поэтому, первый положительный член  a₁₉.

a₁₉ = –10,2 + 0,6(19 – 1) = 0,6.

ОТВЕТ:  0,6.

ПРИМЕР:

Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии:

10,5;  9,8;  9,1; … .

РЕШЕНИЕ:

а₁ = 10,5, a₂ = 9,8. Поэтому,

d = a₂ – a₁ = 9,8 – 10,5  = –0,7.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Если  a_n < 0, то  

10,5 – 0,7(n – 1) < 0,

0,7(n – 1) > 10,5,

n – 1 > 15, n > 16.

Поэтому, первый положительный член  a₁₇.

a₁₇ = 10,5 – 0,7(17 – 1) = –0,7.

ОТВЕТ:  –0,7.

ПРИМЕР:

Рассмотрим арифметическую прогрессию  (а_n), заданную условиями

a₁ = 6,  d = 4.

Найдём  n-й член данной арифметической прогрессии:

a_n = 6 + 4(n – 1), т. е.

a_n = 4n + 2.

Мы получили формулу, правая часть которой – двучлен  4n + 2, содержащий переменную  n (n ∈ N)   в первой степени. Значит, арифметическая прогрессия  (а_n)  является линейной функцией, заданной на множестве  N  натуральных чисел формулой

y = 4x + 2.

График этой арифметической прогрессии представляет собой множество точек с натуральными абсциссами, принадлежащих прямой

y = 4x + 2.

Это, например, точки

(1; 6), (2; 10), (3; 14),

и др.

Арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

Для того чтобы доказать это, представим формулу  n-го члена арифметической прогрессии

a_n = a₁ + d(n – 1)

в виде

a_n = dn + (a₁ – d).

Мы получили формулу вида

y = kx + b,

где  k = d  и  b = a₁ – d  – некоторые числа,

x = n  и  y = a_n – переменные, а такой формулой, как известно, задаётся линейная функция.

• Задания к уроку 5

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии