Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 25 мая 2019 г.

Урок 7. Определение геометрической прогрессии

ПРИМЕР:

Пусть последовательность  (bn)  такова, что первый член её равен  3, а каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на  2. Тогда

(bn)
b2 = 3 × 2 = 6,
b3 = 6 × 2 = 12,
b4 = 12 × 2 = 24,
b5 = 24 × 2 = 48, … .

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Рассмотренная выше последовательность  (bn) – геометрическая прогрессия, так как при любом 

n bn+1 = bn × 2.

Из определения следует, что в геометрической прогрессии  (bn)  отношение любого её члена, начиная со второго, к предшествующему равно одному и тому же числу:

b2 : b1 = b3 : b2 = … = bn : bn-1 = bn+1 : bn = … ..

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Его обычно обозначают буквой  q.
Согласно определения

an+1 = an qn N.

Геометрическая прогрессия обозначается символом  . Записывают её так:

a1, a2, a3, … , an-1, an, an+1, …

ПРИМЕР:

3;  6;  12;  24;  48; …геометрическая прогрессия со 
знаменателем 
q = 2.

Геометрическая прогрессия  (bn)  определяется:

1) условием 

b1 = b  (b 0);

2) рекуррентной формулой

bn+1 = bn × q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию  (bn), достаточно знать её первый член  b1  и знаменатель  q.

ПРИМЕР:

b1 = 6, q = 1/2,

то мы имеем геометрическую прогрессию

6;  3;  3/23/43/8; ... .

ПРИМЕР:

Условием

b1 = 6, q = –3

задаётся геометрическая прогрессия:

4;  –12;  36;  –108; ... .

В том случае, когда  q < 0, члены прогрессии с нечётными номерами имеют тот же знак, что и первый член, а члены прогрессии с чётными номерами имеют знак, противоположный знаку первого члена прогрессии. В этом случае прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Если  q > 0 (q 1), то прогрессия – либо возрастающая последовательностью, либо убывающая.

ПРИМЕР:

b1 = –2, q = 3.

В этом случае геометрическая прогрессия

–2;  –6;  –18; ... .

есть убывающая последовательность.

Если  q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия будет постоянной последовательностью.

Свойства членов геометрической прогрессии.

а) квадрат каждого члена геометрической прогрессии равен произведению равноудалённых от него её членов, то есть
б) если задано  n  первых членов геометрической прогрессии

a1, a2, a3, … , an-2, an-1, an,

то произведение членов, равноудалённых от концов этой конечной геометрической прогрессии, равны между собой:
k = 1,  2,  3, … ,  n.

Произведение  n  первых членов геометрической прогрессии
или
ПРИМЕР:

Найти четыре числа, из которых первые три будут последовательными членами геометрической прогрессии, а остальные три – членами арифметической прогрессии, если сумма крайних чисел равна  21, а сумма средних – 18.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим первые три числа  x, xq, xq2, тогда четвёртое число  у  найдем, воспользовавшись свойством последовательности членов  xq, xq2, у  арифметической прогрессии:

y = 2xq2xq.

По условию задачи имеем:
Решив эту систему, найдем:
ОТВЕТ:

Искомые числа

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:


Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Если некоторая последовательность такова, что любой член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов, то эта последовательность – геометрическая прогрессия.

Таким образом, справедлива теорема:

Числовая последовательность является геометрической прогрессией в том и только том случае, когда любой её член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов.

ПРИМЕР:

При каком отрицательном значении  х  значения выражений

2х – 3, х – 5, х + 2

будут последовательными членами геометрической прогрессии ?

РЕШЕНИЕ:

Числа  b1, b2, b3  будут последовательными членами геометрической прогрессии лишь тогда когда
Тогда
х2 = 2 – не удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ:  –11
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий