Урок 7. Определение геометрической прогрессии

ПРИМЕР:

Пусть последовательность  (b_n)  такова, что первый член её равен  3, а каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на  2. Тогда

(b_n)

b₂ = 3 × 2 = 6,

b₃ = 6 × 2 = 12,

b₄ = 12 × 2 = 24,

b₅ = 24 × 2 = 48, … .

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Рассмотренная выше последовательность  (b_n) – геометрическая прогрессия, так как при любом 

n ≥ 1  b_n+1 = b_n × 2.

Из определения следует, что в геометрической прогрессии  (b_n)  отношение любого её члена, начиная со второго, к предшествующему равно одному и тому же числу:

b₂ : b₁ = b₃ : b₂ = … = b_n : b_n-1 = b_n+1 : b_n = … ..

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Его обычно обозначают буквой  q.

Согласно определения

a_n+1 = a_n q,  n ∈ N.

Геометрическая прогрессия обозначается символом  ∺. Записывают её так:

∺ a₁, a₂, a₃, … , a_n-1, a_n, a_n+1, …

ПРИМЕР:

∺ 3;  6;  12;  24;  48; … – геометрическая прогрессия со 

знаменателем 

q = 2.

Геометрическая прогрессия  (b_n)  определяется:

1) условием 

b₁ = b  (b ≠ 0);

2) рекуррентной формулой

b_n+1 = b_n × q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию  (b_n), достаточно знать её первый член  b₁  и знаменатель  q.

ПРИМЕР:

b₁ = 6, q = ¹/₂,

то мы имеем геометрическую прогрессию

6;  3;  ³/₂;  ³/₄;  ³/₈; ... .

ПРИМЕР:

Условием

b₁ = 6, q = –3

задаётся геометрическая прогрессия:

4;  –12;  36;  –108; ... .

В том случае, когда  q < 0, члены прогрессии с нечётными номерами имеют тот же знак, что и первый член, а члены прогрессии с чётными номерами имеют знак, противоположный знаку первого члена прогрессии. В этом случае прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Если  q > 0 (q ≠ 1), то прогрессия – либо возрастающая последовательностью, либо убывающая.

ПРИМЕР:

b₁ = –2, q = 3.

В этом случае геометрическая прогрессия

–2;  –6;  –18; ... .

есть убывающая последовательность.

Если  q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия будет постоянной последовательностью.

Свойства членов геометрической прогрессии.

а) квадрат каждого члена геометрической прогрессии равен произведению равноудалённых от него её членов, то есть

б) если задано  n  первых членов геометрической прогрессии

∺ a₁, a₂, a₃, … , a_n-2, a_n-1, a_n,

то произведение членов, равноудалённых от концов этой конечной геометрической прогрессии, равны между собой:

k = 1,  2,  3, … ,  n.

Произведение  n  первых членов геометрической прогрессии

или

ПРИМЕР:

Найти четыре числа, из которых первые три будут последовательными членами геометрической прогрессии, а остальные три – членами арифметической прогрессии, если сумма крайних чисел равна  21, а сумма средних – 18.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим первые три числа  x, xq, xq², тогда четвёртое число  у  найдем, воспользовавшись свойством последовательности членов  xq, xq², у  арифметической прогрессии:

y = 2xq² – xq.

По условию задачи имеем:

Решив эту систему, найдем:

ОТВЕТ:

Искомые числа

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Если некоторая последовательность такова, что любой член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов, то эта последовательность – геометрическая прогрессия.

Таким образом, справедлива теорема:

Числовая последовательность является геометрической прогрессией в том и только том случае, когда любой её член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов.

ПРИМЕР:

При каком отрицательном значении  х  значения выражений

2х – 3, х – 5, х + 2

будут последовательными членами геометрической прогрессии ?

РЕШЕНИЕ:

Числа  b₁, b₂, b₃  будут последовательными членами геометрической прогрессии лишь тогда когда

Тогда

х₂ = 2 – не удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ:  –11

• Задания к уроку 7

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии