Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 28 мая 2019 г.

Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Зная первый член  b1  и знаменатель  q  геометрической прогрессии  (bn), можно путём последовательных вычислений найти второй, третий и вообще любой её член. Однако при нахождении членов с достаточно большими номерами удобнее пользоваться формулой, которая выражает любой член последовательности  (bn)  через первый член  b1, знаменатель прогрессии  q  и номер искомого члена  n.
Из определения прогрессии следует, что

b2 = b1 × q,
b3 = b2 × q = (b1 × q) × q = b1 × q2,
b4 = b3 × q = (b1 × q2) × q = b1 × q3,
b5 = b4 × q = (b1 × q3) × q = b1 × q4  и т. д.

Вообще, формула общего члена геометрической прогрессии:
ПРИМЕР:

В геометрической прогрессии  (bn)

b1 = 0,8  и  q = 1/2.

Найти  b10.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой

bn = b1 × qn-1:
ПРИМЕР:

В геометрической прогрессии  (cn)

c1 = –27  и  q = 1/3.

Найти  n-й член этой прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы  cn = c1 × qn-1  имеем:
ПРИМЕР:

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется  20%  находящегося в нём воздуха. Определить давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было равным  750 мм рт. ст.

РЕШЕНИЕ:

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется  20%  находящегося в нём воздуха, то в нём остаётся  80%, или иначе, 4/5 имевшегося воздуха.
Для того чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, достаточно умножить на  4/5  число, показывающее значение давления воздуха после предыдущего движения поршня. Число, указывающее последовательно значение первоначального давления воздуха в сосуде, величину давления после одного движения поршня, после двух движений, после трёх и т. д., образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен  750, а знаменатель равен  4/5. Числовое значение давления воздуха после шести движений поршня, выраженное в мм рт. ст., является седьмым членом этой прогрессии, значит, оно равно произведению

750 × (4/5)6.

Произведя вычисления, получим:
Итак, после шести движений поршня давление воздуха в сосуде равно  197 мм рт. ст.
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий