Урок 41. Уравнения с модулем

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

На практике это делается так:

1)  находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2)  разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие пол знаком модуля, сохраняют знак;

3)  на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

|х  + 3| = 2х – 1.

РЕШЕНИЕ:

Критическая точка находится после решения уравнения

х + 3 = 0,  х = –3.

1)  При  х < –3  получаем уравнение

–х – 3 = 2х – 1,

откуда  х = –²/₃.

Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.

2)  При  х ≥ 3  получаем уравнение

х + 3 = 2х – 1,

Откуда  х = 4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

ОТВЕТ:  4

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

|х  + 2| + |х  + 3| = х.

РЕШЕНИЕ:

Найдём критические точки:

х + 2 = 0  или  х + 3 = 0,

х = –2  или  х = –3.

Решаем задачу на каждом промежутке:

1)  х < –3, –х – 2 – х – 3 = х,  –3х = 5,

х = –⁵/₃  (не входит в рассматриваемый промежуток).

2)  –3 ≤ х < –2, –х – 2 + х + 3 = х, 

х = 1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

3)  х ≤ –2, х + 2 + х + 3 = х, 

х = –5 (не входит в рассматриваемый промежуток).

ОТВЕТ:  ∅

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

|х  + 5| – |х  – 3| = 8.

РЕШЕНИЕ:

Найдём критические точки:

х + 5 = 0  или  х – 3 = 0,

х = –5  или  х = 3.

Решаем задачу на каждом промежутке:

1)  х < –5, –х – 5 –(–х + 3) = 8, –х – 5 + х – 3 = 8,

–8 = 8, ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.

2)  –5 ≤ х < 3, х + 5 –(–х + 3) = 8,   х + 5 + х – 3 = 8,

2х = 6, х = 3  (не входит в рассматриваемый промежуток).

3)  х ≥ 3, х + 5 –(х – 3) = 8, х + 5 – х + 3 = 8, 

8 = 8  верно. Уравнение выполняется при всех  х  из рассматриваемого промежутка.

ОТВЕТ:  [3; +∞)

Задания к уроку 41

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3