Урок 13. Неравенства с двумя переменными

ВИДЕО УРОК

Каждое неравенство с двумя переменными  х  и  у  определяет множество пар  (х; у)  значений переменных, которые являются его решениями, то есть задаёт некоторое отношение между значениями переменной  х  и значениями переменной  у.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в истинное неравенство.

ПРИМЕР:

Неравенство

у > –0,5х + 4

содержит две переменные  х  и  у. Чтобы найти какое-либо решение этого неравенства, выберем произвольное значение  х, например 

х = 2,

и вычислим соответствующее значение выражения

–0,5х + 4.

Получим:

–0,5×2 + 4 = 3.

Любая пара, в которой значение  х  равно 2, а значение  у  больше  3, например

(2; 4), (2; 5,2), (2; 100) 

и так далее, является решением рассматриваемого неравенства:

у > –0,5х + 4.

Вообще, выбрав значение  х  произвольно и взяв значение  у, большее соответствующего значения выражения

–0,5х + 4,

мы получим некоторое решение неравенства

у > –0,5х + 4.

Очевидно, что множество решений этого неравенства бесконечно.

Графическое решение неравенств с двумя переменными.

Известно, что пара действительных чисел  (х; у)  однозначно определяет точку координатной плоскости. Это даёт возможность изобразить решения неравенства с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

График отношения, заданного неравенства с двумя переменными,  есть множество точек плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Для краткости график отношения, заданного неравенством с двумя переменными, будем называть графиком неравенства.

ПРИМЕР:

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

2х + 3 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Неравенство 2х + 3 < 0  равносильно неравенству х < –³/₂, которому удовлетворяют точки, лежащие слева от прямой  х = –³/₂.

В общем случае прямая

Ах + Ву + С = 0

разделяет плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство

Ах + Ву + С < 0,

а в другой – неравенство

Ах + Ву + С ˃ 0.

Чтобы решить эти неравенства, достаточно взять какую-нибудь точку  М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой

Ах + Ву + С = 0,

и определить знак числа

Ах₁ + Ву₁ + С.

ПРИМЕР:

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

2у – 3х – 6 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

2у – 3х – 6 = 0

является уравнением прямой, проходящей через точки 

(–2; 0)  и  (0; 3).

Пусть  М₁(х₁; у₁) – точка, лежащая ниже прямой  l  (в заштрихованной на рисунке полуплоскости), а  М₂ – точка с абсциссой  х₁  и ординатой  у₂, лежащая на прямой  l. Тогда

2у₂ – 3х₁ – 6 = 0,  а

2у₁ – 3х₁ – 6 < 0,

так как  у₁ < у₂.

Таким образом, в любой точке  М(х; у), лежащей ниже прямой  l, выполняется неравенство

2у₁ – 3х₁ – 6 < 0.

Аналогично, в любой точке  М(х; у), лежащей выше прямой  l, выполняется неравенство

2у₁ – 3х₁ – 6 ˃ 0.

Точно так же можно решить неравенство общего вида:

Ах + Ву + С < 0,

где по крайней мере одно из чисел  А  и  В  не равно нулю.

Если  В ˃ 0, то неравенство

Ах + Ву + С < 0

выполняется во всех точках лежащих ниже прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Если  В < 0, то неравенство

Ах + Ву + С < 0

справедливо в точках, лежащих выше этой прямой.

Если  В = 0, то неравенство

Ах + Ву + С < 0

примет вид

Ах + С < 0

Это неравенство равносильно неравенству

х < –^С/_А  при  А ˃ 0 

и неравенству

х ˃ –^С/_А   при  А < 0.

ПРИМЕР:

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

3х – 4у – 12 < 0.

РЕШЕНИЕ:

Неравенство

3х – 4у – 12 < 0

верно в полуплоскости, расположенной выше прямой

3х – 4у – 12 = 0,

так как при  х = у = 0  выражение

3х – 4у – 12

отрицательно. Эта прямая проходит через точки 

(4; 0)  и  (0; –3)

ПРИМЕР:

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

х + у – 1 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем данное неравенство к виду

у ˃ –х + 1.

Построим на координатной плоскости прямую

у = –х + 1.

Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой

у = –х + 1, 

больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства.

ПРИМЕР:

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

у ˃ –0,5х + 4.

РЕШЕНИЕ:

Выясним, что представляет собой график неравенства

у > –0,5х + 4.

Известно, что множество точек, координаты которых являются решениями уравнения

у = –0,5х + 4,

есть прямая.

Выберем на этой прямой какую-либо точку  А  и проведём через точку  А  прямую  l, параллельную оси  у. Координаты точки  А  удовлетворяют уравнению

у = –0,5х + 4.

У любой точки  В, расположенной на прямой  l  выше точки  А, 

абсцисса та же, а ордината больше, чем ордината точки  А. Значит, её координаты удовлетворяют неравенству

у > –0,5х + 4.

Координаты точки  А  и точек прямой  l, расположенных ниже точки  А, этому неравенству не удовлетворяют. Вообще неравенству

у > –0,5х + 4

удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, которые расположены выше прямой

у = –0,5х + 4,

то есть выше соответствующей точки этой прямой, лежащей на той же вертикали.

График неравенства

у > –0,5х + 4

есть открытая полуплоскость, расположенная выше прямой

у = –0,5х + 4.

На рисунке эта полуплоскость показана штриховкой. Для того чтобы подчеркнуть, что прямая

у = –0,5х + 4

не принадлежит графику отношения, заданного неравенством

у > –0,5х + 4,

её изобразили штриховой линией.

Рассуждая аналогично, можно показать, что график неравенства

у < –0,5х + 4

есть открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой

у = –0,5х + 4.

Вообще прямая

у = kх + b,

где  k  и  b – некоторые числа, разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих этой прямой, на две открытые полуплоскости, одна из которых задаётся неравенством

у > kх + b,

а другая – неравенством

у < kх + b.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

2х + 5у ˃ 7.

РЕШЕНИЕ:

Для начала выразим  у  через  х:

Построим прямую

Множество всех решений неравенства расположено, либо выше, либо ниже данной прямой.

Можно подставить любую пару чисел и проверить, выполнилось неравенство или нет. Если неравенство выполнилось, то мы выбираем в качестве решения ту область, которой принадлежит эта пара чисел, если не выполнилось, то выбираем противоположную область.

Выберем пару 

(1; 2)

и подставим значения  х = 1  и  у = 2 в неравенство

Так как  2  больше  1, то неравенство верное.
Значит, надо выбрать область выше прямой. Область, в которой выполняется наше неравенство обычно принято изображать штриховкой или другим цветом.

ПРИМЕР:

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства:

2х + 3у < 6.

РЕШЕНИЕ:

Начертим график уравнения

2х + 3у = 6.

Пара  (0;0)  является решением неравенства

2х + 3у < 6,

и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства

2х + 3у < 6

является нижняя полуплоскость.

ПРИМЕР:

Парабола

у = ¹/₄ х²

Разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества. Множество точек, расположенных выше параболы, задаётся неравенством

у > ¹/₄ х²,

а множество точек, расположенных ниже параболы, – неравенством

у < ¹/₄ х².

На рисунке изображён график неравенства

у ≥ ¹/₄ х²

(объединение множества точек параболы

у = ¹/₄ х²

и множества точек плоскости, расположенных выше параболы).

ПРИМЕР:

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

х(х – 2) ≤ у – 3.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство к виду

у ≥ х² – 2х + 3.

Построим на координатной плоскости параболу – график функции

у = х² – 2х + 3.

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы

у = х² – 2х + 3,

больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство

у ≥ х² – 2х + 3

нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе

у = х² – 2х + 3

и выше неё.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

ху < 3.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим три возможных случая:

1)  х = 0, то получаем верное неравенство  0 < 3. Что значит, неравенство выполняется для любых  у, если  х = 0.

2)  х ˃ 0. Перейдём к неравенству  у < ³/_х. В правой полуплоскости данному неравенству удовлетворяют множество всех точек, расположенных ниже прямой  у = ³/_х.

3)  х < 0. Перейдём к неравенству  у ˃ ³/_х. В левой полуплоскости данному неравенству удовлетворяют множество всех точек, расположенных выше прямой  у = ³/_х.

Построим график и отметим множество всех решений.

ПРИМЕР:

График уравнения

х² + у² = 36

есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным  6  единицам. Точки, лежащие внутри круга, ограниченного этой окружностью, и только эти точки удалены от начала координат менее чем на  6  единиц, и, следовательно, их координаты удовлетворяют неравенству

х² + у² < 36.

Координаты точек, лежащих вне круга, удовлетворяют неравенству

х² + у² > 36.

На рисунке

изображён график неравенства

х² + у² ≤ 36.

Он определяет собой круг с центром в начале координат и радиусом, равным  6.

ПРИМЕР:

На координатной плоскости изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

|3х – 2у| ≤ 4.

РЕШЕНИЕ:

Используя свойство модуля, запишем данное неравенство в виде двойного неравенства:

–4 ≤ 3х – 2у ≤ 4

и выразим из него  у. 

Получаем:

–4 – 3х ≤ –2у ≤ 4 – 3х,

откуда

Сначала построим две граничные линии:

Они представляют собой две параллельные прямые.

Эти прямые разбивают точки координатной плоскости на область, расположенную между ними, и область, расположенную за ними. Проверка показывает, что данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные между этими прямыми (эти точки заштрихованы). Например, для начала координат (контрольная точка  х = 0, у = 0) получаем, что данное неравенство

|3х – 2у| ≤ 4

выполняется

|3 ∙ 0 – 2 ∙ 0| ≤ 4.

Задания к уроку 13

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность