Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 1. Ймовірні події

У буденному житті, в практичній і науковій діяльності нерідко доводиться спостерігати ті або інші явища, провести декілька експериментів. В ході досліджень або експерименту доводиться стикатися з деякими випадковими подіями, тобто такими подіями, які можуть статися або не статися.

ПРИКЛАД:

Випадання орла або решки при підкиданні монети.

Попадання в мішень або промах при пострілі.

Перемога спортивної команди в зустрічі з суперником, поразка або нічийний результат.

Теорія ймовірностей – це розділ математики, який займається вивченням закономірності випадкових подій. Методи теорії ймовірностей застосовуються в інформатику, фізику, астрономії, біології, медицині і у багатьох інших галузях знань.

У пошуках відповіді на питання; <<як часто настає те, або інша подія у великій серії випробувань, що відбуваються в однакових умовах, з випадковими результатами ?>>, сталося зародження теорії вірогідності.

ПРИКЛАД:

Виконали такі випробування. Підкидали 100 разів гральний кубик, на гранях якого є окуляри від одного до шести, і відмічали, яка кількість разів на верхній грані кубика випаде шість очок. При підкиданні грального кубика на його верхній грані може випасти одно, два, три, чотири, п'ять або шість очок. Всяка з цих шести подій, або, як то кажуть, шести результатів випробування, вважається випадковою. Число 17, яке показує, скільки разів в цьому випробуванні сталося дане події, називають частотою цієї події, а відношення частоти до загального числа випробувань, рівне ¹⁷/₁₀₀, називають відносною частотою цієї події.

Класичне визначення ймовірності.

Відношення числа тих результатів, в результаті яких настає подія А, до загального числа усіх (равновозможных між собою) результатів цього випробування називають ймовірностью події А при проведенні деякого випробування. Ймовірність події обчислюється за формулою

де m – число елементарних подій, що сприяють події А,
n, – число усіх елементарних подій.

Поняття події.

Подія – це одно з головних визначень теорії вірогідності. Під подією розуміють будь-який факт, який може статися надалі досвіду або випробування. Досвід, або випробування, має на увазі реалізацію певного комплексу умов.

ПРИКЛАД:

– попадання в ціль при пострілі зі знаряддя (досвід – добуток пострілу; подія – попадання в ціль);

– випадання двох гербів при триразовому киданні монети (досвід – триразове кидання монети; подія – випадання двох гербів);

– виникнення помилки виміру в заданих межах при вимірі дальності до мети (досвід – вимір дальності; подія – помилка виміру).

Події позначаються заголовними буквами латинського алфавіту

А, В, С і так далі.

У теорії ймовірностей розрізняють прості та складені події.

Складеною називатимемо подію, поява якої залежить від появи інших подій, які називатимемо простими.

ПРИКЛАД:

Під час кидання двох кубиків випало 11 очок. Ця подія є складеною, бо вона складається з різних можливостей для двох простих подій:

1) на першому кубику випало 5, а на другому – 6 очок;

2) на першому кубику випало 6, а на другому – 5 очок.

Операції над подіями.

Найбільш значимим при розробці апарату і методики дослідження випадкових подій в теорії ймовірностей, являється визначення суми і твору подій.

Сумою, або об'єднанням, декількох подій називається подія, що полягає в настанні хоч би однієї з цих подій.

Сумою S подій А, В, С, … N, позначається

S = A + B + C + … + N.

ПРИКЛАД:

Якщо подія А є попадання в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія

С = А + В

є попадання в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.

Добутком, або перетином, декількох подій називається подія, що полягає в спільній появі усіх цих подій.

Добуток S подій

А, В, С, … N,

позначається

S = ABC … N.

ПРИКЛАД:

Якщо подія А є попадання в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія

С = АВ

полягає в тому, що в мету потрапили при обох пострілах.

Поняття суми і добутку подій має наочну геометричну інтерпретацію.

Нехай подія А полягає в попаданні точки в область А, подія В – в попаданні в область В, тоді подія А + В полягає в попаданні точки в область, зафарбовану на малюнку

і подія АВ – в попаданні точки в область, зафарбовану на малюнку

Події, поява одного з яких не унеможливлює появу іншого, називаються сумісними подіями.

ПРИКЛАД:

Три стрільці стріляють у мішень. Розглянемо випадкові події: А – перший стрілець влучив у мішень, В – другий стрілець влучив у мішень, С – третій стрілець влучив у мішень. А, В, С – сумісні випадкові полії.

Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій мінус ймовірність їх спільної появи:

р(А + В) = р(А) + (В) – р(А×В).

Події, поява одного з яких унеможливлює появу іншого, називаються несумісними подіями.

Події називають попарно несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому ж випробуванні.

ПРИКЛАД:

З ящика з деталями виймають одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події взяли <<стандартну деталь>> і <<взяли нестандартну деталь>> – дві попарно несумісні події.

Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій:

р(А + В) = р(А) + р(В).

Події, поява одного з яких впливає на появу іншої події, називаються залежними подіями.

Дві події називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія.

ПРИКЛАД:

У коробці лежить 80 деталей: 50 стандартних і 30 нестандартних. З ящика навмання беруть одну деталь і не повертають її назад. Якщо вийняли стандартну деталь (подія А), то імовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В) дорівнює

Якщо в першому випробуванні вийнята нестандартна деталь, то ймовірність Р(В) дорівнює

Отже, ймовірність появи події В залежить від того, відбулася чи не відбулася подія А.

Події А і В – залежні.

Подію В називають незалежною від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В.

Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку одного з них на умовну ймовірність іншого:

Події, поява одного з яких не впливає на появу іншої події, називаються незалежними подіями.

Умовною імовірністю події А, залежної від події В, називають імовірність, обчислену для події А в припущенні, що подія В вже відбулася. Позначають

Р_В(А).

ПРИКЛАД:

Нехай в урні є дві білі й одна чорна кульки. Дві особи виймають навмання з урни по одній кульці. Розглянемо події:

А – поява білої кулі у першої особи;

В – поява білої кулі у другої особи.

Імовірність події В до того, поки невідомо про подію А, дорівнює ²/₃. Якщо ж стало відомо, що подія А відбулася, то ймовірність події В дорівнюватиме ¹/₂. Якщо ж подія А не відбувається, то ймовірність події В (друга особа взяла білу кульку) дорівнює ²/₂ = 1. Отже, ймовірність події В залежіть від події А і є умовною. Умовну ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася, обчисляють за формулою

Імовірність події АВ (обидві особи взяли білі кульки) можна обчислити за класичним означенням імовірності, врахувавши, що все можливих варіантів є три (бб, бч, чб), а сприяє настанню події АВ лише один варіант (бб). Тому

отже

З формули

слідує:

Р(АВ) = Р(А) × Р_А(В).

Оскільки подія ВА не відрізняється від подій АВ і

Р(ВА) = Р(В) × Р_В(А),

то одержимо:

Р(А) × Р_А(В) = Р(В) × Р_В(А).

Ймовірність появи добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірності цих подій:

р(А × В) = р(А) × р(В).

Подія, що є зворотною по відношенню до якого або події, називається протилежною подією.

Подію ̅А називають протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається подія А. Якщо А – деяка полія, то протилежну їй подію позначають ̅А.

ПРИКЛАД:

1) влучення в ціль під час вистрілу і промах – протилежні події. Якщо А – влучення, то ̅А – промах;

2) з ящика з деталями вибирають деталь. Подія А – вибрали стандартну деталь і ̅А – вибрали нестандартну деталь. Події А та – ̅А протилежні.

Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці, мінус ймовірність цієї події, тобто

Р(А) + Р( ̅А) = 1;

Р(А) = 1 – Р( ̅А).

Якщо ймовірність однієї з протилежних подій позначити через р, а іншої – через q, то

p + q = 1.

ПРИКЛАД:

Успішному шансу появи четвірки на гральній кістці являтиметься ¹/₆. А протилежністю цієї події буде шанс, що кістка не випаде, тобто

1 –¹/₆ = ⁵/₆.

Формула повної ймовірності.

Ймовірність події А, яке може статися одночасно з одним з n попарно несумісних подій

H₁, H₂, … , H_n,

що називаються гіпотезами, утворюють повну групу подій, рівна:

Формула Бернулли.

Взаємно незалежними називають такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробуван.

ПРИКЛАД:

Кілька послідовних виймань кульок з урни, в якій міститься 12 зелених і 9 синіх кульок є незалежними випробуваннями за умови, що вийняту кульку щоразу повертають назад до урни. Якщо кульку не повертати, то випробування будуть залежними.

Формула в теорії ймовірності, що дозволяє знаходити ймовірність появи події А при незалежних випробуваннях. Формула Бернулли дозволяє позбавитися від великого числа обчислень – складання і множення ймовірності – при досить великій кількості випробувань. Названа на честь видатного швейцарського математика Якоба Бернулли, який вивів цю формулу.

Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна, то ймовірність P_k,n того, що подія А настане рівно k разів в n незалежних випробуваннях, рівна: