Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 11 декабря 2019 г.

Урок 1. Ймовірні події

У буденному житті, в практичній і науковій діяльності нерідко доводиться спостерігати ті або інші явища, провести декілька експериментів. В ході досліджень або експерименту доводиться стикатися з деякими випадковими подіями, тобто такими подіями, які можуть статися або не статися.

ПРИКЛАД:

Випадання орла або решки при підкиданні монети.
Попадання в мішень або промах при пострілі.
Перемога спортивної команди в зустрічі з суперником, поразка або нічийний результат.

Теорія ймовірностей – це розділ математики, який займається вивченням закономірності випадкових подій. Методи теорії ймовірностей застосовуються в інформатику, фізику, астрономії, біології, медицині і у багатьох інших галузях знань.
У пошуках відповіді на питання; <<як часто настає те, або інша подія у великій серії випробувань, що відбуваються в однакових умовах, з випадковими результатами ?>>, сталося зародження теорії вірогідності.

ПРИКЛАД:

Виконали такі випробування. Підкидали  100  разів гральний кубик, на гранях якого є окуляри від одного до шести, і відмічали, яка кількість разів на верхній грані кубика випаде шість очок. При підкиданні грального кубика на його верхній грані може випасти одно, два, три, чотири, п'ять або шість очок. Всяка з цих шести подій, або, як то кажуть, шести результатів випробування, вважається випадковою. Число  17, яке показує, скільки разів в цьому випробуванні сталося дане події, називають частотою цієї події, а відношення частоти до загального числа випробувань, рівне  17/100, називають відносною частотою цієї події.

Класичне визначення ймовірності.

Відношення числа тих результатів, в результаті яких настає подія  А, до загального числа усіх (равновозможных між собою) результатів цього випробування називають ймовірностью події  А  при проведенні деякого випробування. Ймовірність події обчислюється за формулою
де  m – число елементарних подій, що сприяють події  А
n, – число усіх елементарних подій.

Поняття події.

Подія – це одно з головних визначень теорії вірогідності. Під подією розуміють будь-який факт, який може статися надалі досвіду або випробування. Досвід, або випробування, має на увазі реалізацію певного комплексу умов.

ПРИКЛАД:

– попадання в ціль при пострілі зі знаряддя (досвід – добуток пострілу; подія – попадання в ціль);
– випадання двох гербів при триразовому киданні монети (досвід – триразове кидання монети; подія – випадання двох гербів);
– виникнення помилки виміру в заданих межах при вимірі дальності до мети (досвід – вимір дальності; подія – помилка виміру).

Події позначаються заголовними буквами латинського алфавіту
А, В, С  і так далі.
У теорії ймовірностей розрізняють прості та складені події.

Складеною називатимемо подію, поява якої залежить від появи інших подій, які називатимемо простими.

ПРИКЛАД:

Під час кидання двох кубиків випало  11  очок. Ця подія є складеною, бо вона складається з різних можливостей для двох простих подій:
1)  на першому кубику випало  5, а на другому – 6  очок;
2)  на першому кубику випало  6, а на другому – 5  очок.

Операції над подіями.

Найбільш значимим при розробці апарату і методики дослідження випадкових подій в теорії ймовірностей, являється визначення суми і твору подій.

Сумою, або об'єднанням, декількох подій називається подія, що полягає в настанні хоч би однієї з цих подій.

Сумою  S  подій  А, В, С, … N,  позначається

S = A + B + C + … + N.

ПРИКЛАД:

Якщо подія  А  є попадання в ціль при першому пострілі, подія  В – при другому, то подія

С = А + В

є попадання в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.

Добутком, або перетином, декількох подій називається подія, що полягає в спільній появі усіх цих подій.

Добуток   S  подій 

А, В, С, … N

позначається

S = ABC … N.

ПРИКЛАД:

Якщо подія  А  є попадання в ціль при першому пострілі, подія  В – при другому, то подія

С = АВ

полягає в тому, що в мету потрапили при обох пострілах.

Поняття суми і добутку подій має наочну геометричну інтерпретацію.
Нехай подія  А  полягає в попаданні точки в область  А, подія  В – в попаданні в область  В, тоді подія  А + В  полягає в попаданні точки в область, зафарбовану на малюнку
і подія  АВ – в попаданні точки в область, зафарбовану на малюнку
Події, поява одного з яких не унеможливлює появу іншого, називаються сумісними подіями.

ПРИКЛАД:

Три стрільці стріляють у мішень. Розглянемо випадкові події: А – перший стрілець влучив у мішень, В – другий стрілець влучив у мішень, С – третій стрілець влучив у мішень. А, В, С – сумісні випадкові полії.

Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій мінус ймовірність їх спільної появи:

р(А + В) = р(А) + (В) – р(А×В).

Події, поява одного з яких унеможливлює появу іншого, називаються несумісними подіями.

Події називають попарно несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому ж випробуванні.

ПРИКЛАД:

З ящика з деталями виймають одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події взяли <<стандартну деталь>> і <<взяли нестандартну деталь>> – дві попарно несумісні події.

Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій:

р(А + В) = р(А) + р(В).

Події, поява одного з яких впливає на появу іншої події, називаються залежними подіями.
Дві події називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія.

ПРИКЛАД:

У коробці лежить  80  деталей: 50 стандартних і  30  нестандартних. З ящика навмання беруть одну деталь і не повертають її назад. Якщо вийняли стандартну деталь (подія А), то імовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В) дорівнює
Якщо в першому випробуванні вийнята нестандартна деталь, то ймовірність  Р(В)  дорівнює
Отже, ймовірність появи події  В  залежить від того, відбулася чи не відбулася подія  А.
Події  А  і  В – залежні.
Подію  В  називають незалежною від події  А, якщо поява події  А  не змінює ймовірності появи події  В.

Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку одного з них на умовну ймовірність іншого:
Події, поява одного з яких не впливає на появу іншої події, називаються незалежними подіями.

Умовною імовірністю події  А, залежної від події  В, називають імовірність, обчислену для події  А  в припущенні, що подія  В  вже відбулася. Позначають  

РВ(А).

ПРИКЛАД:

Нехай в урні є дві білі й одна чорна кульки. Дві особи виймають навмання з урни по одній кульці. Розглянемо події:

А – поява білої кулі у першої особи;
В – поява білої кулі у другої особи.

Імовірність події  В  до того, поки невідомо про подію  А, дорівнює  2/3. Якщо ж стало відомо, що подія  А  відбулася, то ймовірність події  В  дорівнюватиме  1/2. Якщо ж подія  А  не відбувається, то ймовірність події  В  (друга особа взяла білу кульку) дорівнює  2/2 = 1. Отже, ймовірність події  В  залежіть від події  А  і є умовною. Умовну ймовірність події  В  за умови, що подія  А  вже відбулася, обчисляють за формулою
Імовірність події  АВ  (обидві особи взяли білі кульки) можна обчислити за класичним означенням імовірності, врахувавши, що все можливих варіантів є три (бб, бч, чб), а сприяє настанню події  АВ  лише один варіант (бб). Тому
отже
З формули
слідує:

Р(АВ) = Р(А) × РА(В).

Оскільки подія  ВА  не відрізняється від подій  АВ  і

Р(ВА) = Р(В) × РВ(А),

то одержимо:

Р(А) × РА(В) = Р(В) × РВ(А).

Ймовірність появи добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірності цих подій:

р(А × В) = р(А) × р(В).

Подія, що є зворотною по відношенню до якого або події, називається протилежною подією.

Подію   ̅А  називають протилежною до події  А, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається подія  А. Якщо  А – деяка полія, то протилежну їй подію позначають   ̅А.

ПРИКЛАД:

1)  влучення в ціль під час вистрілу і промах – протилежні події. Якщо  А – влучення, то  ̅А – промах;
2)  з ящика з деталями вибирають деталь. Подія  А – вибрали стандартну деталь і  ̅А – вибрали нестандартну деталь. Події  А  та –  ̅А протилежні.

Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці, мінус ймовірність цієї події, тобто

Р(А) + Р( ̅А) = 1;
Р(А) = 1 – Р( ̅А).

Якщо ймовірність однієї з протилежних подій позначити через  р, а іншої – через  q, то

p + q = 1.

ПРИКЛАД:

Успішному шансу появи четвірки на гральній кістці являтиметься  1/6. А протилежністю цієї події буде шанс, що кістка не випаде, тобто   

1 – 1/6 = 5/6.

Формула повної ймовірності.

Ймовірність події  А, яке може статися одночасно з одним з  n  попарно несумісних подій

H1, H2, … , Hn,

що називаються гіпотезами, утворюють повну групу подій, рівна:
Формула Бернулли.

Взаємно незалежними називають такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробуван.

ПРИКЛАД:

Кілька послідовних виймань кульок з урни, в якій міститься  12  зелених і  9  синіх кульок є незалежними випробуваннями за умови, що вийняту кульку щоразу повертають назад до урни. Якщо кульку не повертати, то випробування будуть залежними.

Формула в теорії ймовірності, що дозволяє знаходити ймовірність появи події  А  при незалежних випробуваннях. Формула Бернулли дозволяє позбавитися від великого числа обчислень – складання і множення ймовірності – при досить великій кількості випробувань. Названа на честь видатного швейцарського математика Якоба Бернулли, який вивів цю формулу.

Якщо ймовірність р  настання події  А  в кожному випробуванні постійна, то ймовірність  Pk,n  того, що подія  А  настане рівно  k  разів в  n  незалежних випробуваннях, рівна:
де  q = 1 – p.
ЗАДАЧА:

Знайдіть імовірність того, що взяте навмання трицифрове натуральне число буде кратнім числу  4  або числу  5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Обчислимо ймовірність за класичною формулою:
де  m – загальна кількість трицифрових чисел. Усіх трицифрових чисел  900  з них діляться на  4:
діляться на  5:
діляться на  4  і  5 (тобто діляться на  20):
Тоді 

р
(4 + 5) = р(4) + р(5) – р(4 × 5) =
Ймовірність рівна  40%.

ВІДПОВІДЬ:  40%

ЗАДАЧА:

У шухляді лежать  42  картки, пронумерованих числами від  1  до  42. Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки не буде кратним числу  7 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Із  42  чисел кратними  7  є  6  чисел

(7, 14, 21, 28, 35, 42),

тоді не кратними

42 – 6 = 36.

Шукана ймовірність

Р(А) = 36/42 = 6/7.

ВІДПОВІДЬ:  6/7.

ЗАДАЧА:

Підкидають дві монети. Яка ймовірність, що випаде два герби ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Усіх випадків – 4

(ГГ, ГР, РГ, РР),

сприятливих – 1 (ГГ).
Тому  Р = 1/4 = 0,25.

ВІДПОВІДЬ:
 
0,25
Завдання до уроку 1

Комментариев нет:

Отправить комментарий