Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач

ВИДЕО УРОК

Нахождение площади фигуры, ограниченной различными линиями.

Вычисление площади с помощью определённого интеграла всегда предполагает построение чертежа. Необходимо помнить графики основных элементарных функций и уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Вычисление площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью  ОХ, прямыми  х = а, х = b  и графиком непрерывной на отрезке  [a, b]  функции  у = f (х), которая не меняет знак на этом промежутке.

Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс.

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определённому интегралу

С точки зрения геометрии определённый интеграл – это площадь. То есть, определённому интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

ПРИМЕР:

Рассмотрим определённый интеграл

Подынтегральная функция

задаёт на плоскости кривую, располагающуюся выше оси  ОХ, а сам определённый интеграл

численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

ПРИМЕР:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у = х² + 2, 

у = 0,  х = –2.

РЕШЕНИЕ:

Выполним чертёж. Сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить по точкам.

На отрезке  [–2; 1]  график функции

у = х² + 2

расположен над осью  ОХ, поэтому:

ОТВЕТ:  S = 9 ед².

После того, как задание выполнено, всегда полезно посмотреть на чертёж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае подсчитываем количество клеточек в чертеже, примерно получается  9. Если бы получился ответ примерно  20 квадратных единиц, то очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру  20  клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено неправильно.

Если на отрезке  [a, b] некоторая непрерывная функция  f(x)  больше либо равна некоторой непрерывной функции  g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми  х = а, х = b, можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и не важно, какой график выше (относительно другого графика), а какой ниже.

ПРИМЕР:

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

у = 2х – х², 

у = –х.

РЕШЕНИЕ:

Сначала нужно выполнить чертёж. При построении чертежа в задачах на площадь нас интересуют точки пересечения линий. Найдём точки пересечения параболы

у = 2х – х²,

и прямой

у = –х.

это можно сделать двумя способами.

Первый способ – аналитический.

Решаем уравнение:

2х – х² = –х,

3х – х² = 0,

х(3 – х) = 0.

х₁ = 0,  х₂ = 3.

Значит нижний предел интегрирования  a = 0, верхний предел интегрирования  b = 3.

Аналитический способ нахождения пределов приходится применять, если, например, график достаточно большой, или поточечное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными).

Второй способ – графический.

Сначала строим прямую и только потом параболу.

При поточечном построении пределы интегрирования получаются <<автоматически>>.

На графике видно, что на отрезке  [0, 3]  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  2х – х²  необходимо вычесть  –х.

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой  2х – х²  сверху и прямой  –х  снизу. На отрезке  [0, 3]    

2х – х² ≥ –х,

Поэтому по соответствующей формуле получаем:

ОТВЕТ:  S = 4,5 ед².

ПРИМЕР:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

ух  = 4,  х = 2, 

х = 4  и осью  ОХ.

РЕШЕНИЕ:

Выполним чертёж.

На отрезке  [2; 4]  график функции

у = ⁴/_х

расположен над осью  ОХ, поэтому

ОТВЕТ:  

S = 4 ln 2 ед² ≈ 2,77 ед².

ПРИМЕР:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = –e^x,  х = 1,

и координатными осями.

РЕШЕНИЕ:

Выполним чертёж.

Если криволинейная трапеция расположена под осью  ОХ  (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае

ОТВЕТ:  

S = (е – 1) ед² ≈ 1,72 ед².

Если необходимо решить просто определённый интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

Если необходимо найти площадь фигуры с помощью определённого интеграла, то полученный результат должен быть всегда положительным.

Вычисление объёма тела вращения.

Найдем формулу для вычисления объема любого тела вращения.

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовые координаты  х, y  приняв ось тела за ось  х. Плоскость  ху  пересекает поверхность тела по линии, для которой ось  х  является осью симметрии.

Пусть  y =  (х) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью  х. Проведем через точку  (х, 0)  плоскость, перпендикулярную оси  х, и обозначим через  V(x)  объём части тела, которая лежит влево от этой плоскости, V(x)  является функцией от  х. Разность

V(x + h) – V(x)   

представляет собой объем прослойки тела толщиной  h, заключительного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси  х  и проходят через точки с абсциссами  х  и  х + h. Пусть  М – большее, а  m – наименьшее значение функции  f(х)   на отрезке  [x, x + h]. Тогда рассмотренная прослойка тела содержит цилиндр с радиусом  m  и высотой  h  и находится в цилиндре с радиусом  М  и той же высотой  h. Поэтому

При стремлении высоты  h  к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине  πf ²(x). Средняя ж часть этого неравенства при стремлении  h  к  0  стремится к производной

V' (x)  функции  V(x). Выходит,

V' (x) = πf ² (x).

По известной формуле

Эта формула и даёт объём части тела, заключённого между параллельными плоскостями  х = а  и  х = b.

Алгоритм вычисления объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла

1.  Ввести систему координат так, что ось  ОХ  перпендикулярна основанию геометрического тела.

2.  Найти пределы интегрирования  а  и  b.

3.  Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси  ОХ  через точку с абсциссой  х.

4.  Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию  S(Х).

5.  Проверить непрерывность функции  S(Х)  на  [a; b].

ЗАДАЧА:

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

вокруг оси ординат.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим указанное тело вращения:

Тогда искомый объём равен:

ОТВЕТ:

V_0у = 8π (куб. ед.)

Вычисление площади поверхности тела.

Пусть кривая  АВ  задана функцией

y = f (x) ≥ 0, x ∈ [a; b],

которая является непрерывной вместе со своей производной  y' (x)  на этом отрезке. Площадь  S  поверхности образованной вращением кривой  АВ  вокруг оси  Ох  равна

ЗАДАЧА:

Найти площадь поверхности шара с центром в начале координат радиуса  R.

РЕШЕНИЕ:

Будем считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности

вокруг оси абсцисс.
Тогда по формуле находим, что искомая площадь равна:

ОТВЕТ:

S_Ох = 4πR² (кв. ед.)

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Предел функции
• Урок 2. Определение производной функции
• Урок 3. Дифференцирование функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 6. Определённый интеграл
• Урок 7. Применение производной при исследовании функций