Урок 1. Предел функции

ВИДЕО УРОК

Понятие предела.

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом  ∞. Его следует понимать как бесконечно большое  (+∞)  или бесконечно малое  (–∞)  число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем ввиду сразу оба этих её смысла, однако запись вида  +∞  или  –∞  не стоит заменять просто на  ∞.

Любой предел состоит из трёх частей.

1)  Всем известного значка предела  lim.

2)  Записи под значком предела, например

Запись читается <<икс стремиться к единице>>. Чаще всего – именно  х, хотя вместо <<икса>> на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (∞).
3)  Функции под знаком предела, например:

Сама запись

читается так: <<предел функции

при икс стремящемся к единице>>.

Что значит выражение <<икс стремится к единице>> ? И что вообще такое <<стремится>> ?

Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое.

Построим последовательность: сначала 

х = 1,1, затем 

х = 1,01, х = 1,001, 
х = 1,00000001, ...

то есть выражение <<икс стремится к единице>> следует понимать так – <<икс>> последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Запись предела функции в общем виде имеет вид

В нижней части мы пишем основной аргумент  х, а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению  х₀  он будет стремиться. Если значение  х₀  является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение  х₀  стремится к  бесконечности (не важно, +∞  или  –∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным.

Число  А  является пределом функции  f(x)  при

если последовательность её значений будет сходиться к  А  для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).


Запись предела функции выглядит так:

Его называют конечным пределом,

При

предел функции  f(x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так:

или

Его называют бесконечным пределом.

Если нельзя определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

ПРИМЕР:

Найти предел функции

при

РЕШЕНИЕ:


Подставляем вместо  х  значение  0. Получаем:

Итак, предел данной функции при

равен  1.

ОТВЕТ:  1

ПРИМЕР:

Найти предел функции:

при

РЕШЕНИЕ:


Подставляем вместо  х  бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю.

Для наглядности и убедительности можно подставить вместо  х  супербольшое число. При делении получите супермалое число.

ОТВЕТ:  0

Основные теоремы о пределах.

Функция не может иметь более одного предела.

Если две функции  f(x)  и  g(x)  равны в некоторой окрестности точки  х₀, за исключением, может быть самой точки  х₀, то либо они имеют один и тот же предел при

либо обе не имеют предела в этой точке.

Если функции  f(x)  и  g(x)  имеют пределы в точке  х₀, то:

– предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, то есть

Формула справедлива для любого конечного числа функций.

– предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, то есть

Формула справедлива для любого конечного числа функций.

– предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, то есть

– предел постоянной величины равен самой постоянной, то есть

– постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

ПРИМЕР:

Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  12

ПРИМЕР:

Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю.

Таким образом, формула

применима и, значит,

ОТВЕТ:  ¹/₅

О пределе сложной функции.

– если существует конечный предел

а функция  f(u)  непрерывна в точке  u₀, то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно менять местами.

Непосредственное применение теоремы о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию.

ПРИМЕР:

Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим.

2х² – 3х – 2 = 2(х – 2)(х + 0,5),

где  х₁ = 2, х₂ = –0,5 – корни квадратного трёхчлена. Теперь сократим дробь и вычислим предел данной функции:

ОТВЕТ:  ⁵/₂

Примеры пределов с бесконечностью.

ПРИМЕР:

Найдите предел:

РЕШЕНИЕ:

Разберёмся, что такое

Это тот случай, когда  х  неограниченно возрастает, то есть сначала  

х = 10, потом  

х = 100, потом  

х = 1000, затем  

х = 1000000  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией  1 – х ?

1 – 10 = –9,

1 – 100 = –99,

1 – 1000 = –999.

Если

то функция  1 – х  стремится к минус бесконечности

Тут вместо <<икса>> подставляем в функцию  1 – х  бесконечность и получаем ответ.

ОТВЕТ:  –∞

ПРИМЕР:

Найдите предел:

РЕШЕНИЕ:

Начинаем увеличивать  х  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Если  х = 10, то  10² – 2∙10 – 3 = 77,

Если  х = 100, то  100² – 2∙100 – 3 = 9797,

Если  х = 1000, то  1000² – 2∙1000 – 3 = 997997,

При

функция

x² – 2x – 3

неограниченно возрастает

ОТВЕТ:  ∞


Простейшие виды пределов.

Пределы с неопределённостью вида

и метод их решения.

Рассмотрим группу пределов, когда

а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.

ПРИМЕР:

Вычислить предел:

РЕШЕНИЕ:

Подставим бесконечность в функцию. Что получается вверху ? Бесконечность. А внизу ? Тоже бесконечность. Таким образом получилась так называемая неопределённость вида

Можно было бы подумать, что

и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый приём решения, который и рассмотрим.

Сначала смотрим на числитель и находим  х  в старшей степени. Старшая степень в числителе равна двум.

Затем смотрим на знаменатель. Старшая степень знаменателя равна двум.

Метод решения следующий:

Для того, чтобы раскрыть неопределённость

Необходимо разделить числитель и знаменатель на  х  в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на  х².

ОТВЕТ:  ²/₃

ПРИМЕР:

Вычислить предел:

РЕШЕНИЕ:

Максимальная степень в числителе  3.

Максимальная степень в знаменателе  4.

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четвёрку.

Разделим числитель и знаменатель на  х⁴.

ОТВЕТ:  0

ПРИМЕР:

Вычислить предел:

РЕШЕНИЕ:

Максимальная степень <<икса>> в числителе:  2.

Максимальная степень <<икса>> в знаменателе:  1.

Для раскрытия неопределённости

необходимо разделить числитель и знаменатель на  х².

Под записью

Подразумевается не деление на ноль (на ноль делить нельзя), а деление на бесконечно малое число.

ОТВЕТ:  ∞

Таким образом, при раскрытии неопределённости вида

может получиться конечное число, ноль или бесконечность. 

Пределы с неопределённостью вида

и метод их решения.

Рассмотрим группу пределов, когда  х  стремится к конечному числу, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.

ПРИМЕР:

Вычислить предел:

РЕШЕНИЕ: 

Сначала подставим  –1  в дробь:

В данном случае получилась неопределённость

Если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределённость вида

то для её раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращённого умножения.

Решаем предел дальше. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

2х² – 3х – 5 = 0.

Сначала находим дискриминант:

D = (–3)² – 4 ∙ 2 ∙ (–5) = 9 + 40 = 49.

И квадратный корень из него:

√͞͞͞͞͞D  = √͞͞͞͞͞49 = 7.

Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно, либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

2х² – 3х – 5 = 2(х – (–1))(х – ⁵/₂) =

 2(х + 1)(х – ⁵/₂) = (х + 1)(2х – 5).

ОТВЕТ:  –7

ПРИМЕР:

Вычислить предел:

РЕШЕНИЕ: 

Сначала подставим  2  в дробь:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

8 – 2х² = 2(4 – х²) = 2(2 – х)(2 + х);

х² + 4х – 12 = 0,

D = 16 + 48 = 64.

√͞͞͞͞͞D  = √͞͞͞͞͞64 = 8.

х² + 4х – 12 = (х +6)(х – 2).

ОТВЕТ:  –1

Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это надо делать. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.

В ходе решения фрагмент типа

встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести  –1  за скобки).

То есть появляется знак <<минус>>, который при вычислении предела учитывается и терять его нельзя.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное что, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

ПРИМЕР:

Найдите предел:

РЕШЕНИЕ: 

Сначала подставляем  3  в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.

Получена неопределённость вида

которую нужно устранять.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределённости

используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

Сначала вспомним формулу:

(a – b)(a + b) = a² – b²,

а затем смотрим предел

Можно сказать что  (a – b)  в числителе уже есть. теперь для применения формулы осталось организовать  (a + b)  (которое и называется сопряжённым выражением).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

В известной степени, это искусственный приём.

Теперь применяем формулу:

(a – b)(a + b) = a² – b².

И решаем дальше:

Неопределённость

не пропала, корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, её можно превратить в постоянное число, подставив тройку под корни

Число надо вынести за значок предела.
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь.

ОТВЕТ:  –³/₁₀

ПРИМЕР:

Найдите предел:

РЕШЕНИЕ:

Сначала подставляем  –2  в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.

Разложим числитель на множители:

х² + х – 2 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

√͞͞͞͞͞ D = 3,

х² + х – 2 = (х + 2)(х – 1). 

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

= 4 ∙ (–3) = –12. 

ОТВЕТ:  –12

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 2. Определение производной функции
• Урок 3. Дифференцирование функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 6. Определённый интеграл
• Урок 7. Применение производной при исследовании функций
• Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач