Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 29 мая 2020 г.

Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій

ВИДЕО УРОК

Зв'язок похідною і проміжків монотонності функції.

Монотонно зростаюча функція – це функція, у якій більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.
Монотонно спадна функція – це функція, у якій більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Якщо  Δx ˃ 0, то знак збільшення  Δy  і знак похідної в точці  x0 збігається зі знаком  f '(x0). Тобто якщо похідна  f '(x0)  в цій точці більше нуля, то  Δy ˃ 0  і зрозуміло, що функція в околиці цієї точки буде зростати. А якщо похідна менше нуля, значить, Δy < 0  і зрозуміло, що в околиці цієї точки функція буде спадати.
Похідна в точці  x0  є тангенс кута нахилу дотичної  α.
Дотична описується лінійною функцією. В околиці точки  х0  крива і лінійна функція майже збігаються. Якщо кут нахилу гострий, тангенс буде позитивним, кутовий коефіцієнт – величина позитивна, і лінійна функція зростає, а значить, в околиці цієї точки і сама функція зростає:
І навпаки, якщо лінійна функція спадає, кут тупий, тангенс – величина негативна, отже, лінійна функція спадає, а з нею убуває і сама функція:
Так події розвиваються в околиці точки  х0. Ці події підкоряються геометричному змістом похідної (її фізичним змістом тобто співвідношенням

у' (x0) ∙ ∆х).

Дослідження проміжків монотонності функції за допомогою похідної.


Розглянемо функцію і її поведінка на всій  ОДЗ.
Припустимо, що це графік досліджуваної функції. Є точка  х1. Дотична нахилена під гострим кутом  α1.
Значить в точці  х1  функція зростає. У точці  х2  дотична паралельна осі  Ох, значить  х2 – точка екстремуму.
У точці  х3  кут  α3  нахилу дотичній буде тупим, тангенс буде величиною від'ємною, значить, похідна негативна і функція тут убуває.
І, нарешті, в точці  х4  похідна дорівнює нулю і далі функція зростає.
З'ясовується, що функція зростає на інтервалах, де похідна більше нуля:
якщо ж значення похідної негативне, то функція спадає:
Вся  ОДЗ  складається з окремих точок, значить, треба виділити ті інтервали, на яких похідна менше нуля і на яких похідна більше нуля. Ці інтервали визначають ті ділянки  ОДЗ, на яких функція або зростає, або зменшується. Цей же висновок отримаємо, розглядаючи співвідношення

уf ' (x0) ∙ ∆х.

На тих областях, на яких похідна  f '(x0менше нуля, Δу < 0  функція спадає. Відповідно, на тих областях  ОДЗ, де похідна f '(x0) більше нуля  Δу ˃ 0  функція зростає.
Тепер можна написати, де убуває, а де зростає дана нам функція.
На малюнку показані проміжки зростання функції.
Функція  y = f (x)  зростає при 

х (–∞; x2],  [х4; +∞)


Тепер з'ясуємо, де дана функція спадає.
На малюнку показані проміжки спадання функції.
Функція  y = f (x)  убуває при 

х [х2; x4]

У точках  х2  і  x4  похідна дорівнює нулю, тому їх значення не включаємо.
Але ми розглядаємо той випадок, коли похідна менше нуля. Але функція спадає, коли  х  належить відрізку

[х2; x4]

При цьому ці точки включені також в інтервали, коли функція зростає.
Робимо висновок: інтервали знакопостоянства   

f ' (x0)

є інтервалами монотонності

f (x).

Необхідно навчитися знаходити проміжки зростання і спадання функції за допомогою похідної. Для цього треба знайти похідну, виділити її інтервали знакопостоянства і тим самим ми дізнаємося, де ця функція монотонно убуває і де вона монотонно зростає.

Точки екстремумів функції.

Ми розглянули випадки, коли похідна менше нуля і коли вона більше нуля. Також важливий випадок, коли похідна дорівнює нулю.

Точка максимуму і точка мінімуму функції.


Розглянемо малюнок.
Точка  х2 – точка максимуму функції (max), якщо існує околиця точки х2, для якої

f (x2) ˃ f (x),

тобто, якщо значення функції в цій точці більше ніж значення функції в будь-якій точці її околиці.
Точка  х4 – точка мінімуму функції (min), якщо існує околиця точки х4, для якої

f (x4) < f (x),

тобто, якщо значення функції в цій точці менше ніж значення функції в будь-якій точці її околиці.
При пошуку найбільшого і найменшого значення функції на всій ОДЗ, тобто її глобальних екстремумів, потрібно пам'ятати, що вони можуть не збігатися з її локальними екстремумами, точками, де похідна змінює знак.

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію:

у = 2х2(х2 – 1),  
х [–2; 2].
Тут точка  х = 0 – точка локального максимуму. Функція тут дорівнює нулю.
Точка  х = ±2 – точка глобального максимуму, в них функція дорівнює  24.
Далі, коли мова піде про екстремуми, маються на увазі локальні екстремуми.
Як дізнатися, де точка максимуму, а де точка мінімуму, підкаже похідна.
На малюнку наочно показано, що до точки  х2  функція зростає, похідна  f ' (x) ˃ 0, а після цієї точки функція спадає, похідна  f ' (x) < 0.
А значення похідної в точці  x2

f ' (x0) = 0.

Ми отримали остаточний признак максимуму:
Похідна дорівнює нулю і при цьому знак похідної змінюється з плюса на мінус при переході аргументу через точку  x2.
Розглянемо точку  x4. Похідна в точці

f ' (x4) = 0.

Але чи є дана точка точкою екстремуму ? Похідна зліва від цієї точки негативна, дотична нахилена під тупим кутом. Похідна справа позитивна, значить, похідна змінює знак з мінуса на плюс при переході через точку  x4, значить точка  x4 – точка мінімуму.
Ми розглянули точку мінімуму і точку максимуму, і остаточний признак точки мінімуму і точки максимуму.
Як дізнатися, чи є точка точкою мінімуму або точкою максимуму ? Потрібно взяти похідну і прирівняти її до нуля. Тоді ми знайдемо точки  x2, x4  і так далі. Це внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю.
Критична точка функції  це внутрішня точка області визначення, в якій похідна дорівнює нулю або не існує. Тобто  x2 і x4 – критичні точки.

х2 – точка max,
x4  точка min.

Але так відбувається не завжди.

Точка перегину.


Розглянемо наступну функцію.
Похідна в точці  x0  дорівнює нулю:

f ' (x0) = 0,

Дотична паралельна осі  Ох.
Чи є вона точкою екстремуму ? Ні. Чому ? Тому що до точки  x0 похідна позитивна, функція зростає.
І після цієї точки похідна також позитивна
Функція зростає і зліва і праворуч від точки, значить, x0  не є точкою екстремуму.

Лема Ферма.

Якщо функція  f (xмає похідну і в точці  x0  має екстремум, то значення похідної в цій точці дорівнює  0.
Це необхідна ознака, з нього ми з'ясовуємо, які точки нам потрібні для дослідження. Всі інші відмітаємо.
Даний малюнок ілюструє нам те, що рівність нулю – це лише необхідний ознака екстремуму, але не достатній.

Точка перегину, локальний характер точок екстремуму.

ПРИКЛАД:


Розглянемо функцію, графік якої зображено на малюнку.
х1точка мінімуму,
х2точка максимуму,
х3точка мінімуму,

х1точка мінімуму, значить, існує якась околиця, де значення функції є найменшим, але існує також друга точка мінімуму.

у(х1) ˃ у(х3),

таким чином, глобально, найменшим значенням функції на всій  ОДЗ  є значення функції в точці  х3.
х2 – точка максимуму, але найбільшого значення даної функції не існує, тому що є точки, в яких значення функції значно більше, ніж в точці  х2.
Таким чином, даним малюнком ми підкреслюємо локальний характер точок екстремуму. можна записати:

унаим = у(х3);
у(х3) ≤ у(х).

Тобто значення функції в точці  х3  менше, або дорівнює значенню функції в будь-якій точці  ОДЗ.

Порядок дослідження функції.

Нам відомо, як за знаком похідної знайти інтервали монотонного зростання або зменшення функції, відомо також, яким чином визначити точки максимуму і точки мінімуму функції.
Тепер визначимо порядок дослідження функції на екстремуми і на монотонність за допомогою похідної.
порядок такої:

1.  Знайти  f ' (x).
2.  Виділити інтервали знакопостоянства  f '(x). Вони визначать інтервали монотонності  f (x).
3.  Знайти критичні точки (внутрішні точки  ОДЗ, в яких  f ' (x) = 0  або не існує)
4.   Виділити з критичних точок і кінців відрізку точки екстремуму і досліджувати їх.

ПРИКЛАД:

Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму функції
у = х2  за допомогою  у'.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо похідну і побудуємо її графік:


у' = 2х.
Прирівняємо похідну до нуля і знаходимо єдине рішення:

у' = 0,
2х = 0,  х = 0.
х = 0 єдина критична точка.

Розглянемо на графіках лівий інтервал похідною і лівий інтервал функції. Бачимо, що на інтервалі лівіше похідна негативна.

Значить, функція спадає.
А на інтервалі правіше похідна позитивна.
Значить, функція зростає.
ВІДПОВІДЬ:

Функція  у = х2  убуває в інтервалі
х (–; 0],
зростає в інтервалі
х [0; +),
точка мінімуму
х = 0.

Отже, ми досліджували функцію за допомогою похідної, але ми знали властивості цієї функції, знали, де вона зростає, де убуває, і знали точку екстремуму.
Видно, що результати, які отримані за допомогою похідної, збігаються з результатами, знайденими раніше.

Приклади рішення завдань із застосуванням похідної при дослідженні функцій.

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції:

f (x) = ln (5х + 4)

у точці з абсцисою  х0 = 5 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кутовий коефіцієнт дотичної у точці з абсцисою  х0:

k = f ' (х0).
ВІДПОВІДЬ:  5/29

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює найменше значення функції

f (x) = 2х3 – 15х2 + 24х + 3

на проміжку  [0; 2] ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо похідну цієї функції:

f ' (x) = 6х2 – 30х + 24.

Потім прирівняємо цю похідну до нуля.

f ' (x) = 0.

В результаті перетворення цього рівняння

6х2 – 30х + 24 = 0,

6(х2 – 5х + 4) = 0,

отримаємо наступне рівняння:

х2 – 5х + 4 = 0.

Вирішимо це рівняння і знайдемо його корені:

х1 = 1, х2 = 4.

Значить, критичними точками цієї функції будуть точки  1  і  4.

Проміжку  [0; 2]  належить тільки точка  х = 1.

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці:

f (0) = 2х3 – 15х2 + 24х + 3 =

203 – 1502 + 240 + 3 = 3.

f (0) = 3,

f (2) = 2х3 – 15х2 + 24х + 3 =

223 – 1522 + 242 + 3 =

16 – 60 + 48 + 3 = 7.

 f (2) = 7.

f (1) = 2х3 – 15х2 + 24х + 3 =

213 – 1512 + 241 + 3 =

2 – 15 + 24 + 3 = 14.

f (1) = 14.

Виберемо серед них найменше:

f (0) = 3.

Тому:
ВІДПОВІДЬ: 3

ЗАДАЧА:

Знайдіть точку мінімуму функції

f (x) = х21/4 х4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо похідну цієї функції:

f ' (x) = 2хх3.

Потім прирівняємо її до нуля:

2хх3 = 0.

Вирішуємо це рівняння і знаходимо корені:

х(2 – х2) = 0,

х1 = 0,  х2 = –√͞͞͞͞͞2х3 = √͞͞͞͞͞2.

Розіб’ємо точками

√͞͞͞͞͞2,  0,  √͞͞͞͞͞2

область визначення функції на проміжки і визначимо знак похідної на кожному з них.

Для визначення знаку похідною лівіше за точку  √͞͞͞͞͞2, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  √͞͞͞͞͞2. Наприклад  –2  і підставимо його в рівняння:

х(2 – х2) = 0.

(2)(2 – (2)2) = (2)(2 – 4) =

= (2)(2) = +4.

Вийшло позитивне число, означає знак похідної на цій ділянці  позитивний (дивіться малюнок).
На ділянці  (–√͞͞͞͞͞2; 0), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х2) = 0

значення  х = –1, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(1)(2 – (1)2) = (1)(2 – 1) =

= (1)(+1) = (1).

На ділянці  (0; √͞͞͞͞͞2), знак похідної позитивний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х2) = 0

значення  х = 1, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(+1)(2 – (+1)2) = (+1)(2 – 1) =

= (+1)(+1) = (+1).

На ділянці  (√͞͞͞͞͞2; +∞), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х2) = 0

значення  х = +2, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(+2)(2 – (+2)2) = (+2)(2 – 4) =

= (+2)(2) = (4).

Оскільки при переході через точку  0  похідна міняє свій знак з мінуса на плюс, то в точці  0  функція має мінімум. Отже:

fmin = f(0) = 0.

ВІДПОВІДЬ:  0

ЗАДАЧА:

При якому значенні  а  найбільше значення функції

f (x) = –х2 + 2х + а

дорівнює  3 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2.

Прирівняємо її до нуля і знайдемо  х:

f ' (x) = 0,

–2х + 2 = 0,  х = 1.

Визначимо знак похідної на кожному з проміжків.
Для визначення знаку похідною лівіше за точку  1, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  1. Наприклад, 0  і підставимо його в похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) (0) + 2 = +2 ˃ 0.

Для визначення знаку похідною правіше за точку  1, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке більше  1. Наприклад, 2  і підставимо його в похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) (2) + 2 = –2 < 0.

Оскільки в точці  1  похідна змінює свій знак з  <<+>>  на  <<>>, то ця точка є точкою максимуму. Оскільки

fmax (x) = 3, то

–(1)2 + 2 ∙ 1 + а = 3,

звідки  а = 2.

ВІДПОВІДЬ:  2

ЗАДАЧА:

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції

f (x) = (2 – х) √͞͞͞͞͞x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = [0; +).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:
Критичними точками будуть лише ті, в яких

f ' (x) = 0.

Знайдемо їх:
Розіб’ємо область визначення критичною точкою  2/3  на проміжки. Визначимо знак похідної на кожному з них.
Для визначення знаку похідною лівіше за точку  2/3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  2/3. Наприклад  1/3  і підставимо його в рівняння:
Вийшло позитивне число, означає знак похідної на цій ділянці  позитивний (дивіться малюнок).
На ділянці  (2/3; +∞), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння число, більше чим  2/3, наприклад  1, то отримаємо число менше нуля.

Функція  f (x)  зростає на проміжках, на яких  f ' (x) ˃ 0  і спадає – на яких  f ' (x) < 0. Врахувавши, що функція неперервна в точці  2/3, одержимо проміжок спадання  [2/3; +∞), зростання – [0; 2/3]. Оскільки в точці  2/3  похідна міняє свій знак з плюса на мінус, то точка  2/3  є точкою максимуму:
ВІДПОВІДЬ:

Проміжок зростання  [0; 2/3],

Проміжок спадання  [2/3; +∞),
ЗАДАЧА:
Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = (–∞;–3) (–3; 3) (3; +∞).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:
Похідна існує на всій області визначення, тому критичними точками будуть лише ті, в яких

f ' (x) = 0.

Знайдемо їх:

–18х = 0,  х = 0.

Розіб’ємо область визначення критичною точкою  0  на проміжки. Визначимо знак похідної на кожному з них.
Для визначення знаку похідною лівіше за точку  –3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше, –3. Наприклад,  –4  і підставимо його в наступне вираження:
Для визначення знаку похідною між точками  –3  і  0, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  0. Наприклад,  –2  і підставимо його в наступне вираження:
Для визначення знаку похідною між точками  0  і  3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  3. Наприклад,  2  і підставимо його в наступне вираження:
Для визначення знаку похідною правіше за точку  3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке більше  3. Наприклад,  4  і підставимо його в наступне вираження:
Функція  f (x)  зростає на проміжках, на яких  f ' (x) ˃ 0  і спадає – на яких  f ' (x) < 0. Врахувавши, що функція неперервна в точці  0, одержимо проміжки зростання  

(–∞; –3)  і  (–3; 0].

Спадання –

[0; –3)  і  (3; +∞).

Оскільки в точці  0  похідна міняє свій знак з плюса на мінус, то точка  0  є точкою максимуму:

fmax (x) = f(0) = 0.

ВІДПОВІДЬ:

Проміжки зростання  (–∞; –3)  і  (–3; 0],

Проміжки спадання  [0; –3)  і  (3; +∞),

fmax (x) = 0.

ЗАДАЧА:

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = (–∞; 1,5) (1,5; +∞).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:

Розв’язавши рівняння:

f ' (x) = 0,

встановлюємо, що функція має дві критичні точки:

х1 = –1,  х2 = 4.

Дослідимо знак похідної методом інтервалів:
Отже, функція зростає на кожному з проміжків 

(–∞; –1]  і  [4; +),

спадає на кожному з проміжків 

[1; 1,5)  і  (1,5; 4],

Функція має точку максимуму 

xmax = –1

і точку мінімуму

xmin = 4.

ВІДПОВІДЬ:

Проміжки зростання  (–∞; –1]  і  [4; +∞),

Проміжки спадання  [–1; 1,5)  і  (1,5; 4],

xmax = –1,

xmin = 4.

Комментариев нет:

Отправить комментарий