Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій

ВИДЕО УРОК

Зв'язок похідною і проміжків монотонності функції.

Монотонно зростаюча функція – це функція, у якій більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Монотонно спадна функція – це функція, у якій більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Якщо  Δx ˃ 0, то знак збільшення  Δy  і знак похідної в точці  x₀ збігається зі знаком  f '(x₀). Тобто якщо похідна  f '(x₀)  в цій точці більше нуля, то  Δy ˃ 0  і зрозуміло, що функція в околиці цієї точки буде зростати. А якщо похідна менше нуля, значить, Δy < 0  і зрозуміло, що в околиці цієї точки функція буде спадати.

Похідна в точці  x₀  є тангенс кута нахилу дотичної  α.

Дотична описується лінійною функцією. В околиці точки  х₀  крива і лінійна функція майже збігаються. Якщо кут нахилу гострий, тангенс буде позитивним, кутовий коефіцієнт – величина позитивна, і лінійна функція зростає, а значить, в околиці цієї точки і сама функція зростає:

І навпаки, якщо лінійна функція спадає, кут тупий, тангенс – величина негативна, отже, лінійна функція спадає, а з нею убуває і сама функція:

Так події розвиваються в околиці точки  х₀. Ці події підкоряються геометричному змістом похідної (її фізичним змістом тобто співвідношенням

∆у ≈ f ' (x₀) ∙ ∆х).

Дослідження проміжків монотонності функції за допомогою похідної.

Розглянемо функцію і її поведінка на всій  ОДЗ.

Припустимо, що це графік досліджуваної функції. Є точка  х₁. Дотична нахилена під гострим кутом  α₁.

Значить в точці  х₁  функція зростає. У точці  х₂  дотична паралельна осі  Ох, значить  х₂ – точка екстремуму.

У точці  х₃  кут  α₃  нахилу дотичній буде тупим, тангенс буде величиною від'ємною, значить, похідна негативна і функція тут убуває.

І, нарешті, в точці  х₄  похідна дорівнює нулю і далі функція зростає.

З'ясовується, що функція зростає на інтервалах, де похідна більше нуля:

якщо ж значення похідної негативне, то функція спадає:

Вся  ОДЗ  складається з окремих точок, значить, треба виділити ті інтервали, на яких похідна менше нуля і на яких похідна більше нуля. Ці інтервали визначають ті ділянки  ОДЗ, на яких функція або зростає, або зменшується. Цей же висновок отримаємо, розглядаючи співвідношення

∆у ≈ f ' (x₀) ∙ ∆х.

На тих областях, на яких похідна  f '(x₀)  менше нуля, Δу < 0  функція спадає. Відповідно, на тих областях  ОДЗ, де похідна f '(x₀) більше нуля  Δу ˃ 0  функція зростає.

Тепер можна написати, де убуває, а де зростає дана нам функція.

На малюнку показані проміжки зростання функції.

Функція  y = f (x)  зростає при 

х ∈ (–∞; x₂],  [х₄; +∞)

Тепер з'ясуємо, де дана функція спадає.

На малюнку показані проміжки спадання функції.

Функція  y = f (x)  убуває при 

х ∈ [х₂; x₄]

У точках  х₂  і  x₄  похідна дорівнює нулю, тому їх значення не включаємо.

Але ми розглядаємо той випадок, коли похідна менше нуля. Але функція спадає, коли  х  належить відрізку

[х₂; x₄]

При цьому ці точки включені також в інтервали, коли функція зростає.

Робимо висновок: інтервали знакопостоянства   

f ' (x₀)

є інтервалами монотонності

f (x).

Необхідно навчитися знаходити проміжки зростання і спадання функції за допомогою похідної. Для цього треба знайти похідну, виділити її інтервали знакопостоянства і тим самим ми дізнаємося, де ця функція монотонно убуває і де вона монотонно зростає.

Точки екстремумів функції.

Ми розглянули випадки, коли похідна менше нуля і коли вона більше нуля. Також важливий випадок, коли похідна дорівнює нулю.

Точка максимуму і точка мінімуму функції.

Розглянемо малюнок.

Точка  х₂ – точка максимуму функції (max), якщо існує околиця точки х₂, для якої

f (x₂) ˃ f (x),

тобто, якщо значення функції в цій точці більше ніж значення функції в будь-якій точці її околиці.

Точка  х₄ – точка мінімуму функції (min), якщо існує околиця точки х₄, для якої

f (x₄) < f (x),

тобто, якщо значення функції в цій точці менше ніж значення функції в будь-якій точці її околиці.

При пошуку найбільшого і найменшого значення функції на всій ОДЗ, тобто її глобальних екстремумів, потрібно пам'ятати, що вони можуть не збігатися з її локальними екстремумами, точками, де похідна змінює знак.

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію:

у = 2х²(х² – 1),  

х ∈ [–2; 2].

Тут точка  х = 0 – точка локального максимуму. Функція тут дорівнює нулю.

Точка  х = ±2 – точка глобального максимуму, в них функція дорівнює  24.

Далі, коли мова піде про екстремуми, маються на увазі локальні екстремуми.

Як дізнатися, де точка максимуму, а де точка мінімуму, підкаже похідна.

На малюнку наочно показано, що до точки  х₂  функція зростає, похідна  f ' (x) ˃ 0, а після цієї точки функція спадає, похідна  f ' (x) < 0.

А значення похідної в точці  x₂: 

f ' (x₀) = 0.

Ми отримали остаточний признак максимуму:

Похідна дорівнює нулю і при цьому знак похідної змінюється з плюса на мінус при переході аргументу через точку  x₂.

Розглянемо точку  x₄. Похідна в точці

f ' (x₄) = 0.

Але чи є дана точка точкою екстремуму ? Похідна зліва від цієї точки негативна, дотична нахилена під тупим кутом. Похідна справа позитивна, значить, похідна змінює знак з мінуса на плюс при переході через точку  x₄, значить точка  x₄ – точка мінімуму.

Ми розглянули точку мінімуму і точку максимуму, і остаточний признак точки мінімуму і точки максимуму.

Як дізнатися, чи є точка точкою мінімуму або точкою максимуму ? Потрібно взяти похідну і прирівняти її до нуля. Тоді ми знайдемо точки  x₂, x₄  і так далі. Це внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю.

Критична точка функції – це внутрішня точка області визначення, в якій похідна дорівнює нулю або не існує. Тобто  x₂ і x₄ – критичні точки.

х₂ – точка max,

x₄ – точка min.

Але так відбувається не завжди.

Точка перегину.

Розглянемо наступну функцію.

Похідна в точці  x₀  дорівнює нулю:

f ' (x₀) = 0,

Дотична паралельна осі  Ох.

Чи є вона точкою екстремуму ? Ні. Чому ? Тому що до точки  x₀ похідна позитивна, функція зростає.

І після цієї точки похідна також позитивна

Функція зростає і зліва і праворуч від точки, значить, x₀  не є точкою екстремуму.

Лема Ферма.

Якщо функція  f (x)  має похідну і в точці  x₀  має екстремум, то значення похідної в цій точці дорівнює  0.

Це необхідна ознака, з нього ми з'ясовуємо, які точки нам потрібні для дослідження. Всі інші відмітаємо.

Даний малюнок ілюструє нам те, що рівність нулю – це лише необхідний ознака екстремуму, але не достатній.

Точка перегину, локальний характер точок екстремуму.

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію, графік якої зображено на малюнку.

х₁ – точка мінімуму,

х₂ – точка максимуму,

х₃ – точка мінімуму,

х₁ – точка мінімуму, значить, існує якась околиця, де значення функції є найменшим, але існує також друга точка мінімуму.

у(х₁) ˃ у(х₃),

таким чином, глобально, найменшим значенням функції на всій  ОДЗ  є значення функції в точці  х₃.

х₂ – точка максимуму, але найбільшого значення даної функції не існує, тому що є точки, в яких значення функції значно більше, ніж в точці  х₂.

Таким чином, даним малюнком ми підкреслюємо локальний характер точок екстремуму. можна записати:

у_наим = у(х₃);

у(х₃) ≤ у(х).

Тобто значення функції в точці  х₃  менше, або дорівнює значенню функції в будь-якій точці  ОДЗ.

Порядок дослідження функції.

Нам відомо, як за знаком похідної знайти інтервали монотонного зростання або зменшення функції, відомо також, яким чином визначити точки максимуму і точки мінімуму функції.

Тепер визначимо порядок дослідження функції на екстремуми і на монотонність за допомогою похідної.

порядок такої:

1.  Знайти  f ' (x).

2.  Виділити інтервали знакопостоянства  f '(x). Вони визначать інтервали монотонності  f (x).

3.  Знайти критичні точки (внутрішні точки  ОДЗ, в яких  f ' (x) = 0  або не існує)

4.   Виділити з критичних точок і кінців відрізку точки екстремуму і досліджувати їх.

ПРИКЛАД:

Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму функції

у = х²  за допомогою  у'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо похідну і побудуємо її графік:

у' = 2х.

Прирівняємо похідну до нуля і знаходимо єдине рішення:

у' = 0,

2х = 0,  х = 0.

х = 0 – єдина критична точка.

Розглянемо на графіках лівий інтервал похідною і лівий інтервал функції. Бачимо, що на інтервалі лівіше похідна негативна.

Значить, функція спадає.

А на інтервалі правіше похідна позитивна.

Значить, функція зростає.

ВІДПОВІДЬ:

Функція  у = х²  убуває в інтервалі

х ∈ (–∞; 0],

зростає в інтервалі

х ∈ [0; +∞),

точка мінімуму

х = 0.

Отже, ми досліджували функцію за допомогою похідної, але ми знали властивості цієї функції, знали, де вона зростає, де убуває, і знали точку екстремуму.

Видно, що результати, які отримані за допомогою похідної, збігаються з результатами, знайденими раніше.

Приклади рішення завдань із застосуванням похідної при дослідженні функцій.

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції:

f (x) = ln (5х + 4)

у точці з абсцисою  х₀ = 5 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кутовий коефіцієнт дотичної у точці з абсцисою  х₀:

k = f ' (х₀).

ВІДПОВІДЬ:  ⁵/₂₉

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює найменше значення функції

f (x) = 2х³ – 15х² + 24х + 3

на проміжку  [0; 2] ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо похідну цієї функції:

f ' (x) = 6х² – 30х + 24.

Потім прирівняємо цю похідну до нуля.

f ' (x) = 0.

В результаті перетворення цього рівняння

6х² – 30х + 24 = 0,

6(х² – 5х + 4) = 0,

отримаємо наступне рівняння:

х² – 5х + 4 = 0.

Вирішимо це рівняння і знайдемо його корені:

х₁ = 1, х₂ = 4.

Значить, критичними точками цієї функції будуть точки  1  і  4.

Проміжку  [0; 2]  належить тільки точка  х = 1.

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці:

f (0) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙0³ – 15∙0² + 24∙0 + 3 = 3.

f (0) = 3,

f (2) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙2³ – 15∙2² + 24∙2 + 3 =

16 – 60 + 48 + 3 = 7.

 f (2) = 7.

f (1) = 2х³ – 15х² + 24х + 3 =

2∙1³ – 15∙1² + 24∙1 + 3 =

2 – 15 + 24 + 3 = 14.

f (1) = 14.

Виберемо серед них найменше:

f (0) = 3.

Тому:

ВІДПОВІДЬ: 3

ЗАДАЧА:

Знайдіть точку мінімуму функції

f (x) = х² – ¹/₄ х⁴.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо похідну цієї функції:

f ' (x) = 2х – х³.

Потім прирівняємо її до нуля:

2х – х³ = 0.

Вирішуємо це рівняння і знаходимо корені:

х(2 – х²) = 0,

х₁ = 0,  х₂ = –√͞͞͞͞͞2,  х₃ = √͞͞͞͞͞2.

Розіб’ємо точками

–√͞͞͞͞͞2,  0,  √͞͞͞͞͞2

область визначення функції на проміжки і визначимо знак похідної на кожному з них.

Для визначення знаку похідною лівіше за точку  –√͞͞͞͞͞2, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  –√͞͞͞͞͞2. Наприклад  –2  і підставимо його в рівняння:

х(2 – х²) = 0.

(–2)(2 – (–2)²) = (–2)(2 – 4) =

= (–2)(–2) = +4.

Вийшло позитивне число, означає знак похідної на цій ділянці  позитивний (дивіться малюнок).

На ділянці  (–√͞͞͞͞͞2; 0), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х²) = 0

значення  х = –1, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(–1)(2 – (–1)²) = (–1)(2 – 1) =

= (–1)(+1) = (–1).

На ділянці  (0; √͞͞͞͞͞2), знак похідної позитивний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х²) = 0

значення  х = 1, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(+1)(2 – (+1)²) = (+1)(2 – 1) =

= (+1)(+1) = (+1).

На ділянці  (√͞͞͞͞͞2; +∞), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння

х(2 – х²) = 0

значення  х = +2, що знаходиться усередині цього проміжку, отримуємо:

(+2)(2 – (+2)²) = (+2)(2 – 4) =

= (+2)(–2) = (–4).

Оскільки при переході через точку  0  похідна міняє свій знак з мінуса на плюс, то в точці  0  функція має мінімум. Отже:

f_min = f(0) = 0.

ВІДПОВІДЬ:  0

ЗАДАЧА:

При якому значенні  а  найбільше значення функції

f (x) = –х² + 2х + а

дорівнює  3 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2.

Прирівняємо її до нуля і знайдемо  х:

f ' (x) = 0,

–2х + 2 = 0,  х = 1.

Визначимо знак похідної на кожному з проміжків.

Для визначення знаку похідною лівіше за точку  1, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  1. Наприклад, 0  і підставимо його в похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) ∙ (0) + 2 = +2 ˃ 0.

Для визначення знаку похідною правіше за точку  1, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке більше  1. Наприклад, 2  і підставимо його в похідну функції:

f ' (x) = –2х + 2 = (–2) ∙ (2) + 2 = –2 < 0.

Оскільки в точці  1  похідна змінює свій знак з  <<+>>  на  <<–>>, то ця точка є точкою максимуму. Оскільки

f_max (x) = 3, то

–(1)² + 2 ∙ 1 + а = 3,

звідки  а = 2.

ВІДПОВІДЬ:  2

ЗАДАЧА:

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції

f (x) = (2 – х) √͞͞͞͞͞x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = [0; +∞).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:

Критичними точками будуть лише ті, в яких

f ' (x) = 0.

Знайдемо їх:

Розіб’ємо область визначення критичною точкою  ²/₃  на проміжки. Визначимо знак похідної на кожному з них.

Для визначення знаку похідною лівіше за точку  ²/₃, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  ²/₃. Наприклад  ¹/₃  і підставимо його в рівняння:

Вийшло позитивне число, означає знак похідної на цій ділянці  позитивний (дивіться малюнок).
На ділянці  (²/₃; +∞), знак похідної негативний, оскільки підставляючи в рівняння число, більше чим  ²/₃, наприклад  1, то отримаємо число менше нуля.

Функція  f (x)  зростає на проміжках, на яких  f ' (x) ˃ 0  і спадає – на яких  f ' (x) < 0. Врахувавши, що функція неперервна в точці  ²/₃, одержимо проміжок спадання  [²/₃; +∞), зростання – [0; ²/₃]. Оскільки в точці  ²/₃  похідна міняє свій знак з плюса на мінус, то точка  ²/₃  є точкою максимуму:

ВІДПОВІДЬ:

Проміжок зростання  [0; ²/₃],

Проміжок спадання  [²/₃; +∞),

ЗАДАЧА:
Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = (–∞;–3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:

Похідна існує на всій області визначення, тому критичними точками будуть лише ті, в яких

f ' (x) = 0.

Знайдемо їх:

–18х = 0,  х = 0.

Розіб’ємо область визначення критичною точкою  0  на проміжки. Визначимо знак похідної на кожному з них.

Для визначення знаку похідною лівіше за точку  –3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше, –3. Наприклад,  –4  і підставимо його в наступне вираження:

Для визначення знаку похідною між точками  –3  і  0, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  0. Наприклад,  –2  і підставимо його в наступне вираження:

Для визначення знаку похідною між точками  0  і  3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке менше  3. Наприклад,  2  і підставимо його в наступне вираження:

Для визначення знаку похідною правіше за точку  3, візьмемо будь-яке значення на числовій осі, яке більше  3. Наприклад,  4  і підставимо його в наступне вираження:

Функція  f (x)  зростає на проміжках, на яких  f ' (x) ˃ 0  і спадає – на яких  f ' (x) < 0. Врахувавши, що функція неперервна в точці  0, одержимо проміжки зростання  

(–∞; –3)  і  (–3; 0].

Спадання –

[0; –3)  і  (3; +∞).

Оскільки в точці  0  похідна міняє свій знак з плюса на мінус, то точка  0  є точкою максимуму:

f_max (x) = f(0) = 0.

ВІДПОВІДЬ:

Проміжки зростання  (–∞; –3)  і  (–3; 0],

Проміжки спадання  [0; –3)  і  (3; +∞),

f_max (x) = 0.

ЗАДАЧА:

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку визначимо область визначення функції:

D(f) = (–∞; 1,5) ∪ (1,5; +∞).

Потім знайдемо похідну функції і її критичні точки:

Розв’язавши рівняння:

f ' (x) = 0,

встановлюємо, що функція має дві критичні точки:

х₁ = –1,  х₂ = 4.

Дослідимо знак похідної методом інтервалів:

Отже, функція зростає на кожному з проміжків 

(–∞; –1]  і  [4; +∞),

спадає на кожному з проміжків 

[–1; 1,5)  і  (1,5; 4],

Функція має точку максимуму 

x_max = –1

і точку мінімуму

x_min = 4.

ВІДПОВІДЬ:

Проміжки зростання  (–∞; –1]  і  [4; +∞),

Проміжки спадання  [–1; 1,5)  і  (1,5; 4],

x_max = –1,

x_min = 4.

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Границя функції
• Урок 2. Визначення похідної функції
• Урок 3. Диференціювання функції
• Урок 4. Первісна функція
• Урок 5. Невизначений інтеграл
• Урок 6. Визначений інтеграл
• Урок 8. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань