Урок 1. Границя функції

ВИДЕО УРОК

Поняття границі.

У математиці принципово важливим є поняття нескінченності, що означає символом  ∞. Його слід розуміти як нескінченне велике   (+∞)   або нескінченно мале  (–∞)  число. Коли ми говоримо про нескінченність, часто ми маємо зважаючи на відразу обидва цих її сенси, проте запис виду  +∞  або  –∞  не варто замінювати просто на  ∞.

Будь-яка границя складається з трьох частин.

1)  Всім відомого значка границі  lim.

2)  Записи під значком границі, наприклад

Запис читається <<ікс прагнути до одиниці>>. Найчастіше – саме  х, хоча замість <<ікса>> на практиці зустрічаються і інші змінні. У практичних завданнях на місці одиниці може знаходитися абсолютно будь-яке число, а також нескінченність (∞).
3)  Функції під знаком границі, наприклад:

Сам запис

читається так: <<границя функції

Що означає вираження <<ікс прагне до одиниці>>? І що взагалі таке <<прагне>>?

Поняття межі – це поняття, якщо так можна сказати, динамічне.

Побудуємо послідовність: спочатку 

х = 1,1, потім 

х = 1,01, х = 1,001, … , 
х = 1,00000001, ...

тобто вираження <<ікс прагне до одиниці>> слід розуміти так – <<ікс>> послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці і практично з нею співпадають.

Запис межі функції в загальному вигляді має вигляд

У нижній частині ми пишемо основний аргумент  х, а за допомогою стрілки вказуємо, до якого саме значення  х₀  він прагнутиме. Якщо значення  х₀  є конкретним дійсним числом, то ми маємо справу з границею функції в точці. Якщо ж значення  х₀  прагне до  нескінченності (не важливо,  +∞  або  –∞), то слід говорити про границю функції на нескінченності.

Границя буває кінцевою і нескінченною.

Число  А  є границею функції   f(x)  при

якщо послідовність її значень сходитиметься до  А  для будь-якої нескінченно великої послідовності аргументів (негативної або позитивної).


Запис границі функції виглядає так:

Його називають кінцевою границею,

При

границя функції   f(x)  є нескінченною, якщо послідовність значень для будь-якої нескінченно великої послідовності аргументів буде також нескінченна великою (негативною або позитивною).

Запис границі функції виглядає так:

або

Його називають нескінченною границею.

Якщо не можна визначити ні кінцеве, ні нескінченне значення, це означає, що такої границі не існує. Прикладом цього випадку може бути границя від синуса на нескінченності.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції

при

РОЗВ'ЯЗАННЯ:


Підставляємо замість  х  значення  0. Отримуємо:

Тоді, границя цієї функції при

рівна 1.

ВІДПОВІДЬ:  1

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

при

РОЗВ'ЯЗАННЯ:


Підставляємо замість  х  нескінченність. Отримуємо, що послідовність значень функції є нескінченно малою величиною і тому має границю, рівну нулю.

Для наочності і переконливості можна підставити замість  х  супервелике число. При діленні отримаєте супермале число.

ВІДПОВІДЬ:  0

Основні теореми про границі.

Функція не може мати більше за одну границю.

Якщо дві функції  f(x)  і  g(x)  рівні в деякій околиці точки  х₀, за виключенням, може бути самої точки  х₀, то або вони мають одну і ту ж границю при

або обоє не мають границі в цій точці.

Якщо функції  f(x)  і  g(x)   мають границю в точці:

– границя алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчної сумі границь доданків, тобто

Формула справедлива для будь-якого кінцевого числа функцій.

– границя добутку функцій дорівнює добутку границь співмножників, тобто

Формула справедлива для будь-якого кінцевого числа функцій.

– границя частки двох функцій дорівнює частці від ділення границі ділимого на границю дільника, якщо границя дільника не дорівнює нулю, тобто

– границя постійної величини рівна самою постійною, тобто

– постійний множник можна виносити за знак границі, тобто

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  12

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Заздалегідь переконаємося, що межа дільника не дорівнює нулю.

Таким чином, формула

Застосовна і, значить,

ОТВЕТ:  ¹/₅

Про границю складної функції.

– якщо існує кінцева границя

а функція   f(u)  безперервна в точці  u₀, то

Іншими словами, для безперервних функцій символи границі і функції можна міняти місцями.

Безпосереднє застосування теореми про границю, проте, не завжди призводить до мети. Наприклад, не можна застосувати теорему про границю частки, якщо границя дільника дорівнює нулю. У таких випадках необхідно заздалегідь тотожно перетворити функцію.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Теорема про границю частки тут непридатна, оскільки

Перетворимо заданий дріб, розклавши чисельник і знаменник на множники. У чисельнику отримаємо.

2х² – 3х – 2 = 2(х – 2)(х + 0,5),

де  х₁ = 2, х₂ = –0,5 – корені квадратного тричлена. Тепер скоротимо дріб і вичислимо границю цієї функції:

ВІДПОВІДЬ:  ⁵/₂

Приклади границь з нескінченністю.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розберемося, що таке

Це той випадок, коли  х  необмежено зростає, тобто спочатку  

х = 10, потім  

х = 100, потім  

х = 1000, потім  

х = 1000000  

і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією  1 – х ?

1 – 10 = –9,

1 – 100 = –99,

1 – 1000 = –999.

Якщо

то функція  1 – х  прагне до мінус нескінченність

Тут замість <<ікса>> підставляємо у функцію  1 – х  нескінченність і отримуємо відповідь.

ВІДПОВІДЬ:  –∞

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Починаємо збільшувати  х  до безкінечності, і дивимося на поведінку функції:

Якщо  х = 10, то  10² – 2∙10 – 3 = 77,

Якщо  х = 100, то  100² – 2∙100 – 3 = 9797,

Якщо  х = 1000, то  1000² – 2∙1000 – 3 = 997997,

При

функція

x² – 2x – 3

необмежено зростає

ВІДПОВІДЬ:  ∞

Прості види границь.

Границі  з невизначеністю виду

і метод їх рішення.

Розглянемо групу границь, коли

а функція є дробом, в чисельнику і знаменнику якої знаходяться многочлени.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо нескінченність у функцію. Що виходить вгорі ? Нескінченність. А внизу ? Теж нескінченність. Таким чином вийшла так звана невизначеність виду

Можна було б подумати, що

і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і треба застосувати деякий прийом рішення, який і розглянемо.

Спочатку дивимося на чисельник і знаходимо  х  в старшому степені. Старша степені в чисельнику рівна двом.

Потім дивимося на знаменник. Старша степінь знаменника рівна двом.

Метод рішення наступний:

Для того, щоб розкрити невизначеність

необхідно розділити чисельник і знаменник на  х  в старшому степені.
Розділимо чисельник і знаменник на  х².

ВІДПОВІДЬ:  ²/₃

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Максимальна степінь в чисельнику  3.

Максимальна степінь в знаменнику  4.

Вибираємо найбільше значення, в даному випадку четвірку.

Розділимо чисельник і знаменник на  х⁴.

ВІДПОВІДЬ:  0

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Максимальна степінь <<ікса>> в чисельнику:  2.

Максимальна степінь <<ікса>> в знаменнику:  1.

Для розкриття невизначеності

необхідно розділити чисельник і знаменник  х².

Під записом

Мається на увазі не ділення на нуль (на нуль ділити не можна), а ділення на нескінченно мале число.

ВІДПОВІДЬ:  ∞

Таким чином, при розкритті невизначеності виду

може вийти кінцеве число, нуль або нескінченність. 

Границя з невизначеністю виду

і метод їх рішення.

Розглянемо групу границь, коли  х  прагне до кінцевого числа, а функція є дробом, в чисельнику і знаменнику якої знаходяться многочлени.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Спочатку підставимо  –1  в дріб:

В даному випадку вийшла невизначеність

Якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться многочлени, і є невизначеність виду

те для її розкриття треба розкласти чисельник і знаменник на множники.

Для цього найчастіше треба вирішити квадратне рівняння і (чи) використати формули скороченого множення.

Вирішуємо границю далі. Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Для того, щоб розкласти чисельник на множники, треба вирішити квадратне рівняння:

2х² – 3х – 5 = 0.

Спочатку знаходимо дискримінант:

D = (–3)² – 4 ∙ 2 ∙ (–5) 
= 9 + 40 = 49.

І квадратний корінь з нього:

√͞͞͞͞͞D  = √͞͞͞͞͞49 = 7.

Якщо корінь не витягається без (остачі виходить дробове число з комою), дуже вірогідно, що дискримінант вичислений невірно, або в завданні друкарська помилка.

Далі знаходимо корені:

Таким чином:

2х² – 3х – 5 = 
2(х – (–1))(х – ⁵/₂) =
2(х + 1)(х – ⁵/₂) = 

(х + 1)(2х – 5).

ВІДПОВІДЬ:  –7

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Спочатку підставимо  2  в дріб:

Розкладемо чисельник і знаменник на множники:

8 – 2х² = 2(4 – х²) = 2(2 – х)(2 + х);

х² + 4х – 12 = 0,

D = 16 + 48 = 64.

√͞͞͞͞͞D  = √͞͞͞͞͞64 = 8.

х² + 4х – 12 = (х + 6)(х – 2).

ВІДПОВІДЬ:  –1

Тобто з'являється знак <<мінус>>, який при обчисленні границі враховується і втрачати його не можна.

Якщо в границі (практично будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це потрібно робити. Більше того, такі числа доцільно виносити за значок границі.

В ході рішення фрагмент типу

зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дріб не можна. Спочатку треба поміняти знак у чисельника або у знаменника (винести  –1  за дужки).

Тобто з'являється знак <<мінус>>, який при обчисленні границі враховується і втрачати його не можна.

Метод множення чисельника і знаменника на зв'язане вираження.

Наступний тип гранці схожий на попередній тип. Єдине що, окрім многочленів, у нас додадуться корені.

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

Спочатку підставляємо  3  у вираження під знаком границі. Це перше, що треба виконувати для будь-якої границі.

Отримана невизначеність виду

яку треба усувати.
Коли в чисельнику (знаменнику) знаходиться різниця коренів (чи корінь мінус яке-небудь число), то для розкриття невизначеності

використовують метод множення чисельника і знаменника на зв'язане вираження.

Спочатку згадаємо формулу:

(a – b)(a + b) = a² – b²,

а потім дивимося границю

Можна сказати що  (a – b)  в чисельнику вже є. Тепер для застосування формули залишилося організувати  (a + b)  (яке і називається зв'язаним вираженням).
Множене чисельник і знаменник на зв'язане вираження:

До певної міри, це штучний прийом.

Тепер застосовуємо формулу:

(a – b)(a + b) = a² – b².

І вирішуємо далі:

Невизначеність

не пропала, корені теж не зникли. Але з сумою коренів все значно простіше, її можна перетворити на постійне число, підставивши трійку під корені

Число потрібно винести за значок границі.
Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо дріб.

ВІДПОВІДЬ:  –³/₁₀

ПРИКЛАД:

Знайти границю функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку підставляємо  –2  у вираження під знаком межі. Це перше, що треба виконувати для будь-якої границі.

Розкладемо чисельник на множники:

х² + х – 2 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

√͞͞͞͞͞ D = 3,

х² + х – 2 = (х + 2)(х – 1).

Множимо чисельник і знаменник на зв'язане вираження:

= 4 ∙ (–3) = –12.

ВІДПОВІДЬ:  –12

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 2. Визначення похідної функції
• Урок 3. Диференціювання функції
• Урок 4. Первісна функція
• Урок 5. Невизначений інтеграл
• Урок 6. Визначений інтеграл
• Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій
• Урок 8. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань