Задание 2. Объёмы подобных тел

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объёмы подобных тел

 1. Укажите неверное утверждение.

 а)  если каждое ребро одной правильной четырёхугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной четырёхугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 б)  если каждое ребро одной правильной треугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной треугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 в)  если высоты двух четырёхугольных пирамид равны и каждое ребро основания одной из них в два раза больше соответствующего ребра основания другой, то отношение объёмов этих пирамид равно двум;

 г)  если каждое ребро одной треугольной пирамиды в два раза больше соответствующего ребра другой треугольной пирамиды, то отношение объёмов этих пирамид равно восьми.     

2. Усечённая пирамида  АВСА₁В₁С₁  получена сечением пирамиды  SАВС  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 2 (считая от вершины). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВС  равен  V.

 а)  ²/₃V;

 б)  ⁷/₈V;

 в)  ⁸/₉V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 3. Объём конуса равен  V. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ¹/₂V;

 б)  ⁷/₈V;     

 в)  ³/₄V;

 г)  ⁵/₆V.

 4. Укажите верное утверждение.

 а)  если все рёбра одного прямоугольного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямоугольного параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов равно восьми;     

 б)  если все рёбра одного прямого параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямого параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов обязательно равно восьми;     

 в)  если все рёбра одного наклонного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого наклонного параллелепипеда, то отношение их объёмов обязательно равно восьми;

 г)  если рёбра одной треугольной призмы в два раза больше соответствующего рёбер другой треугольной призмы, то отношение их объёмов обязательно равно восьми.

 5. Усечённая пирамида  АВСDА₁В₁С₁D₁  получена сечением пирамиды  SАВСD  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 3 (считая от вершины  S). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВСD  равен  V.

 а)  ³/₄V;

 б)  ⁶³/₆₄V;

 в)  ¹⁵/₁₆V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 6. Объём конуса равен  V. Через точку, делящую высоту конуса в отношении  1 : 2 (считая от вершины)  проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ²⁶/₂₇V;

 б)  ²/₃V;     

 в)  ⁴/₅V;

 г)  ⁷/₈V.

 7. Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найдите отношение объёмов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении

1 : 2, 1 : 2, 2 : 1,

считая от вершины.

 а)  20 : 1;

 б)  20 : 2;     

 в)  25 : 2;

 г)  25 : 1.

 8. В треугольной усечённой пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделится объём усечённой пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 

1 : 2 ?

 а)  3 : 4;     

 б)  2 : 3;     

 в)  1 : 4;     

 г)  3 : 5.

 9. Отношение боковых поверхностей двух подобных цилиндров равно  4 : 9. Зная, что разность объёмов равна  38π куб. ед., найдите объёмы цилиндров.

 а)  18π, 56π;

 б)  14π, 52π;     

 в)  12π, 50π;

 г)  16π, 54π.

10. Масса автомобиля  1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе  1 : 60. Определите массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

 а)  4,7 г;

 б)  4,9 г;     

 в)  5,2 г;

 г)  4,5 г.

11. Найдите отношение длин соответствующих рёбер подобных пирамид, если их объёмы относятся как

4 : 9.

12. Эйфелева башня, высотою  300 м, весит  8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной  1,5 м ?

 а)  1 кг;

 б)  2 кг;     

 в)  1,5 кг;     

 г)  0,5 кг.