Задание 3. Объёмы подобных тел

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объёмы подобных тел

 1. Известно, что отношение объёмов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно  8 (большего к меньшему). Высота меньшего параллелепипеда равна  6 см. Найдите высоту большого параллелепипеда.

 а)  10 см;

 б)  12 см;

 в)  14 см;

 г)  8 см.

 2. Найдите отношение длин соответствующих рёбер подобных пирамид, если их объёмы относятся как

2 : 25.

 3. Поверхности двух шаров относятся как  m : n. Как относятся их объёмы ?

 4. Объём данного правильного тетраэдра равен  128 см³. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в  4 раза меньше ребра данного тетраэдра.

 а)  2,5 см³;

 б)  1 см³;

 в)  2 см³;

 г)  1,5 см³.

 5. На боковом ребре пирамиды взяты две точки, делящие ребро на три равные части. Через них проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём части пирамиды, заключённой между этими плоскостями, если объём всей пирамиды равен  1.

 а)  ⁷/₉;

 б)  ⁷/₂₇;

 в)  ²/₂₇;

 г)  ⁴/₉.

 6. Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы параллельно боковому ребру проведена плоскость, которая делит призму на две части. Найдите отношение их объёмов.

 а)  1 : 4;

 б)  3 : 4;

 в)  1 : 6;

 г)  1 : 3.

 7. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды ?

 8. Игрушечное ведёрко вдесятеро ниже настоящего такой же формы, вмещающего  30 фунтов воды. Сколько воды вмещает игрушечное ведёрко ?

 а)  3 фунта;

 б)  0,003 фунта;

 в)  0,03 фунта;

 г)  0,3 фунта.

 9. В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды, если площадь сечения равна  36.

 а)  11;

 б)  12;     

 в)  10;

 г)  15.

10. Строительный кирпич весит  4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в  4 раза меньше.

 а)  70 г;

 б)  68,5 г;

 в)  72,5 г;

 г)  62,5 г.

11. Площадь основания пирамиды равна  3, объём пирамиды также равен  3. Проведены две плоскости, параллельные основанию пирамиды. Площади получившихся сечений равны  1  и  2. Найдите объём части пирамиды, расположенной между плоскостями.

12. Деревянная модель проектируемого железного сооружения имеет высоту  10 см  и весит  30 г. Сооружение должно иметь высоту  10 м. Определите его вес. Железо тяжелее дерева в  16 раз.

 а)  520 т;

 б)  440 т;

 в)  480 т;

 г)  460 т.

Задание 2. Объёмы подобных тел

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объёмы подобных тел

 1. Укажите неверное утверждение.

 а)  если каждое ребро одной правильной четырёхугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной четырёхугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 б)  если каждое ребро одной правильной треугольной призмы в два раза больше соответствующего ребра другой правильной треугольной призмы, то объём первой призмы в восемь раз больше объёма второй призмы;     

 в)  если высоты двух четырёхугольных пирамид равны и каждое ребро основания одной из них в два раза больше соответствующего ребра основания другой, то отношение объёмов этих пирамид равно двум;

 г)  если каждое ребро одной треугольной пирамиды в два раза больше соответствующего ребра другой треугольной пирамиды, то отношение объёмов этих пирамид равно восьми.     

2. Усечённая пирамида  АВСА₁В₁С₁  получена сечением пирамиды  SАВС  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 2 (считая от вершины). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВС  равен  V.

 а)  ²/₃V;

 б)  ⁷/₈V;

 в)  ⁸/₉V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 3. Объём конуса равен  V. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ¹/₂V;

 б)  ⁷/₈V;     

 в)  ³/₄V;

 г)  ⁵/₆V.

 4. Укажите верное утверждение.

 а)  если все рёбра одного прямоугольного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямоугольного параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов равно восьми;     

 б)  если все рёбра одного прямого параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого прямого параллелепипеда, то отношение объёмов этих параллелепипедов обязательно равно восьми;     

 в)  если все рёбра одного наклонного параллелепипеда в два раза больше соответствующих рёбер другого наклонного параллелепипеда, то отношение их объёмов обязательно равно восьми;

 г)  если рёбра одной треугольной призмы в два раза больше соответствующего рёбер другой треугольной призмы, то отношение их объёмов обязательно равно восьми.

 5. Усечённая пирамида  АВСDА₁В₁С₁D₁  получена сечением пирамиды  SАВСD  плоскостью, параллельной основанию и делящей её боковое ребро в отношении  1 : 3 (считая от вершины  S). Найдите объём полученной усечённой пирамиды, если объём пирамиды  SАВСD  равен  V.

 а)  ³/₄V;

 б)  ⁶³/₆₄V;

 в)  ¹⁵/₁₆V;

 г)  ²⁶/₂₇V.

 6. Объём конуса равен  V. Через точку, делящую высоту конуса в отношении  1 : 2 (считая от вершины)  проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  ²⁶/₂₇V;

 б)  ²/₃V;     

 в)  ⁴/₅V;

 г)  ⁷/₈V.

 7. Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найдите отношение объёмов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении

1 : 2, 1 : 2, 2 : 1,

считая от вершины.

 а)  20 : 1;

 б)  20 : 2;     

 в)  25 : 2;

 г)  25 : 1.

 8. В треугольной усечённой пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделится объём усечённой пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 

1 : 2 ?

 а)  3 : 4;     

 б)  2 : 3;     

 в)  1 : 4;     

 г)  3 : 5.

 9. Отношение боковых поверхностей двух подобных цилиндров равно  4 : 9. Зная, что разность объёмов равна  38π куб. ед., найдите объёмы цилиндров.

 а)  18π, 56π;

 б)  14π, 52π;     

 в)  12π, 50π;

 г)  16π, 54π.

10. Масса автомобиля  1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе  1 : 60. Определите массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

 а)  4,7 г;

 б)  4,9 г;     

 в)  5,2 г;

 г)  4,5 г.

11. Найдите отношение длин соответствующих рёбер подобных пирамид, если их объёмы относятся как

4 : 9.

12. Эйфелева башня, высотою  300 м, весит  8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной  1,5 м ?

 а)  1 кг;

 б)  2 кг;     

 в)  1,5 кг;     

 г)  0,5 кг.