Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 13. Подібність різносторонніх трикутників

ВІДЕОУРОК
Відношення відрізків АВ і СD – відношення їх довжин тобто.

– відношення відрізків АВ і СD.

ПРИКЛАД:

Відрізки завдовжки 2 см і 3 см пропорційні відрізкам завдовжки 4 см і 6 см, оскільки

Пропорційними можуть бути не лише пари відрізків, але і більше їх число.

ПРИКЛАД:

Відрізки а, b, с, d пропорційні відрізкам а₁, b₁, с₁, d₁, якщо

Подібні сторони – сторони трикутників, у яких протилежні до них кути відповідно рівні.

Два трикутники називають подібними, якщо в них відповідні кути рівні й відповідні сторони пропорційні.

ПРИКЛАД:

Якщо ∠ А = ∠ А₁,
∠ В = ∠ В₁, ∠ С = ∠ С₁,

то ∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁

Подібність трикутників

АВС і А₁В₁С₁

коротко записують так:

∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁.

Знак ~ замінює слово подібний.
Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок А і В однієї фігури і порівнянних їм точок А₁ і В₁ іншої фігури виконується умова

де k – одно і те ж позитивне число для усіх точок.

Число k – коефіцієнт подібності фігур.

Прикладами подібних фігур довільної форми є дві географічні карти однієї і тієї ж місцевості, виконані в різних масштабах; фотографії одного і того ж предмета, зроблені при різних збільшеннях.
Якщо коефіцієнт подібності відомий, то записують:

Для подібних трикутників має значення порядок запису вершин.

Щоб скласти відношення сторін подібних трикутників потрібно:

– визначити рівні кути трикутників;

– з'ясувати, які сторони є відповідними;

– записати відповідні рівності.

ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Два трикутники подібні між собою (∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁), якщо:

– два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника;

– дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні до двох сторін іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, рівні;

– три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника;

де k – коефіцієнт подібності.

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін (коефіцієнту подібності):

Відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот тощо) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності.

Пряма, яка паралельна до сторони трикутника і перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього подібний йому трикутник. Середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті всього загального трикутника.

Відношення подібних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот і так далі) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності.

Відношення площі подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).
Правильні n – косинці подібні. Відношення їх периметрів, радіусів вписаних і описаних кіл дорівнює відношенню їх сторін, а відношення їх площ – відношенню квадратів сторін.

Площі подібних фігур пропорційні квадратам подібних лінійних елементів (сторін, висот, діагоналей).

ЗАДАЧА:

∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁.

Знайти невідомі сторони трикутників, якщо

АВ = 18 см, АС = 16,4 см,

А₁В₁ = 9 см, В₁С₁ = 7 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже,

Звідси

BC = 2В₁С₁,

BC = 2 ∙ 7 = 14 (см).

A₁С₁ = AC : 2,

A₁С₁ = 16,4 : 2 = 8,2 (см).

ВІДПОВІДЬ: 14 см, 8,2 см

ЗАДАЧА:

На стороні АС трикутника АВС позначено точку D так, що

∠ АВD = ∠ АСВ.

Знайдіть відрізок АD, якщо

АВ = 6 см, АС = 18 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ ABC ~ ∆ AВD

(кут А – спільний, ∠ АВD = ∠ С).

Тоді:

AD = 2 (см).

ЗАДАЧА:

На стороні ВС трикутника АВС позначено точку К так, що

∠ САК = ∠ АВС,

ВК = 12 см, КС = 4 см.

Знайдіть сторону АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ АВС ~ ∆ КАС (за двома кутами).
АС² = ВС ∙ КС =

= (12 + 4) ∙ 4 = 64,

АС = 8 (см).

ЗАДАЧА:

Діагоналі трапеції ABCD (AD ∥ BC) перетинаються в точці О.

ВО : ОD = 2 : 7,

ВС = 18 см.

Знайдіть основу AD трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ ВОС ~ ∆ DАО
АD = 63 см.

ЗАДАЧА:

Пряма, паралельна стороні АС трикутника АВС, перетинає сторону АВ у точці М, а сторону ВС – в точці К. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо

ВМ = 3 см, АМ = 4 см,

а площа чотирикутника АМКC дорівнює 80 см².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

S_ABC = x,

x = 98 (см²).

ЗАДАЧА:

У колі проведено хорди АК і ВМ, які перетинаються в точці С. Знайдіть відрізок КМ, якщо

АВ = 4 см,

ВС = 2 см,

КС = 8 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∠ В = ∠ К = ¹/₂ ∪ АМ,

∠ КСМ = ∠ ВСА – як вертикальні.

∆ АВС ~ ∆ МКС.
КМ = 16 см.

ЗАДАЧА:

У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, K – точка перетину діагоналей,

АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

Знайдіть діагональ BD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ABCD – трапеція,

BC ∥ AD, АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

BK = DK – 15.

∆ AКD ~ ∆ ВКС
5DK = 135, DK = 27 (см).

BK = DK – 15 = 27 – 15 = 12 (см).

BD = BK + КD = 12 + 27 = 39 (см).

ВІДПОВІДЬ: 39 см

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці K. Більша основа АD трапеції дорівнює 18 см, АК = 24 см, АВ = 16 см. Знайдіть меншу основу трапеціє.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ ВКС ~ ∆ AКD
ЗАДАЧА:

Через точку О перетину діагоналей трапеції ABCD проведено пряму, яка перетинає основи AD і BC у точках Е і F відповідно. Знайдіть відрізок ВF, якщо

DЕ = 15 см,

ОА : ОС = 3 : 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ FCO ~ ∆ EAO
∆ EOD ~ ∆ FOB
ЗАДАЧА:

У трикутник АВС вписано ромб АМКР так, як показано на рисунку.
Знайдіть сторону ромба, якщо

АВ = 18 см, АС = 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай сторона ромба дорівнює х.

Тоді РС = 12 – х.

∆ АВС ~ ∆ РКС
18(12 – х) = 12х,

х = 7,2 (см).

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці F,

АВ : BF = 3 : 7,

АD – більша основа трапеції. Різниця основ трапеції дорівнює 6 см. Знайдіть основу АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

∆ ВFС ~ ∆ AFD
BC = 7x,

АD = 10x,

10x – 7x = 6,

3x = 6, x =2.

АD = 20 см

ЗАДАЧА:

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 20 см і 28 см, а бічна сторона – 5 см. Знайдіть площу трапеції, подібної до даної, висота якої дорівнює 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD – дана рівнобічна трапеція, у якої
ВС = 20 см,

АD = 28 см,

АВ = 5 см.

Проведемо

BN ⊥ AD, CK ⊥ AD,

∆ ABN = ∆ DCK

(як прямокутні за гіпотенузою і катетом).

NВСК – прямокутник.

АN = KD =

= (28 – 20) : 2 = 4 (см).

Із прямокутного трикутника АВN за теоремою Піфагора

AB² = BN² + AN².

ВІДПОВІДЬ: 1152 см²

ЗАДАЧА:

Непаралельні сторони трапеції продовжені до взаємного перетину і через отриману точку проведено пряму, паралельну основам трапеції. Знайти відрізок АВ, якщо основи трапеції рівні a і b (a ˃ b)