суббота, 13 августа 2022 г.

Урок 15. Подібність прямокутних трикутників

 ВІДЕОУРОК

Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок А і В однієї фігури і точок  А1  і  В1  іншої фігури, що їм подібні, виконується умова

де  k те саме позитивне число всім точок.

Число  k коефіцієнт подібності фігур.

Ознаки подібності прямокутних трикутників.

Два прямокутні трикутники подібні між собою, якщо:

– гострий кут одного трикутника дорівнює гострому куту іншого трикутника;

– катети одного трикутника пропорційні катетам іншого трикутника;

– гіпотенуза та катет одного трикутника пропорційні гіпотенузі та катету іншого трикутника.

Відношення периметрів подібних прямокутних трикутників дорівнює відношенню подібних сторін (коефіцієнту подібності):
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношенню відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).
ПРИКЛАД:

∆ АВС, С = 90°,

СМвисота,

АМС СМВ.
Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два подібні трикутники, кожен з яких подібний до цього трикутника.

При проведенні всіх трьох середніх ліній утворюється  4  рівні трикутники, подібні до вихідного з коефіцієнтом  1/2.

ЗАДАЧА:

Паралельні прямі  ВС  і    перетинають сторони кута  А, зображеного на рисунку.
АВ = 6 см,
АС = 4 см,
СE = 2 см.

Знайдіть довжину відрізка  АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ABC ~ ∆ ADE, тоді
ВІДПОВІДЬ:  9 см

ЗАДАЧА:

За даними, наведеними на рисунку, знайдіть висоту дерева.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника віддалена від його основи на  9 см. Знайдіть відстань від точки перетину медіан трикутника до його основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Трикутники  АМD  і  АКL – подібні.
MD = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Відрізки  АС  та  СD, зображені на малюнку,
паралельні,

АВС = 90°,  АВ = 24 см,

ВО = 10 см, СО = 5 см.

Знайдіть довжину відрізка  АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

СD АВ, АВС = 90°,

АВ = 24 см,

ВО = 10 см, СО = 5 см.

Оскільки 

СD АВ  і  ВС, то

ВС, тобто

ВСD = 90°.

З  AВО (В = 90°):
АОВ = DОС як вертикальні.
DСО ~ ∆ AВО,
Отже,

AD = AO + OD =

= 26 + 13 = 39 см.

ВІДПОВІДЬ:  39 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  відрізок  ВК – висота, відрізок  АМ – бісектриса,

ВК = 26 см,

АВ : АС = 6 : 7.

З точки  М  опущено перпендикуляр  МD  на сторону  АС. Знайдіть відрізок  МD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
За властивістю бісектриси трикутника маємо:

ВМ  : МС = АВ : АС = 6 : 7.

Нехай  ВМ = 6х, тоді 

МС = 7х,

ВС = 6х + 7х = 13х.

За умовою, ВК АС  і  

МD АС.

Тому  ВК МD і  

СВК ~ ∆ СМD.

Звідси:

ВК : МD = ВС : МС,

26 : МD = 13х : 7х.
ВІДПОВІДЬ:  14 см

ЗАДАЧА:

Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета і проходить через вершину протилежного гострого кута. знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють  5 см  і  12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай трикутник  АСВ (С = 90°) – заданий прямокутний трикутник,
АС = 5 см, ВС = 12 см,

О – центр кола,

ОD ВС, D – точка дотику кола з центром  О  до катета  ВС, ОD = ОА – радіус кола.

З прямокутного трикутника  АСВ  маємо:
тому  ОD АС  і трикутники  АСВ  і  ОDВ  подібні.

Нехай

ОD = ОА = х.

Тоді  ОВ = 13 – х.

Отримаємо:

ОВ : ОD = АВ : АС,

(13 – х) : х = 13 : 5,

(13 – х) 5 = 13x,

65 – 5х = 13х, 18х = 65,

х = 65 : 18, х = 311/18,

Отже, радіус кола дорівнює  311/18 см.

ВІДПОВІДЬ:  311/18 см

ЗАДАЧА:

Катет прямокутного трикутника дорівнює  8 см, а гіпотенуза – 16 см. Знайдіть проекцію даного катета на гіпотенузу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
АВС ~ ∆ ВDС, тому
ЗАДАЧА:

Бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола ділиться у відношенні  8 : 9, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює  16 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – рівнобедрений трикутник  (АВ = ВС)  з центром вписаного кола  О,
К – точка дотику кола до сторони ВС,

ОК = 16 см,

СК : КВ = 8 : 9.

Нехай  СК = 8х, тоді

ВК = 9х,

ВС = 8х + 9х = 17х (см).

Проведемо висоту  ВD  трикутника. Трикутник  ОКВ  прямокутний  (К = 90°), тому
За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола,

СD = СК = 8х.

З подібності прямокутних трикутників  ВОК  і  ВСD  (за спільним гострим кутом) одержимо:
256 + 81х2 = 1156,

81х2 = 900, х2 = 900/81,

х = 10/3.

DС = 8х = 10/3 8 = 80/3 (см).

ВС = 17х = 17 10/3 = 170/3 (см).

Р = 2 (80/3  + 170/3) = 500/3 (см).

S∆ABC = 1/2 р r = 1/2 500/3 16 =

= 4000/3 = 13331/3 (см2).

ВІДПОВІДЬ:  13331/3 см2

ЗАДАЧА:

Центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, ділить його висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють  10 см  і  26 см. Знайдіть площу даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий рівнобедрений трикутник  (АВ = ВС),
О – центр вписаного кола,

ВD – висота трикутника,

ОD = 10 см, ОВ = 26 см,

К – точка дотику кола до бічної сторони  АВ,

ОК = ОD = 10 см.

З прямокутного трикутника  ВКО (К = 90°)  маємо:
ВD = ВО + ОD
= 26 + 10 = 36 (см).

З подібних прямокутних трикутників

АВD  і  ОВК  маємо:

АD : ВD = КО : КВ,

АD : 36 = 10 : 24
Знаходимо площу трикутника  АВС.

SABC = 1/2 AC BD =

= AD BD =

= 15 36 = 540 (см2).

ЗАДАЧА:

На медіані  ВD  рівнобедреного трикутника  АВС (АС = ВС)  взято точку  К  таку, що  КD = 2ВК. Пряма  АК  перетинає сторону  ВС  у точці  М. Знайдіть площу трикутника  АМС, якщо площа трикутника АВС дорівнює  20.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

ВD – медіана трикутника  АВС, проведена до його основи, отже,  ВD  є висотою та бісектрисою. Проведемо пряму  ВF  паралельну  АС  до перетину її з продовженням  АМ  у точці  F. Нехай

АD = DС = х, АС = 2х.

Трикутник  АКD  подібний до трикутника  FКВ  по двох кутах

(КAD = КFB,AKD = FKB),

отже
звідси

BF = 1/2 AD = 1/2 x.

Трикутник  АMC  подібний до трикутника  FMB

(AMC = FMB,MAC = MFB),

тому
Трикутники  АВС  і  АМС  мають однакову висоту, проведену з вершини  А. Отже, їх площі відносяться також, як сторони до яких ця висота проведена.
звідси отримаємо, що

SAМC = 4/5 SAВС 4/5 20 = 16.

ЗАДАЧА:

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, а основи дорівнюють  28 см  і  100 см. Знайдіть довжини відрізків, на які висота трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить діагональ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (АВ СD) – рівнобічна трапеція,
ВЕ  і  СК – висоти,

АС СD,

ВС = 28 см,

АD = 100 см,

О – точка перетину прямих  АС  і  ВЕ. Проведемо медіану  СМ  трикутника  АСD (С = 90°). За властивістю медіани, проведеної з вершини прямого кута прямокутного трикутника,

СМ = АМ = МD = 50 (см).
MK = MD – KD =

= 5036 = 14 (см).

З трикутника  МКС (К = 90°)  маємо:
З трикутника  АКС (К = 90°)  маємо:
AOE ~ ∆ СOB,
(OAE = OCB,OBC = OEA), тому
звідки
Нехай  АО = 9х (см), тоді  

ОС = 7х (см).

АО + ОС = АС,

9х + 7х = 80, х = 5 (см).

АО = 45 см, ОС = 35 см.

ВІДПОВІДЬ:  45 см, 35 см

ЗАДАЧА:

Два рівні рівнобедрені прямокутні трикутники з катетами  а  розташовані так, що катет  ВС   АВС  паралельний до гіпотенузи  А1В1  А1В1C1. Вершини  В  і  С  відповідно лежать на катетах  А1C1  і  В1C1. Визначити площу трапеції  BCMN.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:

З  АВN  випливає, що  MN = AM = aMC.

А1C1B1 ~BCC1, тому
тобто
Звідки

MC = a(√͞͞͞͞͞21);

MN = a(2 – √͞͞͞͞͞2 );

Отже,
Завдання до уроку 15

Комментариев нет:

Отправить комментарий