Урок 4. Площа трикутника

ВІДЕОУРОК

Основа трикутника – одна із сторін трикутника. 
Висота – висота трикутника, проведена до основи.

Площа трикутника дорівнює півдобутку його основи на висоту.

де  a – основа трикутника,  h – висота трикутника.

ПРИКЛАД:

ВК ⊥ АС,

ВК = 2 см, АС = 4 см,

S = ¹/₂ ВК × АС =

¹/₂ × 2 × 3 = 4 см².

ЗАДАЧА:

Відрізок  СD – висота трикутника  АВС, зображеного на рисунку. Чому дорівнює площа трикутника.

 РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Формула Герона.

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють  7 дм, 24 дм  і  25 дм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Півпериметр

За формулою Герона

Формули знаходження площі трикутника, через радіуси вписаного та описаного кіл.

де  R – радіус описаного кола,  

r – радіус вписаного кола.

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу трикутника, периметр якого дорівнює  18 см, а радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює  5 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ЗАДАЧА:

Стороні трикутника дорівнюють  6 см, 25 см, 29 см. Знайдіть радіус вписаного кола даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює периметр трикутника, площа якого становить  24 см², а радіус вписаного кола дорівнює  4 см ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники. 

Рівновеликими називають трикутники, які маю рівні площі.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторони

АВ = 5 см, АС = 6 см  і

медіана  ВL = 4 см.

Знайдіть площу трикутника  АВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Так як  ВL – медіана трикутника, то

AL = LC = ¹/₂ AC = 3 см.

Розглянемо трикутник  АВL  і знайдемо його площу за формулою Герона:

де  р = ¹/₂ (АВ + ВL + АL) = 6 см – напівпериметр,

а = АВ = 5 см,

b = ВL = 4 см,

с = АL = 3 см.

Підставимо всі дані у формулу та отримаємо:

Медіана  ВL  ділить трикутник  АВС  на два рівновеликі трикутники, тобто  S_ABL = S_BCL, звідки слідує, що

S_ABC = 2S_ABL = 12 см².

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу трикутника з двох сторін, рівних  6  і  8, і медіані, що дорівнює  5, проведеної до третьої сторони.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у трикутнику 

АВС:  АВ = 6, ВС = 8,

АМ = МС, ВМ = 5.

Продовжимо медіану  ВМ  так, щоб  МD = ВМ, і з'єднаємо точки  А  і  D. АМD = ∆СМВ  за першою ознакою рівності трикутників, так як 

АМ = МС, ВМ = МD,

∠ АМD = ∠ СМВ.

З рівності трикутників випливає, що 

АD = ВС = 8.

У трикутнику  АВD:

АВ = 6, АD = 8, ВD = 10,

отже, ∠ ВАD = 90°  (трикутник єгипетський), крім того  

S_ABC = S_ABD = ¹/₂ АВ ∙ AD = 24.

ВІДПОВІДЬ:  24

Будь – яку висоту трикутника можна знайти за формулою

S –  площа трикутника.

Якщо висоти двох трикутників рівні, то їх площі відносяться як основи.

Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути.

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють  17 см, 65 см, 80 см. Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного та описаного кіл.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай 

а = 17 см, b = 65 см, с = 80 см.

Знайдемо півпериметр трикутника:

Площа трикутника обчислимо за формулою Герона:

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює  с. Оскільки

Радіус вписаного кола:

Радіус описаного кола:

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 5. Площа прямокутного трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 9. Площа трапеції
• Урок 10. Площа рівнобічної трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 12. Площа круга
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 15. Подібність прямокутних трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника