Задание 1. Прямые и плоскости в пространстве

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Из данной точки до плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина перпендикуляра равна длине проекции наклонной. Найдите угол между перпендикуляром и наклонной

 а)  60º;      
 б)  30º;     

 в)  45º;      
 г)  90º.

 2. Прямая  а  перпендикулярная к плоскости  α  и пересекает её в точке  О. Точка  К  лежит на данной прямой и удалена от плоскости  α  на  32 см, а от точки  N, лежащей на этой плоскости – на  40 см. Найдите  NО.

 а)  24 см;      
 б)  44 см;     

 в)  28 см;      
 г)  34 см.

 3. С некоторой точки до данной плоскости проведён перпендикуляр, который равен  h, и наклонная, угол между ними равен  45°. Найдите длину наклонной.

 а)  2h;      
 б)  h√͞͞͞͞͞3;       

 в)  h;        
 г)  h√͞͞͞͞͞2.

 4. Точка  О – центр квадрата со стороной  а; ОА – отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата, который равен  b. Найдите расстояние от точки  А  до вершины квадрата.

 5. В равностороннем треугольнике  АВС,  

АВ = 2 см, АА₁⊥(АВС), 
ВВ₁⊥(АВС), СА₁ = 3 см, 
СВ₁ = 7 см, А₁D = DВ₁. 

Найдите  СD.

 а)  √͞͞͞͞͞25;      
 б)  √͞͞͞͞͞19;     

 в)  √͞͞͞͞͞23;      
 г)  √͞͞͞͞͞21.

 6. Через точку  О  пересечения диагоналей квадрата  АВСD  проведён перпендикуляр  МО  к плоскости квадрата, сторона квадрата равна  2а. Найдите расстояние между прямыми  АВ  и  МО.

 а)  а;           
 б)  2а;     

 в)  ¹/₂ а;      
 г)  3а.

 7. С точки  А  на плоскость  Р  проведены наклонные  

АВ = 20 см  и  АС = 43 см. 

Зная, что проекции этих наклонных на плоскость относятся как  2 : 5, найти расстояние от точки  А  до плоскости  Р.

 а)  11 см;      
 б)  10 см;     

 в)  18 см;      
 г)  16 см.

 8. Разность длин двух наклонных, опущенных с данной точки  М  до плоскости, равна  6 см, а их проекции на эту плоскость соответственно равны  27 см  и  15 см. Найдите расстояние от точки  М  до плоскости.

 а)  26 см;      
 б)  36 см;     

 в)  34 см;      
 г)  38 см.

 9. Точка удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на  6,5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника, если его катеты равны  3 см  и  4 см.

 а)  3 см;      
 б)  10 см;     

 в)  6 см;      
 г)  8 см.

10. Данный отрезок касается концами две взаимно перпендикулярные плоскости и образует с одной из них угол  45°, а з другой – угол  30°. Длина этого отрезка равна  а. Определите часть линии пересечения плоскости, которая находится между перпендикулярами, опущенными на неё из концов данного отрезка.

 а)  2а;      
 б)  ¹/₃ а;     

 в)  а;        
 г)  ¹/₂ а.

11. Между двумя параллельными плоскостями  Р  и  Q  проведены отрезки  АС  и  ВD  (точки  А  и  В  лежат в плоскости  Р), 

АС = 13, ВD = 15 см, 

сумма длин проекций  АС  и  ВD  на одну из данных плоскостей равна  14 см. Найдите длину этих проекций и расстояние между данными плоскостями.

 а)  12 см;      
 б)  11 см;     

 в)  14 см;      
 г)  10 см.

12. Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоянии  4 см  от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны  8 см  и  2 см. Найти проекции сторон ромба на эту плоскость.

 

 а)  4 см, 3 см;     

 б)  5 см, 4 см;     

 в)  5 см, 3 см;     

 г)  6 см, 2 см.

Задания к уроку 1

• Задание 2
• Задание 3