Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве

ВИДЕОУРОК

Общие замечания.

Геометрическая фигура называется пространственной, если не все её точки лежат в одной плоскости.

Примером пространственной фигуры может служить геометрическое тело – часть пространства, занимаемое предметом. Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить так, чтобы они совпали всеми своими частями.

Предполагается, что при перемещении в пространстве геометрические фигуры не изменяются. Пространственные фигуры изображаются на чертеже в виде рисунков, которые выполняются по определённым правилам, основанным на геометрических свойствах фигур.

Основные свойства плоскости.

Основными понятиями стереометрии являются: точка, прямая и плоскость.

 – через любые три точки пространства, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну;

– если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку;

– если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следствия:

– через прямую и  точку, лежащую вне этой прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну;

– через две прямые, которые пересекаются, можно провести плоскость, и к тому же только одну;

– через две параллельных прямых можно провести плоскость, и к тому же только одну;

– через любую прямую в пространстве можно провести огромное количество плоскостей.

Множество плоскостей, которые проходят через некоторую прямую, называют пучком плоскостей, а прямую, через которую они проходят, – осью пучка. Плоскость на рисунку изображается в виде параллелограмма и обозначается одной буквой, например  Р.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут иметь такое расположение:

– две прямые лежат в одной плоскости, при этом они могут или иметь общую точку, то есть пересекаются, или не иметь общих точек, тогда их называют параллельными;

– две прямые не лежат в одной плоскости и, следовательно, не имеют общих точек, тогда их называют скрещивающимися.

Две скрещивающиеся прямые не образуют угла в обычном понимании, потому что у них нет общей точки.

Условились считать, что угол между двумя скрещивающимися прямыми равняется углу,  образованному двумя лучами, выходящими из одной точки и параллельными этим скрещивающимся прямым.

ПРИМЕР;

На рисунку прямые  АВ  и  СD – скрещивающиеся, а лучи  ОМ ∥ АВ  и  ОN ∥ СD; угол между мимолетными прямыми считают таким, который равняется углу  МОN.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми считают длину заключенного между ними отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из параллельных прямых и пересекающей их.

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из скрещивающихся прямых и пересекающей каждую из них в точках, являющихся концами этого отрезка. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть наименьшее расстояние между точками, лежащими на этих прямых.

ПРИМЕР:

На рисунку изображены скрещивающиеся прямые.

АВ, лежащая в плоскости  Р, и  СD, пересекающая эту плоскость. Прямая  МN  перпендикулярна как к  АВ, так и к  СD. Тогда длина отрезка  МN  есть расстояние между скрещивающимися прямыми  АВ  и  СD.

Взаимно расположение прямой и плоскости.

Прямая линия и плоскость в пространстве могут быть расположены следующим образом:

– прямая лежит в плоскости или, что то же, плоскость проходит через прямую;

– прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть прямая пересекает плоскость; точку их пересечения называют следом прямой на данной плоскости;

– прямая не имеет общих точек с плоскостью, то есть прямая параллельна  плоскости.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, которая лежит на этой плоскости.

Прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.

ТЕОРЕМА

Если прямая перпендикулярна до двух прямых, которые пересекаются и лежат в некоторой плоскости, то она перпендикулярна и к любой прямой, которая лежит в данной плоскости, то есть прямая перпендикулярна к плоскости.

Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется след перпендикуляра, проведенного через эту точку к данной плоскости. След перпендикуляра на плоскости называется основанием перпендикуляра, а след наклонной – основанием наклонной.

Прямоугольной проекцией наклонной на плоскость называется отрезок прямой, соединяющий основание наклонной и основание перпендикуляра, опущенного из конца наклонной на эту плоскость.

ТЕОРЕМА

Если из одной и той же точки вне плоскости провести к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:

– перпендикуляр короче всякой наклонной;

– наклонные, имеющие ровные проекции, равны между собой;

– из двух наклонных, имеющих разные проекции, больше та, проекция которой больше.

ПРИМЕР:

На рисунку  АВ, АС  и  АD – наклонные к плоскости  Р, а  АО – перпендикуляр к этой плоскости. Тогда, если проекция  ОВ = ОС, то и наклонные  АВ = АС; если  ОD < ОС, то и соответственно наклонные  АD < АС.

ТЕОРЕМА

Если из одной и той же точки, лежащей вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и наклонный, то:

– равные наклонные имеют равные проекции;

– из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

ТЕОРЕМА

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна к проекции этой наклонной на данную плоскость.

ТЕОРЕМА

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

ПРИМЕР:

На рисунку  АВ – наклонная, а  АС – перпендикуляр к плоскости  Р; если  MN ⊥ AB, то и  MN ⊥ DC  и, наоборот, если  MN ⊥ CB, то и  MN ⊥ AB.

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называют острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

ПРИМЕР:

На рисунку  АВ – наклонная, а  СD – её проекция на плоскость  Р. Тогда угол между  АВ  и плоскостью  Р  равен  ∠ АВС.

Угол между прямой и плоскостью наименьший из всех углов, образованных этой прямой с любой прямой, которая лежит в данной плоскости.

ЗАДАЧА:

Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости две наклонные, каждая из которых равна  а, угол между ними равен  60°, а угол между их проекциями на данную плоскость – прямой.

Найти:

Расстояние между основаниями наклонных.

Расстояние от данной точки до плоскости.

Угол между наклонными и плоскостью.

На рисунку  АО ⊥ Р,

АВ = АС = а – наклонная,

∠ ВОС = 90°, ∠ ВАС = 60°.

∆ АВС – равнобедренный с углом  60°  при вершине, т. е. равносторонний, поэтому расстояние между основаниями наклонных  

ВС = а.

∆ ВОС – равнобедренный прямоугольный (так как проекции  ОВ  и  ОС  равных наклонных  АВ  и  АС  равны), гипотенуза которого  

ВС  = а, 

тогда проекция

Далее по теореме Пифагора из прямоугольного  ∆ АОС  находим расстояние точки  А  от плоскости  Р:

∠ АСО = ∠ АВО = 45°, так как прямоугольные  ∆ АВО  и  ∆ АОС  равны между собою и одновременно являются равнобедренными треугольниками:

Параллельные прямые и плоскости.

Если плоскость перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны.

ПРИМЕР:

Если  АВ ⊥ Р  и  СD ⊥ Р, то  АВ ∥ СD.

Если плоскость  Р  и прямая  АВ, которая не лежит в плоскости  Р, перпендикулярные к одной и той же прямой  СD, то они параллельны.

Если прямая  АВ  параллельна к прямой  СD, которая лежит в плоскости  Р, то она параллельная к плоскости  Р.

Если две плоскости  Р  и  Q, что проходят соответственно через параллельные прямые  АВ  и  СD, пересекаются, то линия их пересечения  МN  параллельна до обоих данных прямых  АВ  и  СD.

Две прямые, параллельные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

Если плоскость проходит через прямую, параллельную к другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна к данной прямой.

Если прямая параллельна к каждой из двух плоскостей, которые пересекаются, то она параллельна к линии их пересечения.

Если одна из двух параллельных прямых параллельная к некоторой плоскости, то и вторая прямая параллельная к той же плоскости или лежит в ней.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, и к тому же только одна, параллельная к другой прямой.

ЗАДАЧА:

Правильный треугольник спроектирован на плоскость  Р. Вершины треугольника отстоят от этой плоскости на  10, 15  и  17 дм. Найти расстояние от центра треугольника до плоскости  Р.

Расстояние от центра правильного треугольника до некоторой плоскости равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости.

Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности плоскостей:

– если две плоскости перпендикулярные к одной и той же прямой, то они параллельны;

– если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие две плоскости параллельные.

ПРИМЕР:

Если пересекающиеся прямые  АВ  м  ВС, лежат в плоскости  Р, а прями  А₁В₁  и  В₁С₁ – лежат в плоскости  Q  и  

АВ ∥ А₁В₁, а  
СВ ∥ C₁B₁, то  
Р ∥ Q.

– две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым;

ПРИМЕР:

Если плоскости  Р  и  Q  параллельны и плоскость  М  их пересекает, то прямые пересечения этих плоскостей  АВ  и  СD  параллельны.

– две плоскости, параллельные к одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой;

– плоскость, которая пересекает одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость;

– если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости;

– отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны между собой;

– два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны между собой.

ЗАДАЧА:

Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны  51 см  и  53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся, как  6 : 7. Определить длину этих проекций и расстояние между данными плоскостями.

По условию задачи  

Р ∥ Q, АВ = 51 см, 
А₁В₁ = 53 см, 

АС ⊥ Q, АС ⊥ Q  и  
ВС : В₁С₁ = 6 : 7.

Требуется определить  ВС, В₁С₁  и  АС. Обозначим  

ВС = 6х, В₁С₁ = 7х  

и, учитывая, что  АС = А₁С₁  из треугольников  АВС  и  А₁В₁С₁  получим 

АВ² – ВС² = А₁В₁² – В₁С₁², или 

51² – (6х)² = 53² – (7х)²;

13х² = 208  и  х = 4.

Следовательно, для искомых проекций имеем:

ВС = 6х = 24 см,

В₁С₁ = 7х = 28 см.

Определив  ВС  и, зная  АВ, находим из треугольника  АВС  по теореме Пифагора расстояние между плоскостями:

ОТВЕТ:

24,  28,  и  45 см.

Двугранные углы и перпендикулярные плоскости.

Часть плоскости, лежащая по одну сторону какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости, называется полуплоскостью.

Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями  Р  и  Q, что выходят из одной прямой  АВ.

Прямая  АВ  называется ребром, а плоскости  Р  и  Q – сторонами или гранями двугранного угла.

Двугранный угол обозначают или двумя буквами, поставленными у ребра, например  АВ, или четырьмя буквами  РАВQ, из которых две средние означают ребро, а крайние – грани.

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя перпендикулярами, восстановленными к ребру из произвольной его точки и лежащими на гранях угла.

ПРИМЕР:

ОN  лежит в плоскости  Р, а  ОМ – в плоскости  Q, причём  ОN ⊥ АВ  и  ОМ ⊥ АВ, тогда угол  МОN  называется линейным углом двугранного угла  РАВQ.

Равенство и неравенство двугранных углов.

Два двугранных угла называются равными, если они при вложении совмещаются.

Если совместить по одной грани два неравных двугранных угла, то больше считается тот из них, между гранями которого находится другая грань второго двугранного угла. На рисунку двугранный угол  РАВQ  больше за двугранного угла  РАВМ.

Если два двугранных угла равны, то и их линейные углы равны.

Если два двугранных угла не равны, то большему двугранному углу соответствует и больший линейный угол.

Равным линейным углам соответствуют ровные двугранные углы.

Если линейные углы не равны, то большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Прямой двугранный угол.

Двугранные углы называются смежными, если у них одна грань общая, а две другие составляют одну плоскость.

Прямым двугранным углом называется каждый из ровных смежных двугранных углов.

Плоскости, образующие прямой двугранный угол, называются взаимно перпендикулярными.

Измерение двугранных углов.

Двугранный угол измеряется его линейным углом, т. е. за единицу измерения двугранных углов принимается такой двугранный угол, линейный угол которого содержит единицу измерения линейных углов.  Так, двугранный угол в  1°  есть угол, линейный угол которого содержит  1°, двугранный угол в  1 радиан  есть угол, линейный угол которого содержит  1 радиан.

Перпендикулярные плоскости.

Если плоскость  Р  проходит через перпендикуляр  АВ  к плоскости  Q, то плоскости  Р  и  Q  взаимно перпендикулярны.

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, что лежите в одной из них и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярная другой плоскости.

Если две плоскости взаимно перпендикулярные и из какой-либо точки одной из них опущен перпендикуляр на другую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна ребру, образованного ими двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, перпендикулярна и его граням.

ЗАДАЧА:

Катеты прямоугольного треугольника равны  а  і  b. Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в  30°  с плоскостью треугольника.

Из вершины  С  ∆ АВС  на гипотенузу  АВ  опустим перпендикуляр  СD  и на плоскость  Р  перпендикуляр  СО.

По теореме о трёх перпендикулярах  ОD  как проекция наклонной  СD  на плоскость  Р  перпендикулярна  АВ. Тогда угол  

СDО = 30° 

– линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью  ∆ АВС  и плоскостью  Р. Из  ∆ АВС  находим

СО  как катет, лежащий против угла  30°  в  ∆ DСО, равен  ¹/₂DС.

Теорема про три перпендикуляра.

Если прямая, проведена на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной.

ЗАДАЧА:

Каждый плоский угол трёхгранного угла равен  60°. На одном из ребер отложен от вершины отрезок, равный  3, и из конца его опущен перпендикуляр на противолежащую грань. Найти длину этого перпендикуляра.

РЕШЕНИЕ:

Дан трёхгранный угол  ОМNР, плоские углы которого  МОN, NОР, РОМ  равны по  60°  и отрезок  АО = 3, АD ⊥ пл. NОР. Найти длину  АD.

Из основания перпендикуляра  АD  опустим на лучи  ОР  и  ОN  перпендикуляры  СD ⊥ ОР  и  DВ ⊥ ОN  и точку  D  соединим с точкой  О. Проведем отрезки  АС  и  АВ, которые по теореме о трёх перпендикулярах будут соответственно перпендикулярными  ОР  и  ОN. Из прямоугольного треугольника  АСО  (∠ А = 30⁰, так как по условию  ∠ АОС = 60°) находим

ОС = ¹/₂ОА = ³/₂.

В треугольнике  ОСD (∠ С = 90°, ∠ СОD = 30°)

 ОD = 2СD,

по теореме Пифагора имеем:

ОD² – СD² = ОС², или

а  ОD = √͞͞͞͞͞3 .

Из треугольника  АDО  по теореме Пифагора получим

Решение стереометрических задач с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол  30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть плоскость проходит через сторону  АВ  правильного треугольника  АВС.

Проведем  СD ⊥ α  и  СМ ⊥  АВ. По теореме о трех перпендикулярах  DМ ⊥  АВ. Тогда  ∠ CMD – угол, образующий плоскость  α  с плоскостью треугольника. По условию, ∠ CMD = 30°. Отрезки  DА  и  DВ – проекции равных сторон  СА  и  СВ  треугольника на плоскость  α. Поэтому  ∠ САD  и  ∠ СВD – углы, образующие стороны треугольника с плоскостью  α. Поскольку

∆ CDA = ∆ CDB, то

∠ САD = ∠ СBD.

Пусть сторона треугольника  АВС  равна  а.

Из  ∆ CMA (∠ M = 90°):

CM = CA sin ∠ A =

Из  ∆ CDM (∠ D = 90°):

Из  ∆ CDA (∠ D = 90°):

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с плоскостью квадрата угол  45°. Найдите угол между диагональю квадрата и этой плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD – заданный квадрат.

Через сторону  АВ  проведем плоскость  α. Пусть  DМ – перпендикуляр, опущенный с точки  D  на плоскость  α. Поскольку  AB ⊥  АD, то по теореме о трех перпендикулярах  AB ⊥ АM. Тогда  ∠ DAM  – угол между плоскостью квадрата и плоскостью  α. По условию, ∠ DAM  = 45°. Поскольку отрезок  ВМ – проекция диагонали  ВD  квадрата на плоскость  α, то  ∠ DBM  – искомый угол между диагональю  ВD  и плоскостью  α. Пусть сторона квадрата равна  а. Тогда диагональ  BD = a√͞͞͞͞͞2,
Из  ∆ AMD (∠ M = 90°):

DM = AD sin ∠ A =

Из  ∆ DMB (∠ M = 90°):

Откуда  ∠ DBM  = 30°.

ОТВЕТ: 30°  

ЗАДАЧА:

Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с его диагональю угол  30°. Найдите угол между плоскостью квадрата и проведённой плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD – заданный квадрат.

Через сторону  АВ  проведем плоскость  α. Пусть  DМ – перпендикуляр, проведенный с точки  D  на плоскость  α. Отрезок  BM – проекция диагонали  BD  квадрата на плоскость  α, тогда  ∠ DBM  – угол между диагональю  BD  и плоскостью  α. По условию, ∠ DBM  = 30°. Поскольку  AB ⊥  АD, о по теореме о трех перпендикулярах  AB ⊥  АM. Тогда  ∠ DAM  – искомый угол между плоскостью квадрата и плоскостью  α.

Из  ∆ BAD (∠ A = 90°):

BD = AD√͞͞͞͞͞2.

Из  ∆ BMD (∠ M = 90°):

Из  ∆ AMD (∠ M = 90°):

Откуда  ∠ DАM  = 45°.

ОТВЕТ: 45°

ЗАДАЧА:

Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АСB – заданный прямоугольный треугольник, у которого  ∠ С = 90°, АС = ВС.

Через катет  АС  проходит плоскость  α, образующая с плоскостью треугольника угол  60°. Построим  BM ⊥ α. Поскольку  CB ⊥ АC, то по теореме о трех перпендикулярах  CM ⊥ АC. Тогда угол  BCM – линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью и угол между катетом  ВС  и плоскостью  α. По условию, ∠ BCM = 60°. Отрезок  АМ  представляет собой проекцию стороны  АВ  на плоскость  α, поэтому  ∠ BAM – угол наклона стороны  АВ  к этой плоскости. Пусть  АС = СВ = а.
Из  ∆ CMB (∠ M = 90°):

Из  ∆ ACB (∠ C = 90°):

AB = а√͞͞͞͞͞2 .

Из  ∆ AMB (∠ M = 90°):

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с двумя другими сторонами треугольника углы по  45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и проведенной плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть плоскость проходит через сторону  АВ  правильного треугольника  АВС.

Проведем  CD ⊥ α. Тогда отрезок  BD – проекция стороны  ВС, а АD – проекция стороны  АС  на плоскость. ∠ CBD  и  ∠ CAD – углы, образующие стороны треугольника с плоскостью  α. По условию, ∠ CBD = ∠ CAD = 45°. Проведем  CM ⊥  АB. По теореме о трех перпендикулярах  DM ⊥  АB. ∠ CMD – искомый угол. Пусть сторона треугольника  АВС  равна  а.
Из  ∆ AMC (∠ M = 90°):

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол  45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АСВ – заданный прямоугольный треугольник, у которого  ∠ B = 90°, AB = CB.

Через гипотенузу  АС  проходит плоскость  α, образующая с плоскостью треугольника угол  45°. Проведем  BM ⊥  α, BF ⊥  АC. По теореме о трех перпендикулярах  FM ⊥  АC. Тогда угол  BFM – линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью  α. По условию  ∠ BFM = 45°. В треугольнике

BFM ∠ BFM = ∠ FBM = 45°.

В равнобедренном треугольнике  АВС  высота  BF  будет биссектрисой и медианой. Отрезок  АМ – проекция стороны  АВ  на плоскость  α, поэтому ∠ BAM  – угол, образующий катетом  АВ  с плоскостью  α. Аналогично  ∠ BCM  – угол наклона катета  ВС  для плоскости  α. Пусть

AB = BC = a.

Из  ∆ ABC (∠ B = 90°):

В равнобедренном прямоугольном треугольнике  BFA (∠ F = 90°)

∠ BAM = 30°.

Из равенства треугольников  ABM  и  CBM:

∠ BAM = ∠ BCM = 30°.

ОТВЕТ:  30° и  30°:

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел