Урок 2. Показникові рівняння

Показниковими звичайно називають рівняння, у яких змінна входить у показник степеня (а основа цього степеня не містить змінної).

Розв'язання показникових рівнянь ґрунтується на таких теоремах.

Якщо основа двох степенів і степені рівні, причому основи  а ˃ 0,  і  а ≠ 1, то показники степенів також рівні, тобто якщо

а^m = aⁿ,  m = n.

Якщо у рівних степенів показники степенів рівні і відмінні від нуля, то рівні і основи степенів, тобто якщо

а^m = b^m,  m ≠ 0, то  а = b 

(мають на увазі лише додатне  а  і  b).

ПРИКЛАД:

5^х+2 = 125,

3^х × 2^х = 8^х+3,

3^2х + 4 × 3^х – 5 = 0.

Зверніть увагу! У основі степеня (внизу) – тільки числа. У показниках степеня (вгорі) – найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, в рівнянні вилізе ікс де-небудь, окрім показника, наприклад:

2^х = 3 + х,

Це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння не мають чітких правил рішення. Ми їх доки розглядати не будемо.

Розглянемо найпростіше показникові рівняння.

а^х = b.

Хоча навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які вирішувати можна і треба.

Розв'язування простих показникових рівнянь.

ПРИКЛАД:

3^х = 3².

Навіть без всяких теорій, по простому підбору ясно, що

х = 2.

Ніяке інше значення  х  не підходить. Що ми зробили ? Ми, фактично, просто викинули однакові основи (трійки).

Якщо ліва й права частини показникового рівняння містять тільки добутки, частки, корені або степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою

Проте запам'ятаєте: прибирати основи можна тільки тоді, коли ліворуч і справа числа-основи знаходяться в гордій самотності, без всяких сусідів і коефіцієнтів.

ПРИКЛАД:

2^х + 2^х+1 = 2³,

2 × 2^х = 2⁴.

Двійки прибирати не можна!

ПРИКЛАД:

Для вирішення складніших рівнянь потрібно приводити його до виду, коли ліворуч і справа коштує одно і те ж число – основа, т. е. беремо початковий приклад і перетворюємо його до потрібного нам виду.

Розв'язування показникових рівнянь.

При рішенні показових рівнянь, головні правила – дії з основами. Без знань цих дій нічого не вийде. До дій з основами потрібно додати особисту спостережливість і кмітливість.

Нам потрібно однакові числа – основи ? Ось і шукаємо їх в прикладі в явному або зашифрованому виді.

ПРИКЛАД:

2^2х – 8^х+1 = 0.

Перший погляд на основи. Вони різні. Два і вісім. Самий час згадати, що

8 = 2³.

Двійка і вісімка – родичі по мірі. Цілком можна записати:

8^х+1 = (2³)^х+1.

Якщо згадати формулу з дій з степенями:

(аⁿ)^m = a^nm,

те виходить:

8^х+1 = (2³)^х+1 = 2^3(х+1).

Початковий приклад став виглядати так:

2^2х – 2^3(х+1) = 0.

Перенесемо

2^3(х+1)  

управо, отримуємо:

2^2х = 2^3(х+1).

Прибираємо основи:

2х = 3(х +1),

х = –3.

В даному прикладі нас виручило знання мір двійки. Ми пізнали у вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом в показникових рівняннях. Потрібно уміти дізнаватися в числах основи інших чисел. Це украй важливо для показникових рівнянь. Річ у тому, що звести будь-яке число у будь-яку степінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та і все. Наприклад, звести  3  в п'яту степінь зможе кожен (243  виходить, якщо таблицю множення знаєте). Але в показнткових рівняннях набагато частіше потрібно не підносити до степеня, а навпаки дізнаватися, яке число в якому ступені ховається за числом  243, або скажемо, 343. Тут ніякий калькулятор не допоможе.

Основи деяких чисел бажано знати напам'ять:

2 = 2¹,  4 = 2², 

8 = 2³,  16 = 2⁴ = 4², 

27 = 3³,  32 = 2⁵, 

64 = 2⁶ = 4³ = 8², 

81 = 3⁴,  100 = 10², 

125 = 5³,  128 = 2⁷, 

216 = 6³,  243 = 3⁵, 

256 = 2⁸ = 4⁴, 

343 = 7³, 

512 = 2⁹ = 8³, 

625 = 5⁴, 

729 = 3⁶ = 9³, 

1024 = 2¹⁰ = 4⁵.

При рішенні показникових рівнянь дуже часто допомагає винесення загального множника за дужки.

Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій усі члени містять вираз виду  а^х  (показники степенів відрізняються тільки вільними членами), то зручно в цій частини рівняння винести за дужки найменший степінь  а.

ПРИКЛАД:

3^2х+4 = 11×9^х = 210.

Перший погляд – на основи! Основи у степенів різні. Трійка і дев'ятка. А потрібно, щоб були однакові. Робимо наступне:

9^х = (3²)^х = 3^2х.

За тими ж правилами дій з основами:

3^2х+4 = 3^2х×3⁴,

тому:

3^2х×3⁴ – 11×3^2х = 210.

Ми навели приклад до однакових основ.

Що в цьому показовому рівнянні можна зробити ?

Запам'ятовуємо саме універсальне і потужне правило рішення усіх математичних завдань:

Не знаєш, що треба – роби, що можна!

У лівій частині прямо проситься винесення за дужки множника  3^2х.

3^2х(3⁴ – 11) = 210.

Підрахуємо вираження в дужках:

3⁴ – 11 = 81 – 11 = 70.

Тоді:

70×3^2х = 210.

Для ліквідації основ нам потрібна чиста степінь, без всяких коефіцієнтів, тому ділимо обидві частини рівняння на  70:

3^2х = 3,

3^2х = 3¹,

2х = 1,

х = 0,5.

ПРИКЛАД:

5^х – 2 × 5^х-2 = 23.

5^х-2(5² – 2) = 23,

5^х-2 × 23 = 23,

5^х-2 = 1,

5^х-2 = 5⁰,

х – 2 = 0,

х = 2.

Трапляється, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває в показових рівняннях іншого типу.

Розв'язування більш складних показникових рівнянь.

ПРИКЛАД:

4^х – 3×2^х + 2 = 0.

Спочатку переходимо до однієї основи. До двійки.

4^х = (2²)^х = 2^2х.

Отримаємо рівняння:

2^2х – 3×2^х + 2 = 0.

Попередні прийоми не спрацюють. Тому є ще один універсальний спосіб. Називається він заміна змінною. Суть способу проста. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2^х) пишемо інший (наприклад t).

Нехай:

2^х = t,

тоді

2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t².

Замінюємо в нашому рівнянні усі міри з іксами на t:

t² – 3×t  + 2 = 0.

Вирішуємо квадратне рівняння, отримуємо:

t₁ = 2,

t₂ = 1.

t₁ = 2 = 2^х,

2^х = 2,

х₁ = 1.

t₂ = 1 = 2^х,

2^х = 1⁰,

х₂ = 0.

Якщо не можна звести до однієї основи, то пробуємо звести всі степені до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння (яке розв'язується діленням обох частин рівняння на найбільший степінь одного з видів змінних).

ПРИКЛАД:

4^х – 3×6^х – 4×9^х = 0.

Зведемо всі степені до двох основ

2  і  3:

2^2х + 3×2^х×3^х – 4×3^2х = 0.

Маємо однорідне рівняння (у всіх членів однаковий сумарний степінь – 2х). для його розв’язування поділимо обидві частини на

Дає рівняння

t² + 3t – 4 = 0,

t₁ = 1, t₂ = –4.

Обернена заміна дає

В інших випадках переносимо всі члени рівняння в один бік і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосуємо спеціальні прийоми розв’язування, у яких використовуються властивості відповідних функцій.

ПРИКЛАД:

6^х – 9×2^х – 2×3^х = 0.

Якщо попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за дужки спільний множник, то одержуємо:

2^х(3^х – 9) – 2(3^х – 9) = 0.

Тепер можна винести за дужки спільний множник:

3^х – 9:

(3^х – 9)(2^х – 2) = 0.

Тоді

3^х – 9 = 0,

або

2^х – 2,

одержуємо два рівняння:

3^х – 9,

тоді  х = 2,

2^х – 2,

тоді  х = 1.

Практичні поради:

– Насамперед дивитеся на підстави мір. Пробуйте, чи не можна їх зробити однаковими. Потрібно це робити, активно використовуючи дії з мірами. Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міри.

– Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і справа коштують однакові числа в яких завгодно мірах. Використайте дії з мірами і розкладання на множники. Те що можна порахувати в числах – вважаємо.

– Якщо попередня рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінною. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше квадратне, або дробове, яке теж зводиться до квадратному.

– Для успішного вирішення показових рівнянь потрібно мірі деяких чисел знати в "обличчя".

Формули, які допоможуть вам вирішити показові рівняння.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 3. Показникові нерівності
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмічні перетворення
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 7. Логарифмічні рівняння
• Урок 8. Логарифмічні нерівності
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь