Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 16 октября 2017 г.

Урок 2. Показникові рівняння

Показниковими звичайно називають рівняння, у яких змінна входить у показник степеня (а основа цього степеня не містить змінної).

Розв'язання показникових рівнянь ґрунтується на таких теоремах.

Якщо основа двох степенів і степені рівні, причому основи  а ˃ 0,  і  а 1, то показники степенів також рівні, тобто якщо
аm = an,  m = n.

Якщо у рівних степенів показники степенів рівні і відмінні від нуля, то рівні і основи степенів, тобто якщо
аm = bmm 0, то  а = b 

(мають на увазі лише додатне  а  і  b).

ПРИКЛАД:

5х+2 = 125,
3х × 2х = 8х+3,
32х + 4 × 3х – 5 = 0.

Зверніть увагу! У основі степеня (внизу) – тільки числа. У показниках степеня (вгорі) – найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, в рівнянні вилізе ікс де-небудь, окрім показника, наприклад:

2х = 3 + х,

Це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння не мають чітких правил рішення. Ми їх доки розглядати не будемо.
Розглянемо найпростіше показникові рівняння.

ах = b.

Хоча навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які вирішувати можна і треба.

Розв'язування простих показникових рівнянь.

ПРИКЛАД:

3х = 32.

Навіть без всяких теорій, по простому підбору ясно, що

х = 2.

Ніяке інше значення  х  не підходить. Що ми зробили ? Ми, фактично, просто викинули однакові основи (трійки).
Якщо ліва й права частини показникового рівняння містять тільки добутки, частки, корені або степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою
Проте запам'ятаєте: прибирати основи можна тільки тоді, коли ліворуч і справа числа-основи знаходяться в гордій самотності, без всяких сусідів і коефіцієнтів.

ПРИКЛАД:

2х + 2х+1 = 23,
2 × 2х = 24.

Двійки прибирати не можна!

ПРИКЛАД:
Для вирішення складніших рівнянь потрібно приводити його до виду, коли ліворуч і справа коштує одно і те ж число – основа, т. е. беремо початковий приклад і перетворюємо його до потрібного нам виду.

Розв'язування показникових рівнянь.

При рішенні показових рівнянь, головні правила – дії з основами. Без знань цих дій нічого не вийде. До дій з основами потрібно додати особисту спостережливість і кмітливість.
Нам потрібно однакові числа – основи ? Ось і шукаємо їх в прикладі в явному або зашифрованому виді.

ПРИКЛАД:

22х – 8х+1 = 0.

Перший погляд на основи. Вони різні. Два і вісім. Самий час згадати, що

8 = 23.

Двійка і вісімка – родичі по мірі. Цілком можна записати:

8х+1 = (23)х+1.

Якщо згадати формулу з дій з степенями:

(аn)m = anm,

те виходить:

8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1).

Початковий приклад став виглядати так:

22х – 23(х+1) = 0.

Перенесемо

23(х+1)  

управо, отримуємо:

22х = 23(х+1).

Прибираємо основи:

2х = 3(х +1),
х = –3.

В даному прикладі нас виручило знання мір двійки. Ми пізнали у вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом в показникових рівняннях. Потрібно уміти дізнаватися в числах основи інших чисел. Це украй важливо для показникових рівнянь. Річ у тому, що звести будь-яке число у будь-яку степінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та і все. Наприклад, звести  3  в п'яту степінь зможе кожен (243  виходить, якщо таблицю множення знаєте). Але в показнткових рівняннях набагато частіше потрібно не підносити до степеня, а навпаки дізнаватися, яке число в якому ступені ховається за числом  243, або скажемо, 343. Тут ніякий калькулятор не допоможе.
Основи деяких чисел бажано знати напам'ять:

2 = 21,  4 = 22
8 = 23,  16 = 24 = 42
27 = 33,  32 = 25
64 = 26 = 43 = 82
81 = 34,  100 = 102
125 = 53,  128 = 27
216 = 63,  243 = 35
256 = 28 = 44
343 = 73
512 = 29 = 83
625 = 54
729 = 36 = 93
1024 = 210 = 45.

При рішенні показникових рівнянь дуже часто допомагає винесення загального множника за дужки.
Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій усі члени містять вираз виду  ах  (показники степенів відрізняються тільки вільними членами), то зручно в цій частини рівняння винести за дужки найменший степінь  а.

ПРИКЛАД:

32х+4 = 11×9х = 210.

Перший погляд – на основи! Основи у степенів різні. Трійка і дев'ятка. А потрібно, щоб були однакові. Робимо наступне:

9х = (32)х = 32х.

За тими ж правилами дій з основами:

32х+4 = 32х×34,

тому:

32х×34 – 11×32х = 210.

Ми навели приклад до однакових основ.
Що в цьому показовому рівнянні можна зробити ?
Запам'ятовуємо саме універсальне і потужне правило рішення усіх математичних завдань:
Не знаєш, що треба – роби, що можна!
У лівій частині прямо проситься винесення за дужки множника  32х.

32х(34 – 11) = 210.

Підрахуємо вираження в дужках:

34 – 11 = 81 – 11 = 70.

Тоді:

70×32х = 210.

Для ліквідації основ нам потрібна чиста степінь, без всяких коефіцієнтів, тому ділимо обидві частини рівняння на  70:

32х = 3,
32х = 31,
2х = 1,
х = 0,5.

ПРИКЛАД:

5х – 2 × 5х-2 = 23.
5х-2(52 – 2) = 23,
5х-2 × 23 = 23,
5х-2 = 1,
5х-2 = 50,
х – 2 = 0,
х = 2.

Трапляється, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває в показових рівняннях іншого типу.

Розв'язування більш складних показникових рівнянь.

ПРИКЛАД:

4х – 3×2х + 2 = 0.

Спочатку переходимо до однієї основи. До двійки.

4х = (22)х = 22х.

Отримаємо рівняння:

22х – 3×2х + 2 = 0.

Попередні прийоми не спрацюють. Тому є ще один універсальний спосіб. Називається він заміна змінною. Суть способу проста. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2х) пишемо інший (наприклад t).
Нехай:

2х = t,

тоді

22х = 2х2 = (2х)2 = t2.

Замінюємо в нашому рівнянні усі міри з іксами на t:

t2 – 3×t  + 2 = 0.

Вирішуємо квадратне рівняння, отримуємо:

t1 = 2,
t2 = 1.
t1 = 2 = 2х,
2х = 2,
х1 = 1.
t2 = 1 = 2х,
2х = 10,
х2 = 0.

Якщо не можна звести до однієї основи, то пробуємо звести всі степені до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння (яке розв'язується діленням обох частин рівняння на найбільший степінь одного з видів змінних).

ПРИКЛАД:

4х – 3×6х – 4×9х = 0.

Зведемо всі степені до двох основ

2  і  3:
22х + 3×2х×3х – 4×32х = 0.

Маємо однорідне рівняння (у всіх членів однаковий сумарний степінь – ). для його розв’язування поділимо обидві частини на

Дає рівняння

t2 + 3t – 4 = 0,
t1 = 1, t2 = –4.

Обернена заміна дає
В інших випадках переносимо всі члени рівняння в один бік і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосуємо спеціальні прийоми розв’язування, у яких використовуються властивості відповідних функцій.

ПРИКЛАД:

6х – 9×2х – 2×3х = 0.

Якщо попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за дужки спільний множник, то одержуємо:

2х(3х – 9) – 2(3х – 9) = 0.

Тепер можна винести за дужки спільний множник:

3х – 9:
(3х – 9)(2х – 2) = 0.

Тоді

3х – 9 = 0,

або

2х – 2,

одержуємо два рівняння:

3х – 9,

тоді  х = 2,

2х – 2,

тоді  х = 1.

Практичні поради:

– Насамперед дивитеся на підстави мір. Пробуйте, чи не можна їх зробити однаковими. Потрібно це робити, активно використовуючи дії з мірами. Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міри.
– Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і справа коштують однакові числа в яких завгодно мірах. Використайте дії з мірами і розкладання на множники. Те що можна порахувати в числах – вважаємо.
– Якщо попередня рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінною. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше квадратне, або дробове, яке теж зводиться до квадратному.
– Для успішного вирішення показових рівнянь потрібно мірі деяких чисел знати в "обличчя".

Формули, які допоможуть вам вирішити показові рівняння.

Завдання до уроку 2

Комментариев нет:

Отправить комментарий