Урок 7. Логарифмічні рівняння

Логарифмічними називають такі рівняння, в які невідомі входять під знак логарифма.

При розв'язанні логарифмічних рівнянь часто доводиться логарифмувати і потенціювати обидві частини рівняння. Те саме буває і при розв'язанні показникових рівнянь. Вказані операції можуть привести до рівнянь, не рівносильних до даних.

Так, якщо  А  і  В  є виразами, що містять невідомі, то не завжди рівносильні такі рівняння:

А = В  і  lg A = lg B,

lg (AВ) = lg С  і  lg A + lg B = lg С,

lg ^А/_В = lg С  і  lg A – lg B = lg С,

lg Aⁿ = С  і  n lg A = С,

Для логарифмічних рівнянь, так само як і для показникових, загального методу розв'язання нема. Однак серед логарифмічних рівнянь можна виділити кілька груп, що розв'язуються елементарними методами. Приступаючи до розв'язання рівнянь, бажано встановити область допустимих значень для невідомого.

Найпростішими логарифмічними рівняннями називають рівняння вигляду

lоg_а х = b,

де  а – відмінне від  1  додатне число.

При будь-якому дійсному  b  рівняння має єдиний розв'язок

х = а^b.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

Логарифмічне рівняння вигляду

log_a f(x) = b,

де  а – відмінне від  1  додатне число, а

f(x) – елементарна алгебраїчна функція.

Введенням невідомого

t = f(x)

рівняння зводиться до найпростішого логарифмічного рівняння

log_a t = b.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

log₃(х² – 7х + 21) = 2.

Область допустимих значень для  х – вся числова вісь, тому що

х² – 7х + 21 > 0

при будь-якому  х  (дискримінант D < 0). За визначенням логарифма

х² – 7х + 21 = 3²,

х₁ = 3,  х₂ = 4.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

log_х-1 (х² – 5х + 2,25) = 2.

Область допустимих значень невідомого визначається з умов

х – 1 > 0,  х – 1 ≠ 1,

х² – 5х + 2,25 > 0.

Отже,  х > 4,5.

Розв'язання даного рівняння зводиться до розв’язання рівняння:

х² – 5х + 2,25 = (х – 1)²,

–3х = –1,25,  х = ⁵/₁₂.

х = ⁵/₁₂  не входить до області допустимих значень.

Рівняння не має дійсних коренів.

Логарифмічне рівняння вигляду

log_a f(x) = log_a φ(x),

де  а – відмінне від  1  додатне число,

f(x)  і  φ(x) – елементарні алгебраїчні функції.

Розв'язання даного рівняння зводиться до розв'язання рівняння

f(x) = φ(x),

Тому для розв'язання даного рівняння досить знайти всі розв'язки рівняння

f(x) = φ(x)

і серед них вибрати ті, які належать до області допустимих значень рівняння

log_a f(x) = log_a φ(x),

А якщо рівняння

f(x) = φ(x)

Розв'язків не має, то їх не має і рівняння

log_a f(x) = log_a φ(x),

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

5lg х = 3lg ^х/₂.

Область допустимих значень х > 0,

lg х⁵ = lg (^х/₂)³,

х⁵ = (^х/₂)³.

Розв'язуючи рівняння, одержуємо:

х₁ = х₂ = х₃ = 0,

До області допустимих значень рівняння належить тільки  х₅. Отже, дане рівняння має один розв’язок

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

lg (2х) = 2lg (4х – 15).

Область допустимих значень невідомого для

lg (2х)  х > 0,

Для  lg (4х – 15)  маємо 

4х – 15 > 0, або  х > ¹⁵/₄.

Отже, область допустимих значень невідомого рівняння буде

х > 3³/₄.

Перетворимо дане рівняння:

lg (2х) = lg (4х – 15)², 

2х = (4х – 15)²,

16х² – 122х + 225 = 0.

Отже,

х₁ = ⁹/₂,  х₂ = 3¹/₈.

Оскільки  х₂  не належить до області допустимих значень рівняння а  х₁  задовольняє рівняння, то рівняння має єдиний корінь:

х = ⁹/₂.

Логарифмічні рівняння вигляду

log_a  f₁ (x) + log_a  f₂ (x) + … + log_a  f_s (x) =

log_a φ₁ (x) + log_a φ₂ (x) + … + log_a φ_m (x),

де  а – відмінне від  1  додатне число, а  f_i (x)  (i = 1,  2, …, s ) і  φ_j (x) (j = 1,  2, …,  m) – алгебраїчні функції, при цьому деякі з них можуть бути сталими числами.

Рівняння такого вигляду зводяться до рівняння вигляду

 f₁ (x)  f₂ (x) …  f_s (x) = φ₁ (x) φ₂ (x) … φ_m (x).

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

lg (3х – 11) + lg (х – 27) = 3.

Знайдемо спочатку область допустимих значень для  х.

3х – 11 > 0,

х > 3²/₃.

х – 27 > 0,

х > 27.

Загальна область допустимих значень

х ˃ 27.

Замінивши  3 = lg 1000, рівняння перепишемо так:

lg [(3х – 11)(х – 27)] = lg 1000,

звідки

(3х – 11)(х – 27) = 1000,

або

3х² – 92х – 703 = 0,

х₁ = 37,  х₂ = –¹⁹/₃.

Оскільки  х₂ = –¹⁹/₃  не належить до області допустимих значень,то рівняння має єдиний корінь  

х = 37.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

lg (2х) + lg (х + 3) = lg 2 + lg (6х – 2).

Область допустимих значень

для  lg (2х):  
2х > 0,  х > 0,

для  lg (х + 3):  
х + 3 > 0,  х > –3,

для  lg (6х – 2):  
6х – 2 > 0,  х > ¹/₃.

Рівняння набуває вигляду

х(х + 3) = 6х – 2,

або

х² – 3х + 2 = 0,

звідси  х₁ = 2,  х₂ = 1.

Обидва ці значення належать до області визначення і обидва вони є розв'язками даного рівняння.

Логарифмічні рівняння вигляду

F[g(x)] = 0,

де g(x) – логарифмічна функція, а  F – елементарна алгебраїчна функція.

Для розв'язання рівняння вводять змінну  t = g(x). Тоді дане рівняння зводиться до рівняння  

F(t) = 0.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

(lg х – 5) lg х³ + 18 = 0.

Область допустимих значень  х > 0. Оскільки

lg х³ = 3lg х,

то дане рівняння рівносильне до рівняння

(lg х – 5) 3lg х + 18 = 0.

Покладаючи  lg х = t, одержуємо

3t (t – 5) + 18 = 0,

t² – 5t + 6 = 0,

t₁ = 2,  t₂ = 3.

Розв'язавши рівняння

lg х = 2  і  lg х = 3,

одержимо розв'язки даного рівняння:

х₁ = 100,  х₂ = 1000.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

(lоg₂ х)² – lоg₂ х – 2 = 0.

Область допустимих значень  х > 0. Поклавши  lоg₂ х = z, звідки

z² – z – 2 = 0,  
z₁ = 2,  z₂ = –1.

Отже,

lоg₂ х = 2,  х₁ = 4,

lоg₂ х = –1,  х₂ = ¹/₂,

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

lоg₅ х lоg₄ х lоg₃ х = 0.

Перепишемо рівняння так:

lоg₅ х (lоg₄ х lоg₃ х) = 0.

Тоді число, що стоїть у дужках, за означенням логарифма, дорівнює  5⁰, тобто  1:

lоg₄ х lоg₃ х = 1.

Записуючи це рівняння у вигляді

lоg₄ х (lоg₃ х) = 1,

одержуємо  lоg₃ х = 4, звідки 

х = 3⁴ = 81.

ПРИКЛАД:

Визначити  х, якщо:

ПРИКЛАД:

Визначити  х, якщо:

ПРИКЛАД:

Визначити  х, якщо:

ПРИКЛАД:

Визначити  х  з рівняння:

5log₂ х – 6 = 2log₂ х,

3log₂ х = 6,

log₂ х = 2,  х = 2² = 4.

ПРИКЛАД:

Визначити  х  з рівняння:

х₁ = 3² = 9,

х₂ = 3¹ = 3. 

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Показникова функція
• Урок 2. Показникові рівняння
• Урок 3. Показникові нерівності
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмічні перетворення
• Урок 6. Логарифмічна функція
• Урок 8. Логарифмічні нерівності
• Урок 9. Системи показникових і логарифмічних рівнянь