Завдання 2. Тіла обертання

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Тіла обертання

 1. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює  с, а один із гострих кутів дорівнює  α. Знайдіть об'єм конуса, утвореного при обертанні цього трикутника навколо катета, протилежного даному куту.

 а)  ¹/₃ πc³cos²α sinα;     

 б)  ²/₃ πc³cos²α sinα;     

 в)  ¹/₃ πc³cos²α sin2α;     

 г)  ¹/₃ πc³cos²2α sinα.

 2. Прямокутник зі сторонами  5 см  і  12 см  обертається навколо прямої, що містить більшу з його сторін. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.

 а)  128π см²;     

 б)  122π см²;     

 в)  126π см²;     

 г)  120π см².

 3. Сторони трикутника дорівнюють  

13 см, 14 см  і  15 см. 

Він обертається навколо прямої, що містить середню з його сторін. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.

 а)  112π см²;     

 б)  118π см²;     

 в)  110π см²;     

 г)  114π см².

 4. Прямокутний трикутник з катетом а  і протилежним до нього гострим кутом  α  обертається навколо гіпотенузи. Знайдіть площу поверхні тіла обертання. 

 а)  πа² cos 2α (ctgα + 1);     

 б)  πа² cos α (ctg2α + 1);     

 в)  πа² cos α (ctgα + 1);     

 г)  πа² cos α (ctgα + 2).

 5. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює  b, гострий кут – β  а бічна сторона – с. Знайдіть об'єм тіла, яке утворене обертанням трапеції навколо меншої основи.

 а)  πC² sin²2β (3b + 2C cos β);     

 б)  πC² sin²β (3b + 2C cos β);     

 в)  πC² sin²β (2b + 3C cos β);     

 г)  πC² sin²β (3b + 2C cos 2β).

 6. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює  с , а один з гострих кутів – α. Трикутник обертається навколо прямої, яка проходить через вершину кута  α  перпендикулярно до гіпотенузи і лежить у площині трикутника. Знайдіть об'єм тіла обертання.

 7. Площа ромба дорівнює  S, а гострий кут – α. Він обертається навколо однієї із сторін. Знайдіть об'єм тіла обертання.

 8. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює  8 см, а кут при основи – 15°. Він обертається навколо бічної сторони. Знайдіть об'єм тіла обертання.

 а)  ¹³⁰/₃ π см³;     

 б)  ¹³²/₃ π см³;     

 в)  ¹²⁶/₃ π см³;     

 г)  ¹²⁸/₃ π см³.

 9. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює  b, а кут при вершині – 2β. Цей трикутник обертається навколо прямої  m, яка лежить у площині трикутника, паралельна його основі і знаходиться на відстані  с  від неї. Знайдіть об'єм тіла обертання.

 

 а)  ¹/₃ πb² ctg β (c – ^b/₆ ctg β);     

 б)  ¹/₂ πb² ctg β (c – ^b/₆ ctg β);     

 в)  ¹/₂ πb² ctg β (c – ^b/₃ ctg β);     

 г)  ¹/₂ πb² ctg 2β (c – ^b/₆ ctg β).

10. Рівносторонній трикутник обертається навколо своєї сторони  а. Знайдіть об'єм тіла обертання.

11. Круговий сектор з кутом  30°  і радіусом  R  обертається навколо одного з бічних радіусів. Знайдіть об'єм утвореного тіла.

12. Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі  Ох криволінійної трапеції, яку обмежують лінії:

х = 0,  х = 8, 

у = 0,  у = 2х + 1.

 а)  816²/₃ куб. од.;     

 б)  818¹/₃ куб. од.;     

 в)  818²/₃ куб. од.;     

 г)  816¹/₃ куб. од.

Завдання до уроку 16

• Завдання 1
• Завдання 3