Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 26 февраля 2018 г.

Урок 17. Комбінації тіл (2)

Нами вже розглянуто прості геометричні тіла: призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Але у природі, техніці та геометрії також розглядають і комбінації вказаних геометричних тіл.

ПРИКЛАД:
Багатогранник, описаний навколо кулі.

Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник – описаним навколо кулі, якщо площини всіх граней дотикаються до кулі.
Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі:

– кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є багатогранник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола;
– центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центр кіл, вписаних у многокутники основ призми.
Об'єм багатогранника, описаного навколо кулі, дорівнює добуткові повної поверхні багатогранника на третину радіуса кулі.
ЗАДАЧА:

Знайти радіус кулі, вписаної в піраміду, основою якої є ромб з діагоналями  6  і  8, а висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи і дорівнює  1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За діагоналями ромба знайдемо його сторону:
Радіус вписаного в ромб круга:
де  S – площа ромба, а  Р – його периметр. Тоді:
Висота бічної грані піраміди,
де  h– висота піраміди, а  r – радіус вписаного в основу круга.
Виконавши обчислення, знаходимо, що
Повна поверхня піраміди:
а об'єм піраміди:
Якщо об'єм багатогранника, описаного навколо кулі, дорівнює добуткові повної поверхні багатогранника на третину радіуса кулі:
тоді знайдемо радіус  R  кулі, вписаної в піраміду:
ВІДПОВІДЬ:  0,48.

Куля називається вписаною в конус, зрізаний конус і циліндр, якщо поверхня кулі дотикається до площин основ цих фігур і до всіх твірних їх бічних поверхонь.


Куля називається описаною навколо конуса, якщо поверхня кулі проходить через вершину конуса, а коло основи конуса лежить на поверхні кулі.
Куля називається описаною навколо циліндра і зрізаного конуса, якщо кола їх основ лежать на поверхні кулі.
Зауважимо, що в конус завжди можна вписати кулю, а навколо циліндра і зрізаного конуса завжди можна описати кулю.
Для інших просторових фігур умови можливості вписати в них і описати навколо них кулі повинні бути в кожному випадку спеціально визначені.

Застосування тригонометричних функцій до розв’язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

У конус вписано піраміду  SАВС.
У трикутнику  АВС, ∠ АСВ = 60°, АВ = 2√͞͞͞͞͞3. Висота конуса  SН  дорівнює  9. Знайдіть об'єм конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В основі конуса лежить коло, яке описано навколо трикутника  АВС. Слідство з теореми синусів:
де  R – радіус описаного кола,
R = 2.

Знаючи радіус кола, що лежить в основі конуса, можемо знайти його об’єм:

Vкон = 1/3 SHπR2 = 1/3∙ 9∙ π∙ 4 = 12π,

ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм кулі, вписаної в тетраедр з ребром  а  та двогранним кутом при ребрі основи  α. 

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:
Обсяг кулі знаходимо за такою формулою:

Vшара = 4/3 πR3.

Розв'язання задачі зводиться до знаходження радіусу кулі. Центр кулі, точка  О, лежить на висоті піраміди (властивість кулі, вписаної в тетраедр).

Проведемо висоту піраміди  РО1, О1 – центр кола, описаного біля основи піраміди.

Куля стосується бічної грані тетраедра – РАВ – в деякій точці  К, що лежить на апофемі  РМ  (властивість кулі, вписаної в тетраедр).

Запишемо формулу для знаходження радіуса кола, вписаного в трикутник  АВС:

О1М = 1/2 О1С = а/6√͞͞͞͞͞3.

∠ РМО1 = α (визначення лінійного кута двогранного кута).

Знайдемо радіус кулі  ОО1 = R  із трикутника  ОО1М.

∆ ОО1М = ∆ ОКМ (за двома катетами), тому

∠ О1МО = 1/2 ∠ РМО1 = α/2.

З  ∆ ОО1М  знаходимо:

R = О1М ∙ tg α/2 = а/6√͞͞͞͞͞3 ∙ tg α/2.

Об'єм кулі:

Vшара = 4/3 πR3 =

= 4/3 π∙ (а/6√͞͞͞͞͞3 ∙ tg α/2)3 =

= 1/54√͞͞͞͞͞3 πa3∙ tg3 α/2.

ЗАДАЧА:

Дано правильну трикутну піраміду об'єму  V. У цю піраміду вписано циліндр так, що одна з його основ належить основі піраміди, а інша основа вписана в переріз піраміди площиною, паралельною основі. Знайдіть найбільший можливий об'єм такого циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано правильну трикутну піраміду  SАВС, об'єм її дорівнює  V.
У піраміду вписаний циліндр, нижня основа циліндра належить основі піраміди, а друга – площині перерізу, паралельної основи.

Висоту піраміди позначимо  Н, довжину сторони основи – а, висоту циліндра – h, радіус циліндра – r.

Для знаходження найбільшого можливого об'єму циліндра можна виразити об'єм циліндра як функцію, наприклад, висоти циліндра і знайти максимум цієї функції.

Розглянемо переріз  А1В1С1  піраміди площиною верхньої основи циліндра. Це правильний трикутник, гомотетичний підставі  АВС  з коефіцієнтом гомотетії
Сторона перерізу має довжину
а радіус вписаного кола дорівнює:
Це і є радіус циліндра, тобто:
Знаходимо об'єм циліндра як функцію  h:
Знайдемо критичну точку знайденої функції:
h0 = 1/3 H.

При  h = h0  функція  Vц  має найбільше значення, що дорівнює:

1/81 a2H.

За умовою  1/12√͞͞͞͞͞3 a2H = V.

Найбільший можливий об'єм аналізованих циліндрів дорівнює:

4/81√͞͞͞͞͞3 πV.
 
Завдання до уроку 17
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий