Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 6 апреля 2018 г.

Урок 1. Простые методы решения комбинаторных задач

ВИДЕО УРОК

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества.

Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям, поэтому вместо слова “комбинаторика”, часто используют слово “выборки” элементов.

Комбинаторная задача – задача, требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа.

Перебор возможных вариантов.

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов.

ЗАДАЧА:

У Маши имеются юбка с брюками и кофта, свитер, рубашка. Сколько комплектов можно составить из этой одежды ?
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Какие двузначные числа можно составить из цифр 
1,  3,  4,  5 ?

РЕШЕНИЕ:

11,  13,  14,  15,  33,  31,  34,  35,
41,  43,  44,  45,  51,  53,  54,  55.

Табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение).

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они наглядно представляют решение таких задач.

ЗАДАЧА:

Сколько нечётных двузначных чисел можно составить из цифр:

1,  2,  3,  5,  6,  7,  8,  9 ?

РЕШЕНИЕ:

Составим таблицу: слева первый столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка вторые цифры.
ОТВЕТ:  40.

ЗАДАЧА:

Сколько нечётных двузначных чисел можно составить из цифр:

1,  3,  4,  6,  7,  8,  9 ?

РЕШЕНИЕ:

Составим таблицу: слева первый столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка вторые цифры.
ОТВЕТ:  28.

ЗАДАЧА:

Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

РЕШЕНИЕ:

Составим таблицу: слева первый столбец – имена девочек, вверху первая строка – имена мальчиков.
ОТВЕТ: 

Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Построение граф – схемы.

Граф – совокупность объектов со связями между ними.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или рёбра.
ЗАДАЧА:

Встретились пятеро друзей, как положено, поздоровались друг с другом. Сколько рукопожатий было сделано ?

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  10.

ЗАДАЧА:

Постройте отрезок  АВ, и отметьте на нём  4  точки  М, С. К, Д. Определите с помощью грф – схемы количество отрезков.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  15

При построении граф-схем кроме дуг и вершин используется петля. она используется в случаях, когда требуется показать, что число делится само на себя.

ЗАДАЧА:

Выберите граф, на котором показано, что одно число делится на другое и на само себя.
ОТВЕТ:  Первый граф.
Дерево возможных вариантов решений.

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название – дерево возможных вариантов.

Дерево возможных вариантов – граф, схема, отражающая структуру задачи, упорядочения многошагового процесса принятия решений.

Ветви дерева отображают различные события, которые могут иметь место, а корень дерева – состояние, в котором возникает необходимость выбора.
ЗАДАЧА:

Запишите все трёхзначные числа, которые можно составить из цифр  1, 2, 3, так, чтобы числа не повторялись.

РЕШЕНИЕ:ЗАДАЧА:

Катя, Лена и Соня сегодня дежурные. Им нужно расставить книги (К), вымыть пол (П), полить цветы (Ц). Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности ?

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Какие трёхзначные числа можно составить из цифр

0,  3,  5 ?

РЕШЕНИЕ:

Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что  0  не может быть первой цифрой в числе.
ОТВЕТ:

300,  303,  305,  330,  333,  335,  350,  353,  355,
500,  503,  505,  530,  533,  535,  550,  553,  555,

ЗАДАЧА:

Имеются три слова  “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ”. Сколькими способами из этих слов можно составить фразу ?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим предложенные слова заглавными буквами:
ДРУЖБА – Д
ЛЮБИТ – Л
ДЕЛО – Е (возьмём вторую букву этого слова).
Построим дерево возможных вариантов:
ОТВЕТ:  6 способов.

Задания к уроку 1

Комментариев нет:

Отправить комментарий