Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 13 октября 2018 г.

Урок 1. Движение материальной точки

ВИДЕО УРОК
Раздел механики, в котором изучаются движения без исследования причин, их вызывающих, называется кинематикой. Следовательно, задача кинематики является описание изменения положения тела в пространстве с течением времени, т. е. определение траектории его движения.

Механическое движение.

Движение человека, различных частей машин, полёт самолёта, ракеты – всё это механические движения.
Когда мы говорим о механическом движении какого-либо тела, то всегда имеем в виду его перемещение относительно другого тела. Чаще всего мы рассматриваем движение тел относительно земной поверхности и предметов, неподвижных относительно неё: зданий, деревьев, столбов и т. д.

Мы говорим, что пошоссе движется автомобиль, так как видим, что меняется положение автомобиля относительно неподвижныхдеревьев или домов, стоящих у шоссе. Вода в реке движется относительно берегов, поезд движется относительно полотна железной дороги, станции, телеграфных столбов. Если положение поезда относительно этих предметов не изменяется, значит, поезд неподвижен. Поэтому:

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

 Линия, по которой движется тело, называется траекторией движения.

Проведём мелом линию на классной доске, эта линия будет траекторией движения куска мела.
Видимую траекторию движения – светящийся след – оставляет в ночном небе метеор
В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.
При своём движении по траектории тело за определённый промежуток времени проходит определённое расстояние.
Расстояние, которое тело прошло по траектории за время своего движения, называется пройденным путём за данный промежуток времени.
На рисунке
Виден лыжный след, оставленный девочкой, спустившейся на лыжах с горы. Расстояние  ОА, измеренное вдоль лыжного следа, равно пути, пройденному лыжницей за время спуска с горы.
Движения тел могут быть самыми разнообразными. Движение кузова автомобиля, например, отличаетсяот движения его колёс. Колёса вращаются, кузов же во вращательном движении не учавствует.
Вращая колодезный вал, достают из колодца ведро с водой. При этом вал и ведро движутся различно.
Основными видами движения тел являются поступательное и вращательное.

 Поступательное движение тел.
Примерами поступательного движения являются:
– движение груза переносимого подъёмным краном,
– движение ящика, выдвигаемого из стола,
– движение предметов на ленте транспортёра,
– движение резца вдоль корпуса токарного станка,
– движение рубанка и ручной пилы при работе и многие другие движения.
Рассмотрим признаки поступательного движения тела.
Эти признаки очень хорошо выявляются на примере движения груза, переносимого краном. Легко подметить, что все точки груза при его переносе описывают в пространстве одинаковые траектории и проходят одинаковые пути за одно и то же время.
Эти признаки легко найти в поступательном движении любого тела: поезда, предметов на ленте конвейера, рубанка, пилы и т. д.
Таким образом, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории в пространстве и за один и тот же промежуток времени проходят равные пути.

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково, называют поступательным. (При этом любая прямая, проведенная в теле, остаётся параллельной самой себе.)
Поступательное движение тела не обязательно должно быть прямолинейным. Например, можно так вращать рукоятку швейной машины, что кисть руки будет двигаться поступательно, описывая окружность. Так же могут двигаться ступни велосипедиста при вращении педалей велосипеда.
Так как все точки тела при поступательном движении движутся одинаково, то это упрощает задачу изучения этого вида движения. Достаточно изучить движение одной какой-нибудь точки тела, чтобы знать движение всего тела. Не нужно описывать движение каждой точки тела когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстоянием от него до других тел. Так поступают в астрономии при изучении движений небесных тел.

ПРИМЕР:

Планеты, звёзды, Солнце не малые тела. Но радиус Земли в  24000 раз меньше, чем расстояние от Земли до Солнца. Поэтому можно считать Землю точкой, которая движется вокруг другой точки – центра Солнца.

Говоря в дальнейшем о движении тела, мы в действительности будем иметь в виду движение какой-нибудь точки этого тела.

Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой.

Одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, а при других нет.

ПРИМЕР:

Мальчик, идя в школу, проходит от дома расстояние в  1 км, то его в этом движении можно рассматривать как материальную точку, потому что размеры мальчика по сравнению с расстоянием, которое он проходит.
Но когда тот же мальчик выполняет упражнения утренней зарядки, то материальной точкой считать его никак нельзя.
ПРИМЕР:

Определите, можно ли применять понятие материальная точка для исследования движения медведя и движения пчелы.

Варианты ответов:

А. Можно применить лишь относительно медведя.
Б. Можно применить лишь относительно пчелы.
В. Можно применить и к медведю, и к пчеле в зависимости от условий задачи.
Г. Нельзя применить относительно медведя и пчелы, потому что это – живые существа.

РЕШЕНИЕ:

Материальная точка – это тело, размерами которого в данном условии задачи можно пренебречь.

 ОТВЕТ:  В. 

 Положение точек тела в пространстве.

Как определить положение тела? Положение тела или точки можно задать только относительно какого-нибудь другого тела, которое называется телом отсчёта. Тело отсчёта можно выбрать совершенно произвольно.

ПРИМЕР:

Телом отсчёта может служить дом, в котором мы живём, вагон поезда, в котором мы едем, и вообще любое другое тело. Телами отсчёта могут служить Земля, Солнце, звёзды. Нам, живущим на Земле, удобно указывать положение тела относительно Земли.

Если тело отсчёта выбрано, то через какие-нибудь его точки проводят оси координат и положение любой точки тела определяют её координатами.

ПРИМЕР;

Определим положение автомобилей на дороге.
В качестве тела отсчёта выберем придорожное селение  А.
Проведём вдоль дороги ось координат  ОХ  с началом отсчёта (началом координат) в точке  О. Координаты, отсчитываемые вправо от точки  О, будем считать положительными, а влево – отрицательными. Тогда положение автомобиля  1  определяется его координатой  х1 = ОВ. На рисунке масштаб выбран так, что  х1 = 1200 м. Для автомобиля  2  координата выражается числом  400 м, но, так как её приходится отсчитывать влево от начала отсчёта, то  х2 = –400 м.

Положение тела на прямой определяется одной координатой (одним числом).

Если тело может двигаться в пределах некоторой плоскости (например, лодка на озере), то через выбранные на теле отсчёта точки проводят две оси координат  ОХ  и  ОY. Положение точки на плоскости определяют двумя координатами  х  и  у.

ПРИМЕР:

У точки  А  координаты такие:
х = 3, у = 4;
координаты точки  В:
х = 2, у = – 1.
Положение тела на плоскости определяется двумя координатами (двумя числами).

Чтобы задать положение тела в пространстве (например, положение самолёта в воздухе), нужно провести через тело отсчёта три взаимно перпендикулярные оси координат:

ОХ, OY  и  OZ.

Соответственно этому положение тела (точки) в пространстве определяется тремя координатами: х, у  и  z.
Положение тела в пространстве определяется тремя координатами (тремя числами).

Пространство, в котором мы живём, является, как говорят, пространством трёх измерений, или трёхмерным пространством.
Так как положение тела определяется координатами его точек, то главная задача механики сводится к тому, чтобы уметь вычислять координаты точек тела в любой момент времени
Система координат, тело отсчёта, с которым она связана, и указание начала отсчёта времени образуют систему отсчёта, относительно которой и рассматривается движение тела.
При движении тела координаты его точек изменяются.

ПРИМЕР:

Если координата, отсчитанная по оси  Х, в какой-то начальный момент времени была  х0, а спустя промежуток времени  t  она стала равной  х, то это значит, что координата изменилась на величину  
х – х0.

Перемещение.

Если тело (материальная точка) движется равномерно вдоль некоторой заданной линии, то его положение на этой линии в любой момент времени находится просто:

умножив скорость тела  v  на время  t, протекшее до интересующего нас момента, мы получим длину пройденного пути  l.

Если известна точка, в которой находилось тело в начальный момент времени, то, отложив от неё вдоль линии, по которой движется тело, пройденный путь  l, мы найдём точку, где тело окажется в момент времени  t.
Эта задача решается просто только тогда, когда известна линия, вдоль которой движется тело, или, как говорят, известна траектория движения тела.

ПРИМЕР:

Траектория движения поезда – это линия железной дороги, траектория движения автомобиля – шоссе и т. д.

В тех случаях, когда траектория движения не известна, определить положение тела, т. е. его координаты, в конце пути нельзя, даже если известны начальное положение тела и длина пройденного им пути.

ПРИМЕР:

Если мы знаем начальное положение корабля и длину пройденного им пути, мы не сможем вычислить координаты корабля в конце этого пути: корабль может пройти его в любом направлении и по любому пути.

Для того чтобы в этом примере найти положение тела, надо знать не длину пройденного пути, а совсем другую характеристику – перемещение тела.
Представим себе, что в какой-то начальный момент времени движущееся тело (точка) занимало положение  М1.
Через некоторый промежуток времени оно оказалось в другом положении на расстоянии  х  от начального. Как найти новое положение тела ? Очевидно, для этого недостаточно знать расстояние  S, потому что есть бесчисленное множество точек, удалённых от точки  М1  на это расстояние.
Чтобы найти положение тела, надо ещё знать направление отрезка, соединяющего начальное положение тела с его последующим положением. Этот направленный отрезок прямой и представляет собой перемещение тела. Конец отрезка, изображающего перемещение, для наглядности отмечают стрелкой. Приставив отрезок к точке  М1, мы в конце стрелки найдём новое положение тела  М2.
Перемещением тела (материальной точки) называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Перемещением точки задаётся вектор, называемый вектором перемещения. Векторные величины обозначают буквами со стрелкой над ними.
Например,
Модуль (или длина) вектора перемещения – число, показывающее, скольким единицам длины (метрам, километрам и т. д.) равно перемещение. Модуль вектора мы будем обозначать той же буквой со стрелкой, что и сам вектор, но перед буквой и за ней будем ставить вертикальные линии.
Например,
Вектор определяется его модулем и направлением.
Итак, чтобы найти положение тела в любой момент времени, нужно знать его начальное положение и перемещение, совершенное к этому моменту времени.
Перемещение тела надо отличать от траектории его движения. Из того, что тело переместилось из точки  М1  в точку  М2  и длина его перемещения равна длине отрезка  М1М2, не следует, что тело двигалось по прямой  М1М2.
Траектория движения тела, т. е. линия, по которой оно действительно двигалось, может не совпадать с этой прямой.

ПРИМЕР:

На рисунке изображена географическая карта района Чёрного моря.
Расстояние между Одессой и Севастополем по прямой составляет  300 км, и, для того чтобы попасть из Одессы в Севастополь, нужно совершить перемещение, направленное примерно на юго-восток и численно равное  300 км.  Если мы отправимся в путешествие на теплоходе, то его действительное движение может происходить по прямой, совпадающей с перемещением. Но из Одессы в Севастополь можно ехать и на поезде. Линия железной дороги проходит через Николаев, Херсон, Джанкой и Севастополь. Её протяжённость  600 км. При путешествии по железной дороге траектория движения уже не будет совпадать с перемещением.
Ясно, что нас интересует конечное положение поезда относительно Одессы, то оно определяется перемещением Одесса – Севастополь. Если мы знаем, что перемещение направлено на юго-восток и составляет  300 км, то этих сведений достаточно для того, чтобы узнать, где расположен поезд. Но если нам сказано, что поезд прошёл путь в  600 км, то это не поможет нам узнать, где он находится: из Одессы поезд мог отправиться в Москву, Киев, Харьков или в любой другой город. 

 Задания к уроку 1   

Другие уроки:

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий