Урок 4. Векторные и скалярные величины

четверг, 18 октября 2018 г.

Урок 4. Векторные и скалярные величины

ВИДЕО УРОК

Перемещение – это особая величина. Особая потому, что она задаётся не только определённым числом, но и направлением. Таких величин в физике известно много. Скорость, ускорение, сила и ряд других физических величин характеризуются не только численным значением, но и направлением. Эти величины называют векторными величинами или просто векторами.

Величины, характеризуемые как численным значением, так и направлением, называются векторными величинами, или векторами.

Вектор графически изображается стрелкой, длина которой (в некоторых произвольных единицах длины) равна численному значению рассматриваемой величины, а направление показывает направление вектора. Вектор изображается полужирной буквой (s) или обычной буквой со стрелкой над ней

а его численное значение – этой же буквой без стрелки (s).

Модуль (или длина) вектора перемещения – число, показывающее, скольким единицам длины (метрам, километрам и т. д.) равно перемещение. Модуль вектора обозначается той же буквой со стрелкой, что и сам вектор, но перед буквой и за ней ставятся вертикальные линии.

ПРИМЕР:

Вектор определяется его модулем и направлением.

Два вектора считаются равными, если равны их модули и они одинаково направлены.

Величины, которые определяются только численными значениями, называются скалярными величинами, или скалярами

ПРИМЕР:

Температура, время, масса, объём и др.

Зная вектор перемещения и координаты начального положения тела, можно найти значения координат его конечного положения.

ПРИМЕР:

Выберем систему координат XOY.

Начальное положение тела М₀ определяется координатами х₀ и у₀. Приставим к точке М₀ вектор

перемещения тела.

Как найти координаты х и у конечного положения тела (точки М) ?

Опустим из начала М₀ и конца M вектора

Перпендикуляры М₀N₀ и MN на ось Х и перпендикуляры М₀L₀ и ML на ось Y. Точки N₀ и N – это проекции точек М₀ и М на ось X, а точки L₀ и L – на ось Y. Проведём вектор от точки N₀

к точке N

Вектор

называют составляющей вектора

Аналогично построим вектор

Из рисунка видно, что направление вектора

совпадает с направлением оси координат. В этом случае, чтобы найти координату х точки М, нужно к начальной координате х₀ прибавить длину отрезка N₀N.

Направление вектора

может быть и противоположно направлению оси координат

Тогда, чтобы найти координату х, длину отрезка N₀N нужно будет вычесть из координаты х₀. Таким образом,

х = х₀ + N₀N, если вектор

направлен также, как ось Х, и

х = х₀ – N₀N,

если направление вектора

противоположно направлению оси Х.

Этот вывод можно записать короче, если ввести понятие проекции вектора

Проекцией вектора на ось Х называют скалярную величину, численно равную длине составляющей вектора по этой оси.

Проекция будет положительной, если составляющая вектора

по данной оси координат направлена также, как и ось координат, и отрицательной в противоположном случае.

Проекцию вектора на оси координат обозначают той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом, показывающим, к какой оси относится проекция:

Если имеется только одна ось, то индекс у проекции вектора не пишется.

Во всех случаях, как бы ни был направлен вектор

координата х равна: х = х₀ + s_x,

координата у равна: у = у₀ + s_у,

поэтому, зная перемещение, а значит и его проекции на оси координат, можно найти координаты тела.

Если вектор

направлен так же, как ось Х, то проекция s_x положительна

(s_x =N₀N).

Если направление векторапротивоположно направлению оси координат, то проекция s_x отрицательна

(s_x = –N₀N).

ПРИМЕР:

Пусть тело движется так, что вектор перемещения всё время остаётся параллельным одной из координатных осей, например оси Х.

Тогда его проекция на ось Y будет равна нулю. Это означает, что координата у при движении не изменяется. Проекция же вектора перемещения

на ось Х по абсолютной величине равна длине самого вектора

Для случая, показанного на рисунке

она положительна, а для случая, показанного на рисунке

отрицательна.

Но в том и другом случае координата х определяется формулой:

х = х₀ + s_x

ЗАДАЧА

Турист шёл из точки, расположенной в 2 км к востоку и в 1 км к северу от перекрёстка дорог, и за 1 час прошёл такой путь, что его перемещение оказалось равным 5 км и направленным под углом 135° к направлению на восток. Определите местоположение туриста к исходу часа.

РЕШЕНИЕ:

Поместим начало координат у перекрёстка дорог и направим оси Х и Y соответственно на восток и на север.

Начальное положение туриста (точка А) задано координатами х₀ = 2 км и у₀ = 1 км. Из этой точки проведём под углом 135° к оси Х вектор перемещения

Надо найти координаты х и у точки В.

Спроецируем вектор

на оси Х и Y.

Проекции s_x и s_у вектора перемещения, как видно из рисунка, равны по абсолютной величине длинам катетов прямоугольного равнобедренного треугольника АВС. Обозначим катет треугольника через а, тогда согласно теореме Пифагора

а² + а² = s²,

или

2а² = s².

Отсюда

s_x = –а = –3,5 км,

s_у = а = 3,5 км.

Конечные координаты туриста мы найдём по формулам:

х = х₀ + s_x и у = у₀ + s_у

Подставив в эти формулы соответствующие значения, получим:

х = 2 км – 3,5 км = –1,5 км,

у = 1 км + 3,5 км = 4,5 км.

Перемещение при прямолинейном равномерном движении.

Для того чтобы найти положение тела в какой-то момент времени, нужно знать вектор перемещения, потому что именно он связан с изменением координат движущегося тела. Проекции вектора перемещения точки на координатные оси просто равны изменениям её координат. При движении тела вдоль прямой в одном направлении перемещение тела непрерывно возрастает. Чтобы найти перемещение за время t, надо знать, как быстро оно возрастает. Быстроту этого возрастания определяют отношением перемещения к значению промежутка времени t, в течении которого оно произошло. Это отношение называют скоростью движения и обозначают буквой v. Так как перемещение – величина векторная, а время – скалярная, то скорость тоже векторная величина:

Скоростью равномерного прямолинейного движения тела называют вектор, направленный так же, как перемещение тела, и равный по модулю отношению численных значений перемещения и промежутка времени, в течении которого это перемещение произошло.

Скорость, таким образом, показывает, какое перемещение тело совершает в единицу времени. Следовательно, для того чтобы найти перемещение тела за данное время t, надо знать его скорость

Тогда перемещение тела можно вычислить по формуле:

По формулам, написанным в векторной форме, вычисления вести нельзя. Ведь векторная величина имеет не только численное значение, но и направление. При вычислениях удобно пользоваться формулами, в которые входят не векторы, а их проекции на оси координат, так как над проекциями можно производить алгебраические действия.

При прямолинейном движении траекторией является прямая линия. Естественно поэтому направить координатную ось вдоль этой прямой. В этом случае при движении тела будет изменяться только одна координата, например координата х, если выбранную ось обозначить через Х. Вдоль этой оси будут направлены и вектор скорости, и вектор перемещения тела.

Так как векторы

равны, то равны и их проекции на ось Х, т. е.

Мы выбрали координатную ось Х так, чтобы она была направлена вдоль той прямой, по которой движется тело. В таком случае, как мы условились, индекс при проекциях векторов перемещения и скорости можно не ставить, так что вместо s_x и v_x можно писать s и v. Тогда

s = vt.

Теперь можно получить формулу для вычисления координаты тела x в любой момент времени. Известно, что

x = x₀ + s_x,

следовательно,

x = x₀ + vt.

Необходимо помнить, что в этой формуле v – это проекция вектора скорости. А она, как всякая проекция вектора, может быть положительной и отрицательной. Если вектор скорости направлен так же, как ось Х

то проекция его на ось Х положительна. Если же направление вектора скорости противоположно направлению оси Х

то его проекция на эту ось отрицательна. Координата начального положения тела тоже может быть положительной и отрицательной: в начальный момент времени тело может находиться и по одну и по другую сторону от начала отсчёта.

Так же эта формула позволяет найти положение тела (материальной точки) в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении. Для этого нужно знать начальную координату тела (точки) x₀ и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело (нужно, следовательно, знать вектор скорости!). эта формула показывает, какой смысл имеет величина <<скорость>>.

Если движение происходит вдоль оси Х, то проекция вектора скорости на эту ось равна

Но х – х₀ – это изменение координаты х, а t – время, за которое такое изменение произошло. Следовательно:

При прямолинейном равномерном движении проекция скорости тела на ось координат равна изменению координаты тела за единицу времени.

Можно сказать, что скорость показывает быстроту изменения координаты.

Когда тело движется вдоль оси, то по значению проекции его скорости на эту ось можно найти и сам вектор скорости. Ведь их абсолютные значения совпадают, а знак проекции определяет направление скорости. Поэтому в дальнейшем в таких случаях для краткости будем называть скоростью значение её проекции на ось. По тем же причинам проекцию перемещения будем называть перемещением.

Для решения задачи механики необходимо знать вектор скорости, а не его модуль. Спидометры, устанавливаемые в автомобилях, показывают именно модуль скорости. Им <<всё равно>>, куда движутся автомобили. По их показаниям поэтому нельзя определить ни направления движения автомобиля, ни его положения в любой момент времени.

ЗАДАЧА:

По дороге навстречу друг другу движутся два автомобиля: один со скоростью 60 км/час, другой – 90 км/час. У заправочной станции автомобили встретились и после этого продолжали свой путь.

Определить положение каждого автомобиля через 30 мин после встречи и расстояние между ними в этот момент.

РЕШЕНИЕ:

За начало координат примем заправочную станцию, а момент встречи автомобилей – за начало отсчёта времени. Координатную ось (обозначим её буквой Х) направим слева направо. Тогда координаты автомобилей через 0,5 час после встречи можно вычислить по формулам:

x₁ = х₀₁ + v₁t и x₂ = х₀₂ + v₂t

Начальные координаты х₀₁ и х₀₂ у обоих автомобилей равны нулю. Поэтому

x₁ = v₁t и x₂ = v₂t

Проекция v₁ скорости первого автомобиля положительна, потому что вектор его скорости направлен так же, как ось Х. Она равна v₁= +60 км/час. Проекция v₂ скорости второго автомобиля отрицательна, так как вектор его скорости направлен против положительного направления оси Х, так что v₂= –90 км/час.

Следовательно,