Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 6. Неравномерное прямолинейное движение

ВИДЕО УРОК

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением.

ПРИМЕР:

Привяжем к нити такой груз, чтобы тележка начала двигаться без толчка.

Падающие капли оставят следы, но уже не на равных расстояниях друг от друга. Это значит, что теперь тележка за равные промежутки времени проходит уже неодинаковые расстояния.

Неравномерно движется автомобиль при трогании с места или при торможении. Неравномерным является движение лыжника или санок с горы. Вообще, неравномерное движение в практике встречается гораздо чаще, чем равномерное.

При таком движении формулой

для вычисления перемещения пользоваться нельзя. Ведь скорость изменяется по времени и уже нельзя говорить о какой-то определённой скорости, значение которой можно было бы подставить в формулу.

Любое переменное движение можно свести к равномерному движению со скоростью, равной средней скорости неравномерного движения.

Средняя скорость тела при неравномерном движении.

В некоторых случаях, когда имеют дело с неравномерным движением, пользуются так называемой средней скоростью.

Поезда, пароходы, автомобили и самолёты между остановками движутся неравномерно, то есть в равные промежутки времени проходят неодинаковые пути. Однако мы говорим о скорости движения поезда, парохода, автомобиля и самолёта. О какой же скорости идёт здесь речь ?

Говоря о скорости неравномерного движения на каком-нибудь участке пути, имеют в виду среднюю скорость.

Если тело совершило некоторое перемещение

за промежуток времени t, то, разделив

на t, мы получим среднюю скорость:

Таким образом, средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело в среднем совершает за единицу времени.

Средней скоростью неравномерного движения называют скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при данном неравномерном движении.

ПРИМЕР:

Поезд проходит 600 км за 10 час, то значит, что в среднем он за каждый час проходит 60 км:

Но ясно, что какую-то часть времени поезд вовсе не двигался, а стоял на остановке; трогаясь со станции, поезд увеличивал свою скорость, приближаясь к ней – уменьшал её. Всё это при определении средней скорости не принимается во внимание и считается, что поезд каждый час проходит по 60 км, каждые полчаса – по 30 км и т. д. Пользуясь формулой

мы как бы считаем, что поезд совершает равномерное движение с постоянной скоростью, равной

хотя, быть может, за всё время движения не было ни одного такого часа, за который он прошёл бы именно 60 км. Но знание средней скорости позволяет определить перемещение по формуле:

При этом надо помнить, что эта формула даёт верный результат только для того участка траектории, для которого определена средняя скорость. Если, пользуясь значением средней скорости в 60 км/час, вычислять перемещение не за 10 час, а за 2, 4 или 5 час, то мы получим неверный результат. Это объясняется тем, что средняя скорость за время 10 час не равна средним скоростям за 2, 4 и 5 час.

Таким образом, при помощи понятия средней скорости основную
задачу механики – определить положение тела в любой момент времени – решить нельзя.

Всё же во многих случаях значение средней скорости может оказаться полезным.

ПРИМЕР:

Если туристам из их прежнего опыта или из опыта их товарищей известно, что по горной дороге можно продвигаться со средней скоростью 2 км/час, то они, собираясь в новый поход в горный район, могут воспользоваться этим, чтобы заранее определить место, куда они придут к исходу дня.

Часто, говоря о средней скорости, подразумевают не вектор

а скалярную величину, определяемую длиной пути, которую тело в среднем проходит за единицу времени:

Если тело не меняет направление своего движения, то эта средняя скорость совпадает с абсолютным значением вектора

Так как в этом случае

В случае, когда тело движется по сложной непрямолинейной траектории (например, автомобиль в городе), эти величины не совпадают. О какой величине идёт речь, обычно бывает ясно из условия задачи.

ПРИМЕР:

Когда диспетчер в гараже определяет, какой запас горючего необходим автомобилю на день, он пользуется формулой

Зная среднюю скорость автомобиля в городе, т. е. расстояние, которое он в среднем проходит за 1 час, можно определить длину пути, которую он пройдёт за определённое время, и, следовательно, необходимый запас горючего.

В данной задаче нельзя воспользоваться определением средней скорости как вектора: ведь перемещение

автомобиля за день равно нулю – он выехал из гаража а затем в него вернулся. Поэтому

ЗАДАЧА:

Электропоезд, отойдя от станции, первые s₁= 100 м пути проходит за время t₁ = 10 сек, а следующие s₁= 300 м – за время t₂= 15 сек. Определите среднюю скорость движения электропоезда при разгоне.

РЕШЕНИЕ:

Средняя скорость движения электропоезда определяется по формуле

ОТВЕТ: v_c= 16 м/сек.

Среднюю скорость нельзя определять как среднее арифметическое значений скоростей на отдельных участках пути. Последнее возможно лишь в том случае, когда время движения на отдельных участках с разными скоростями одинаково.

ЗАДАЧА:

Первую половину времени своего движения автомобиль перемещался со средней скоростью v₁ = 60 км/час, а вторую – со средней скоростью v₂ = 40 км/час. Определить среднюю скорость движения v_с автомобиля в пути.

РЕШЕНИЕ:

Средняя скорость движения автомобиля определяется по формуле

где s₁ – путь, пройденный автомобилем со скоростью v₁, s₂ – путь, пройденный автомобилем со скоростью v₂, t – время движения автомобиля. Пути s₁ и s₂ определяются по формулам

Значения путей s₁ и s₂ подставим в формулу средней скорости и найдём её численное значение:

ОТВЕТ: v_c= 50 км/час.

ПРИМЕР:

Велосипедист, двигаясь по шоссе, проехал 900 м со скоростью 15 м/сек, а потом, едучи плохой дорогой, – 400 м со скоростью 36 км/час. С какой средней скоростью он преодолел весь путь ?

РЕШЕНИЕ:

Средняя скорость неравномерного движения:

Время движения велосипедиста на первом участке:

Время движения велосипедиста на втором участке:

Единицы измерения очевидны.
Числовое значение:

ОТВЕТ: v_c= 13 м/сек.

Мгновенная скорость.

Мы сделали попытку свести неравномерное движение к равномерному движению и для этого ввели среднюю скорость движения. Но это нам не помогло: зная среднюю скорость, нельзя решать самую главную задачу механики – определять положение тела в любой момент времени. Можно ли каким-нибудь другим способом свести равномерное движение к равномерному ?

Этого сделать нельзя, потому что механическое движение – это процесс непрерывный. Непрерывность движения состоит в том, что если, например, тело (или точка), двигаясь прямолинейно с возрастающей скоростью, перешло из точки А в точку В, то оно непременно должно побывать во всех промежуточных точках, лежащих между А и В, без всяких пропусков. Но это ещё не всё.

ПРИМЕР:

Предположим, что, подходя к точке А, тело двигалось равномерно со скоростью 5 м/сек, а после прохождения точки В оно двигалось тоже равномерно, но со скоростью 30 м/сек. При этом на прохождение участка АВ тело потратило 15 сек. Следовательно, на отрезке АВ скорость тела за 15 сек изменилась на 25 м/сек. Но так же как тело при своём движении не могло миновать ни одну из точек на его пути, его скорость должна была принять все значения скорости между 5 м/сек и 30 м/сек. Тоже без всяких пропусков !

В этом и состоит непрерывность механического движения:

Ни координаты тела, ни его скорость не могут изменяться скачками.

Отсюда можно сделать очень важный вывод. Различных значений скорости в интервале от 5 м/сек до 30 м/сек имеется бесчисленное множество (в математике говорят бесконечно много значений). Но между точками А и В имеется и бесчисленное множество (бесконечно много!) точек, а 15-секундный интервал времени, в течении которого тело переместилось из точки А в точку В, состоит из бесчисленного множества промежутков времени (время тоже течёт без скачков!).

Следовательно, в каждой точке траектории движения и в каждый момент времени тело обладало определённой скоростью.

Скорость, которую имеет тело в данный момент времени или в данной точке траектории, называют мгновенной скоростью.

При равномерном прямолинейном движении скорость тела определяется отношением его перемещения к промежутку времени, за который совершено это перемещение. Что же означает скорость в данной точке или в данный момент времени ?

ПРИМЕР:

Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы имеем в виду какую-то определённую точку этого тела) движется прямолинейно и поступательно, но не равномерно. Как вычислить его мгновенную скорость в некоторой точке А его траектории ? Выделим небольшой участок l на этой траектории, включающий точку А.

Малое перемещение тела на этом участке обозначим через

а малый промежуток времени, в течении которого оно совершено, через

Разделив

мы получим среднюю скорость на этом участке: ведь скорость изменяется непрерывно и в разных местах участка 1 она различна.

Уменьшим теперь длину участка 1. Выберем участок 2 (смотрите рисунок), тоже включающий в себя точку А. На этом меньшем участке перемещение равно

и проходит его тело за промежуток времени

Ясно, что на участке 2 скорость тела успевает измениться на меньшую величину. Но отношение

даёт нам и для этого меньшего участка всё же среднюю скорость. Ещё меньше изменении скорости на протяжении участка 3 (также включающего в себя точку А), меньшего, чем участки 1 и 2, хотя разделив перемещение

мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории. Будем постоянно уменьшать длину участка, а вместе с ним и промежуток времени, за который тело проходит этот участок. В конце концов мы стянем траектории, примыкающей к точке А, в саму точку А, а промежуток времени – в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью, потому что на достаточно малом участке изменение скорости будет настолько мало, что его можно не учитывать, значит, можно считать, что скорость не изменяется.

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению достаточного малого перемещения на малом участке траектории, примыкающем к этой точке, к малому промежутку времени, в течении которого совершается это перемещение.

Понятно, что скорость равномерного прямолинейного движения – это одновременно его мгновенная и средняя скорость.

Мгновенная скорость – величина векторная.

Её направление совпадает с направлением перемещения (движения) в данной точке.

Приём, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории и время, в течении которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки, промежуток времени – от момента времени, а неравномерное движение – от равномерного. Таким приёмом всегда пользуются, когда изучают явления, в которых играют роль какие-нибудь непрерывно изменяющиеся величины.

Задания к уроку 6