Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 15 декабря 2018 г.

Урок 2. Правило суми і правило добутку

ВИДЕО УРОК
Правило суми і правило добутку в комбінаториці називають основними правилами комбінаторики.

Правило суми (правило  <<ИЛИ>>).

Якщо деякий об'єкт  А  можна вибрати  m  способами, а об'єкт  В – іншими  n  способами, причому вибори об'єктів  А  і  В  несумісні, то вибір  "А  або  В"  можна виконати  m + n  способами.

Або:

Якщо дві дії  А  і  В  взаємно виключають один одного, причому дія  А  можна виконати  m  способами, а  Вn  способами, то  виконати одно будь-яке з цих дій (або  А, або  В) можна  m + n  способами. 

Іншими словами:

Якщо в умові завдання звучить  "ИЛИ", то вибираємо правило суми
Закон суми використовується тоді, коли треба вибрати тільки один елемент.

Кортеж – кінцева послідовність (що допускає повторення) елементів якої-небудь великої кількості.

ЗАДАЧА:

Учень повинен виконати практичну роботу по математиці. Йому запропонували на вибір  17  тем по алгебрі і  13  тем по геометрії. Скількома способами він може вибрати одну тему для практичної роботи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За правилом суми отримаємо:

17 + 13 = 30.

ВІДПОВІДЬ:  30 варіантів.

ЗАДАЧА:

Йдучи на змагання, спортсмен одягає або майку, або футболку.
Скільки варіантів вибору майки або футболки у нього є, якщо його мама попрала 
3  майки і  4  футболки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуємося правилом суми.
Припустимо, що в шафі на одній полиці лежить  3  майки, а на іншій – 4  футболки. Довільно з якої-небудь полиці беремо тільки одну річ. З першої полиці узяти одну річ можна тільки трьома різними способами, а з іншої – чотирма способами. Тоді узяти одну яку-небудь з названих речей можна

3 + 4 = 7

різними способами.

ВІДПОВІДЬ:  7 варіантів.

ЗАДАЧА:

Нехай в одному ящику є  m  кульок, а в другому ящику – n  кульок. Скількома способами можна витягнути одну кульку з одного з цих ящиків ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Очевидно, що  ОДНУ  кульку можна дістати

m + n

способами.

ВІДПОВІДЬ:  m + n

Правило добутку (правило  <<І>>).

Цей метод рішення комбінаторних завдань застосовується, коли не вимагається перераховувати усі можливі варіанти, а треба відповісти на питання – скільки їх існує.

Щоб знайти кількість усіх комбінацій з  n  елементів, треба помножити всі натуральні числа, починаючи з числа  n  і закінчуючи числом  1.   

Якщо деякий об'єкт  А  можна вибрати  m  способами, і після кожного такого вибору інший об'єкт  В  можна вибрати (незалежно від вибору об'єкту  А)  n  способами, то пари об'єктів  А  і  В  можна вибрати  m × n  способами.

Або:

Нехай вимагається виконати послідовно  k  дій. Якщо першу дію можна виконати  n1  способами, друга дія  n2  способами, третє – n3  способами і так до  k – і дії, яку  можна виконати  nk  способами, то все  k  дій разом можуть бути виконані:

N = n1 × n2 ×× nk

Правило добутку формулюють також в іншій формі:

Якщо при складанні комбінації з двох елементів виду  (a, b)   перший елемент можна вибрати  n  способами, а потім другий – m  способами, то різних комбінацій виду  (a, b)  можна вибрати  m × n  способами.

Іншими словами:

Якщо в умові завдання звучить  "И", то вибираємо правило добутку
ЗАДАЧА:

У фінал змагань зі стрибків у довжину вийшли Олег, Ігор, Максим і Дмитро. Скількома способами можуть розподілитися перші  4  місця у цих змаганнях ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перше місце може вибороти один із чотирьох хлопчиків. Тоді друге місце – один із трьох хлопчиків, що залишились, трете місце – один із двох хлопчиків, що залишились, а четверте – лише один хлопчик. Отже, всіх можливих варіантів:

4 × 3 × 2 × 1 = 24.

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Цех по виготовленню головних уборів начал випуск трьох нових моделей, для яких був закуплений фетр чотирьох кольорів.
Скільки видів різних капелюхів може виготовити цех
?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для кожної з трьох моделей можна використати кожного з чотирьох кольорів. За правилом множення кількість різних видів буде:

3 × 4 = 12.

Для ілюстрації можна скласти таблицю:
ВІДПОВІДЬ:  12.

ЗАДАЧА:

Палітурник повинен переплести  12  різних книг в червоний, зелений і коричневі палітурки. Скількома способами він може це зробити ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Є  12  книг і  3  кольори, означає за правилом добутку можливо

12 × 3 = 36 

варіантів палітурки.

ВІДПОВІДЬ:  36.

ЗАДАЧА:

У магазині  <<Все для чаю>>  є  6  різних чашок і  4  різні блюдця. Скільки варіантів чашки і блюдця можна купити ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Чашку ми можемо вибрати  6-у способами, а блюдце  4  способами. Оскільки нам потрібно купити парі чашку і блюдце, то це можна зробити

6 × 4 = 24  

способами (за правилом добутку).

ВІДПОВІДЬ:  24.

ЗАДАЧА:

Скільки чисел можна скласти з цифр

0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,

якщо число має бути двозначним ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Можна скласти  90  чисел – першу цифру числа можемо вибрати  9  способами, оскільки число не може розпочинатися з нуля. Другу цифру числа можемо вибрати  10  способами, оскільки у нас є  10  цифр. Разом виходить:

9 ∙ 10 = 90.

ВІДПОВІДЬ:  90

ЗАДАЧА:

Скільки тризначних чисел можна записати за допомогою цифр

0,  3,  5,  7,  8,  9 ?

Цифри в записі чисел не повторюються.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На першому місці повинен стояти запис будь-якої з цифр

3,  5,  7,  8,  9  – всього  5  способів.

На другому – знову яка-небудь з  5  (серед них може вже бути цифра  0).

На третьому будь-яка з  4, що залишилися після запису перших двох цифр числа.

Всього

5 ∙ 5 ∙ 4 = 100

різних способів тризначних чисел.

ВІДПОВІДЬ:  100

ЗАДАЧА:

Прямого повідомлення між містами  А  і  В  немає. Турист може потрапити з  А  у  В  або через місто  С, або через місто  D. З  А  в  С  є два різні шляхи, а з  А  до  D – три. Із  С  до  В  можна потрапити трьома різними дорогами, а з  D  до  В – двома. Скільки різних варіантів вибору шляху з  А  до  В  є у туриста ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Робимо графічний малюнок:
Якщо йти з  А  у  В  через  С, то шлях можна вибрати

2 ∙ 3 = 6

способами.

Якщо йти з  А  у  В  через  D, то для вибору шляху є

3 ∙ 2 = 6

способів.

Тоді різних варіантів вибору шляху всього

6 + 6 = 12.

Можна не виконуючи жодного правила, визначити кількість варіантів вибору шляху просто, провівши олівцем по лініях.

ВІДПОВІДЬ:  12

Завдання до уроку 2

Комментариев нет:

Отправить комментарий