Урок 5. Сполучення

суббота, 15 декабря 2018 г.

Урок 5. Сполучення

ВИДЕО УРОК

Сполучення.

Нехай є n різних об'єктів. Щоб знайти число поєднань з n об'єктів по m, вибиратимемо комбінацію з m об'єктів всілякими способами, при цьому звертатимемо увагу на різний склад комбінацій, але не порядок (він тут не важливий, у відмінності від розміщень).

Число усіх виборів m елементів з n даних, без урахування порядку, називають числом поєднань з n елементів по m.

Сполученнями називають різні комбінації з m об'єктів, які вибрані з безлічі n різних об'єктів, і які відрізняються один від одного хоч би одним об'єктом.

Іншими словами, окремо взяте сполучення – це унікальна вибірка з m елементів, в якій не важливий їх порядок (розташування).

Неврегульовані вибірки називаються сполученнями з n елементів по m і позначаються

Число сполучень визначається по формулі:

Сполучення з n елементів по 2.

Число усіх виборів двох елементів з n без урахування їх порядку, називається числом сполучень з n елементів по 2.

Сполучення не залежить від порядку елементів, що входять в нього. Для однакових початкових множин з n елементів і однакових об'ємів вибірок (по m елементів) число сполучень має бути менше, ніж число розміщень. Адже при підрахунку розміщень для кожної вибраної групи ми ще враховуємо усі перестановки вибраних m елементів, а при підрахунку сполучень перестановки не враховуємо:

Схема для вирішення комбінаторних завдань на сполучення.

Перед рішенням задачі на обчислення цього виду сполучень пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду сполучення згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду сполучень.

Як видно з схеми, вибір формули залежить від того, чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні сполучень або ні, і чи важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову завдання і відповісти на ці два головні питання.

ПРИКЛАД:

Є три об'єкти (1, 2, 3). Складаємо сполучення по 2 об'єкти в кожному. Тоді вибірки (1, 2) і (2, 1) – це одно і теж сполучення (оскільки комбінації відрізняються лише порядком). А всього різних сполучень з 3 об'єктів по 2 буде три:

(1, 2), (1, 3), (2, 3).

На картинці наочно проілюстровано отримання усіх можливих сполучень з 4 різних об'єктів по 2 (їх буде 6).

ЗАДАЧА:

Скількома способами можна розставити 15 томів на книжковій полиці, якщо вибирати їх з наявних зовні невиразних 30-ти книг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порядок дотримання на полиці 15-ти вибраних зовні однакових книг не має значення. Треба визначити загальне число сполучень на 30 елементів по 15 по формулі:

ВІДПОВІДЬ: 155117520.

ЗАДАЧА:

У студентській групі 23 людини. Скількома способами можна вибрати старосту і його заступника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

способами можна вибрати двох чоловік з групи і

Р₂ = 2! = 2

способами розподілити посади в кожній вибірці. Таким чином, старосту і його заступника можна вибрати

ВІДПОВІДЬ: 506.

Сполучення з повтореннями.

Нехай є предмети n видів і з них складається набір, що містить m елементів. Два такі набори вважаються однаковими тоді і тільки тоді, коли мають однаковий склад. Такі набори називаються сполученнями з повтореннями з n елементів по m. Число сполучень з повтореннями з n елементів по m позначається

Характерна особливість цього виду комбінацій полягає в тому, що вибірка проводиться з декількох груп, кожна з яких складається з однакових об'єктів.

Формула кількості сполучень з повтореннями:

Схема для вирішення комбінаторних завдань на сполучення з повтореннями.

ЗАДАЧА:

У студентській їдальні продають сосиски в тісті, ватрушки і пампушки. Скількома способами можна придбати п'ять пиріжків ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зверніть увагу на типовий критерій сполучень з повтореннями – по умові на вибір запропонована не безліч об'єктів як таке, а різні види об'єктів, при цьому передбачається, що у продажу є не менше 5 хотдогів, 5 ватрушок і 5 пампушок. Пиріжки в кожній групі відрізняються, а сосиски в тісті, ватрушки і пампушки у своїх групах вважаються однаковими.

Що може бути у вибірці ? Передусім, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (т. до. вибираємо 5 штук, а на вибір запропонований 3 види). Варіанти тут на будь-який смак:

5 в тісті, 5 ватрушок, 5 пампушок, 3 сосиски в тісті + 2 ватрушки, 1 сосиска в тісті + 2 ватрушки + 2 пампушки і т. д.

Як і при звичайних сполученнях, порядок вибору і розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали 5 штук і все.

Використовуємо формулу кількості сполучень з повтореннями:

ВІДПОВІДЬ: 21.

ЗАДАЧА:

Скільки існує чотиризначних пін-кодів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут досить знань правил комбінаторики:

способами можна вибрати першу цифру пін-кода,

способами – другу цифру пін-кода і стількома ж способами – третю і стількома ж – четвертую. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти:

ВІДПОВІДЬ: 10000.

Сполучення в теорії ймовірностей.

У теорії ймовірностей завдання на сполучення зустрічаються найчастіше, тому що угрупування без порядку дотримання важливіше саме для невиразних елементів. Якщо якісь елементи істотно розрізняються між собою, їх важко вибрати випадково, є орієнтири для невипадкового вибору.

ЗАДАЧА:

На книжковій полиці знаходиться зібрання творів одного автора в 6 томах. Книги однаково оформлені і розташовані в довільному порядку. Читач бере навмання 3 книги. Яка ймовірність того, що він узяв перші три томи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Подія А – у читача перших три томи. Це 1-й, 2-й і 3-й томи. Без урахування порядку, в якому він вибирав книги, а тільки по кінцевому результату, він міг узяти їх одним способом. Число сприяючих елементарних подій – 1.

Загальне число можливих елементарних подій дорівнює числу груп з 6-ти по 3, утворених без урахування порядку дотримання елементів в групі, т. е. дорівнює числу сполучень:

ВІДПОВІДЬ: 0,05

Завдання до уроку 5

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 15 декабря 2018 г.