Урок 5. Сполучення

ВИДЕО УРОК

Сполучення.

Нехай є  n  різних об'єктів. Щоб знайти число поєднань з  n  об'єктів по  m, вибиратимемо комбінацію з  m  об'єктів всілякими способами, при цьому звертатимемо увагу на різний склад комбінацій, але не порядок (він тут не важливий, у відмінності від розміщень).

Число усіх виборів  m  елементів з  n  даних, без урахування порядку, називають числом поєднань з  n  елементів по  m.

Сполученнями називають різні комбінації з  m  об'єктів, які вибрані з безлічі  n  різних об'єктів, і які відрізняються один від одного хоч би одним об'єктом.

Іншими словами, окремо взяте сполучення – це унікальна вибірка з  m  елементів, в якій не важливий їх порядок (розташування).

Неврегульовані вибірки називаються сполученнями з  n  елементів по  m  і позначаються

Число сполучень визначається по формулі:

Сполучення з  n  елементів по  2.

Число усіх виборів двох елементів з  n  без урахування їх порядку, називається числом сполучень з  n  елементів по  2.

Сполучення не залежить від порядку елементів, що входять в нього. Для однакових початкових множин з  n  елементів і однакових об'ємів вибірок (по  m  елементів) число сполучень має бути менше, ніж число розміщень. Адже при підрахунку розміщень для кожної вибраної групи ми ще враховуємо усі перестановки вибраних  m  елементів, а при підрахунку сполучень перестановки не враховуємо:

Схема для вирішення комбінаторних завдань на сполучення.

Перед рішенням задачі на обчислення цього виду сполучень пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду сполучення згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду сполучень.

Як видно з схеми, вибір формули залежить від того, чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні сполучень або ні, і чи важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову завдання і відповісти на ці два головні питання.

ПРИКЛАД:

Є три об'єкти (1, 2, 3). Складаємо сполучення по  2  об'єкти в кожному. Тоді вибірки (1, 2)  і   (2, 1) – це одно і теж сполучення (оскільки комбінації відрізняються лише порядком). А всього різних сполучень з  3  об'єктів по  2  буде три:

(1, 2),  (1, 3),  (2, 3).

На картинці наочно проілюстровано отримання усіх можливих сполучень з  4  різних об'єктів по  2  (їх буде  6).

ЗАДАЧА:

Скількома способами можна розставити  15  томів на книжковій полиці, якщо вибирати їх з наявних зовні невиразних  30-ти  книг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порядок дотримання на полиці  15-ти  вибраних зовні однакових книг не має значення. Треба визначити загальне число сполучень на  30  елементів по  15  по формулі:

ВІДПОВІДЬ:  155117520.

ЗАДАЧА: 

У студентській групі  23  людини. Скількома способами можна вибрати старосту і його заступника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

способами можна вибрати двох чоловік з групи і

Р₂ = 2! = 2 

способами розподілити посади в кожній вибірці. Таким чином, старосту і його заступника можна вибрати

ВІДПОВІДЬ:  506.

Сполучення з повтореннями.

Нехай є предмети  n  видів і з них складається набір, що містить  m  елементів. Два такі набори вважаються однаковими тоді і тільки тоді, коли мають однаковий склад. Такі набори називаються сполученнями з повтореннями з  n  елементів по  m.  Число сполучень з повтореннями з  n  елементів по  m  позначається

Характерна особливість цього виду комбінацій полягає в тому, що вибірка проводиться з декількох груп, кожна з яких складається з однакових об'єктів.

Формула кількості сполучень з повтореннями:

Схема для вирішення комбінаторних завдань на сполучення з повтореннями.

Перед рішенням задачі на обчислення цього виду сполучень пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду сполучення згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду сполучень.

Як видно з схеми, вибір формули залежить від того, чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні сполучень або ні, і чи важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову завдання і відповісти на ці два головні питання.

ЗАДАЧА:

У студентській їдальні продають сосиски в тісті, ватрушки і пампушки. Скількома способами можна придбати п'ять пиріжків ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зверніть увагу на типовий критерій сполучень з повтореннями – по умові на вибір запропонована не безліч об'єктів як таке, а різні види об'єктів, при цьому передбачається, що у продажу є не менше  5  хотдогів, 5  ватрушок і  5  пампушок. Пиріжки в кожній групі відрізняються, а сосиски в тісті, ватрушки і пампушки у своїх групах вважаються однаковими.

Що може бути у вибірці ? Передусім, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (т. до. вибираємо  5  штук, а на вибір запропонований  3  види). Варіанти тут на будь-який смак:

5  в тісті, 5  ватрушок, 5  пампушок, 3  сосиски в тісті + 2  ватрушки, 1  сосиска в тісті + 2  ватрушки + 2  пампушки і т. д.

Як і при звичайних сполученнях, порядок вибору і розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали  5  штук і все.

Використовуємо формулу кількості сполучень з повтореннями:

ВІДПОВІДЬ:  21.

ЗАДАЧА:

Скільки існує чотиризначних пін-кодів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут досить знань правил комбінаторики:

способами можна вибрати першу цифру пін-кода,

способами – другу цифру пін-кода і стількома ж способами – третю і стількома ж – четвертую. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти:

ВІДПОВІДЬ:  10000.

Сполучення в теорії ймовірностей.

У теорії ймовірностей завдання на сполучення зустрічаються найчастіше, тому що угрупування без порядку дотримання важливіше саме для невиразних елементів. Якщо якісь елементи істотно розрізняються між собою, їх важко вибрати випадково, є орієнтири для невипадкового вибору.

ЗАДАЧА:

На книжковій полиці знаходиться зібрання творів одного автора в  6  томах. Книги однаково оформлені і розташовані в довільному порядку. Читач бере навмання  3  книги.  Яка ймовірність того, що він узяв перші три томи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Подія  А – у читача перших три томи. Це  1-й, 2-й  і  3-й  томи. Без урахування порядку, в якому він вибирав книги, а тільки по кінцевому результату, він міг узяти їх одним способом. Число сприяючих елементарних подій – 1.

Загальне число можливих елементарних подій дорівнює числу груп з  6-ти по  3, утворених без урахування порядку дотримання елементів в групі, т. е. дорівнює числу сполучень:

ВІДПОВІДЬ:  0,05

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прості методи рішення комбінаторних завдань
• Урок 2. Правило суми і правило добутку
• Урок 3. Перестановки
• Урок 4. Розміщення