Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 15 декабря 2018 г.

Урок 4. Розміщення

ВИДЕО УРОК
Розміщення.

Нехай є  n  різних об'єктів. Вибиратимемо з них  m  об'єктів і переставляти усіма можливими способами між собою (тобто міняється і склад вибраних об'єктів, і їх порядок). Комбінації, що вийшли, називаються розміщеннями з  n  об'єктів по  m.
Якщо в розміщенні переставити місцями елементи, то вийде інше розміщення.

Розміщеннями називають різні комбінації з  m  об'єктів, які вибрані з безлічі  n  різних об'єктів, і які відрізняються один від одного як складом об'єктів у вибірці, так і їх порядком.

Кількість розміщень розраховується по формулі:

Або

Розміщеннями з  n  елементів по  m   (місць) називаються такі вибірки, які маючи по  m  елементів, вибраних з числа даних  n  елементів, відрізняються одна від одної або складом елементів, або порядком їх розташування.

Число розміщень з  n  по  m  позначається
і визначається по формулі
Якщо ви вже знайомі з поєднаннями, то легко помітити, що щоб знайти розміщення, потрібно узяти усі можливі поєднання, а потім в кожному ще поміняти порядок усіма можливими способами (тобто фактично зробити ще перестановки). Тому число розміщень ще виражається через число поєднань так:
Вийшла така формула, що об'єднує три формули комбінаторики (три концепції: розміщень, поєднань і перестановок).
Вичислимо
тобто число розміщень з  n  по  n.
Таким чином:
Нічого дивовижного в тому, що число розміщень з  n  по  n  виявилося рівним числу перестановок  n  елементів, оскільки ми використали для складання розміщень усю безліч елементів, тобто вони вже не можуть відрізнятися один від одного складом елементів, тільки порядком їх розташування, а це і є перестановки.

Схема для вирішення комбінаторних завдань на розміщення.

Перед рішенням задачі на обчислення цього виду поєднань пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду поєднання згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду поєднань.
Як видно з схеми, вибір формули залежить від того, чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні поєднань або ні, і чи важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову завдання і відповісти на ці два головні питання.

Розміщення з  n  елементів по  2.

Число усіх виборів двох елементів з  n  з урахуванням їх порядку, називається числом їх розміщень з  n  елементів по  2.
Розміщення з  n  елементів по  2.
Приклад усіх розміщень з  n = 3  об'єктів (різних фруктів) в групи по  m = 2  з урахуванням порядку – на картинці.
Згідно з формулою, їх має бути рівне:
Число усіх виборів  m  елементів з  n  даних з урахуванням їх порядку називають числом розміщень з  n  елементів по  m.

ЗАДАЧА:

У студентській групі  23  людини. Скількома способами можна вибрати старосту і його заступника ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Розміщення з повтореннями.

Класичним завданням комбінаторики є завдання про число розміщень з повтореннями, зміст якої можна виразити питанням:

Скількома способами можна вибрати і розмістити по  m  різним місцям  m  з  n  предметів, серед яких однакові ?

Але по іншому:

З множини, що складається з  n  елементів, вибирається  m  елементів, при цьому важливий порядок елементів в кожній вибірці.

Формула кількості розміщень з повтореннями:
Схема для вирішення комбінаторних завдань на розміщення з повтореннями.

Перед рішенням задачі на обчислення цього виду поєднань пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду поєднання згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду поєднань.
Як видно з схеми, вибір формули залежить від того, чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні поєднань або ні, і чи важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову завдання і відповісти на ці два головні питання.

ЗАДАЧА:

У хлопчика залишилося від набору для настільної гри штампи з цифрами  1, 3  і  7. Він вирішив за допомогою цих штампів нанести на усі книги п'ятизначні номери – скласти каталог. Скільки різних п'ятизначних номерів може скласти хлопчик ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Можна вважати, що досвід полягає в  5-кратному виборі з поверненням однієї з  3  цифр (1, 3, 7). Таким чином, число п'ятизначних номерів визначається числом розміщень з повтореннями з  3  елементів по  5.
ВІДПОВІДЬ: 243

ЗАДАЧА:

Скільки існує чотиризначних пін-кодів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За допомогою формули. По умові запропонований набір з  n = 10  цифр, з якого вибираються  m = 4  цифри і розташовуються в певному порядку, при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (т. е. будь-якою цифрою початкового набору можна користуватися довільна кількість разів). По формулі кількості розміщень з повтореннями:
ВІДПОВІДЬ:  10000.

ЗАДАЧА:

Згідно з державним стандартом, автомобільний номерний знак складається з  3  цифр і  3  букв. При цьому недопустимий номер з трьома нулями, а букви вибираються з набору

А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.

(використовуються тільки ті букви кирилиця, написання якої співпадає з латинськими буквами)
Скільки різних номерних знаків можна скласти для регіону ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
способами можна скласти цифрову комбінацію автомобільного номера, при цьому одну з них (000) слід виключити:
способами можна скласти буквену комбінацію автомобільного номера.
За правилом добутку комбінацій, усього можна скласти
автомобільних номери.
(кожна цифрова комбінація поєднується з кожною буквеною комбінацією)

ВІДПОВІДЬ:  1726272.

Розміщення у теорії ймовірностей.

У теорії ймовірностей завдання на розміщення зустрічаються дещо рідше, ніж завдання на інші типи вибірок, оскільки розміщення мають більше розпізнавальних ознак – і порядок, і склад елементів, а значить менше схильні до випадкового вибору.

ЗАДАЧА:

На книжковій полиці знаходиться зібрання творів одного автора в  6  томах. Книги однакового формату розташовані в довільному порядку. Читач не дивлячись, бере  3  книги. Яка ймовірність того, що він узяв перші три томи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Подія  А – у читача перші три томи. З урахуванням порядку вибору він міг узяти їх  6-у  способами. (Це перестановки з  3-ех  елементів 

Р3 = 3! = 1×2×3 = 6,

які легко перерахувати  123, 132, 213, 231, 312, 321). Таким чином, число сприяючих елементарних подій дорівнює  6. Загальне число можливих елементарних подій дорівнює числу розміщень з  6-ти  по  3, т. е.
ВІДПОВІДЬ:  0,05

Завдання до уроку 4

Комментариев нет:

Отправить комментарий