ВИДЕО УРОК
Розміщення.
Нехай є n різних об'єктів. Вибиратимемо з них m об'єктів і переставляти усіма можливими
способами між собою (тобто міняється і склад вибраних об'єктів, і їх порядок).
Комбінації, що вийшли, називаються розміщеннями з n об'єктів по
m.
Якщо в розміщенні
переставити місцями елементи, то вийде інше розміщення.
Розміщеннями називають різні комбінації з m об'єктів, які вибрані з безлічі n різних об'єктів, і які відрізняються один від одного як складом об'єктів у вибірці, так і їх порядком.
Кількість розміщень
розраховується по формулі:
Або
Розміщеннями з n елементів по m (місць) називаються такі вибірки, які маючи по m елементів, вибраних з числа даних n елементів, відрізняються одна від одної або складом елементів, або порядком їх розташування.
Число розміщень з n по m позначається
Вийшла така формула, що об'єднує три формули комбінаторики
(три концепції: розміщень, поєднань і перестановок).
Вичислимо
Нічого дивовижного в тому, що число розміщень з n по n виявилося рівним числу перестановок n елементів, оскільки ми використали для
складання розміщень усю безліч елементів, тобто вони вже не можуть відрізнятися
один від одного складом елементів, тільки порядком їх розташування, а це і є
перестановки.
Схема для вирішення комбінаторних завдань на розміщення.
Перед рішенням задачі на обчислення цього виду поєднань пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду поєднання згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду поєднань.
Як видно з схеми, вибір формули залежить від того,
чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні поєднань або ні, і чи
важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову
завдання і відповісти на ці два головні питання.
Розміщення з n елементів по 2.
Число усіх виборів двох елементів з n з урахуванням їх порядку, називається числом їх розміщень з n елементів по 2.
Число усіх виборів m елементів з
n даних з урахуванням їх порядку називають
числом розміщень з n елементів по
m.
ЗАДАЧА:
У студентській групі 23 людини. Скількома способами можна вибрати старосту і його заступника ?
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Розміщення з повтореннями.
Класичним завданням комбінаторики є завдання про число розміщень з повтореннями, зміст якої можна виразити питанням:
Скількома способами можна вибрати і розмістити по m різним місцям m з n предметів, серед яких однакові ?
Але по іншому:
З множини, що складається з n елементів, вибирається m елементів, при цьому важливий порядок елементів в кожній вибірці.
Формула кількості розміщень з повтореннями:
Схема для вирішення комбінаторних завдань на розміщення з
повтореннями.
Перед рішенням задачі на обчислення цього виду поєднань пропонується схема сприяюча правильному виявленню виду поєднання згідно з умовою завдання. При цьому враховуються характеристичні властивості кожного виду поєднань.
Як видно з схеми, вибір формули залежить від того,
чи будуть усі елементи використовуватися у формуванні поєднань або ні, і чи
важливий їх порядок. Застосовуючи таку схему, завжди можна проаналізувати умову
завдання і відповісти на ці два головні питання.
ЗАДАЧА:
У хлопчика залишилося від набору для настільної гри штампи з цифрами 1, 3 і 7. Він вирішив за допомогою цих штампів нанести на усі книги п'ятизначні номери – скласти каталог. Скільки різних п'ятизначних номерів може скласти хлопчик ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Можна вважати, що досвід полягає в 5-кратному виборі з поверненням однієї з 3 цифр (1, 3, 7). Таким чином, число п'ятизначних номерів визначається числом розміщень з повтореннями з 3 елементів по 5.
ВІДПОВІДЬ:
243
ЗАДАЧА:
Скільки існує чотиризначних пін-кодів ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
За допомогою формули. По умові запропонований набір з n = 10 цифр, з якого вибираються m = 4 цифри і розташовуються в певному порядку, при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (т. е. будь-якою цифрою початкового набору можна користуватися довільна кількість разів). По формулі кількості розміщень з повтореннями:
ВІДПОВІДЬ: 10000.
ЗАДАЧА:
Згідно з державним стандартом, автомобільний номерний знак складається з 3 цифр і 3 букв. При цьому недопустимий номер з трьома нулями, а букви вибираються з набору
А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.
(використовуються тільки ті букви кирилиця, написання якої співпадає з латинськими буквами).
Скільки різних номерних знаків можна скласти для регіону ?
способами
можна скласти буквену комбінацію автомобільного номера.
За правилом добутку
комбінацій, усього можна скласти
автомобільних
номери.
(кожна цифрова комбінація
поєднується з кожною буквеною комбінацією)
ВІДПОВІДЬ: 1726272.
Розміщення у теорії ймовірностей.
У теорії ймовірностей завдання на розміщення зустрічаються дещо рідше, ніж завдання на інші типи вибірок, оскільки розміщення мають більше розпізнавальних ознак – і порядок, і склад елементів, а значить менше схильні до випадкового вибору.
ЗАДАЧА:
На книжковій полиці знаходиться зібрання творів одного автора в 6 томах. Книги однакового формату розташовані в довільному порядку. Читач не дивлячись, бере 3 книги. Яка ймовірність того, що він узяв перші три томи ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Подія А – у читача перші три томи. З урахуванням порядку вибору він міг узяти їх 6-у способами. (Це перестановки з 3-ех елементів
Р3 = 3! = 1×2×3 = 6,
які легко перерахувати 123, 132, 213, 231, 312, 321). Таким чином, число сприяючих елементарних подій дорівнює 6. Загальне число можливих елементарних подій дорівнює числу розміщень з 6-ти по 3, т. е.
Завдання до уроку 4
Комментариев нет:
Отправить комментарий