Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 10. Приклади прямолінійного рівноприскореного руху

ВИДЕО УРОК

Вільне падіння тіл.

Часткою випадком рівноприскореного руху без початкової швидкості є вільне падіння.

Вільним падінням називається рухи тіла тільки під дією сили тяжіння із стану спокою.

Тіла, що вільно падають, рухаються рівноприскорено.

Виміри показали, що це прискорення рівне 9,8 м/сек².

Прискорення вільного падіння однакове для усіх тел.

Що означає вільне падіння ?

ПРИКЛАД:

Якщо узяти сталеву кулю, футбольний м'яч, розгорнуту газету, пташине перо і усі ці різнорідні предмети скинути з висоти в декілька метрів і тим або іншим способом виміряти їх прискорення, то ми побачимо, що прискорення цих тіл різні. Але це пояснюється лише тим, що на шляху до землі тілам доводиться проходити крізь повітря, яке заважає їх руху. Якби тіла падали в трубі, з якої повітря видалене, то їх прискорення виявилися б однаковими. Такий досвід можна провести за допомогою товстостінної скляної трубки завдовжки близько 1 м, один кінець якої запаяний, а інший забезпечений краном.

Помістимо в трубку три різні предмети, наприклад: дробинку, пробку і пташине перо. Потім швидко перевернемо трубку. усі три тіла впадуть на дно трубки, новий різний час: спочатку дробинка, потім пробка і, нарешті перо. Але це у тому випадку, коли в трубці є повітря. Коштує тільки повітря відкачати насосом

і, закривши після відкачування кран, знову перевернути трубку,

ми побачимо, що усі три тіла впадуть одночасно. Отже, у вакуумі усі тіла падають з однаковим прискоренням.

Тільки таке падіння у вакуумі, падіння, якому ніщо не заважає, ми і називаємо вільним падінням.

Вільне падіння – це падіння у безповітряному просторі.

Слід мати зважаючи на, що прискорення тіла, що падає, не зміниться, якщо ми штовхнемо його вниз, повідомивши йому початкову швидкість v₀. Тільки наростання швидкості почнеться не від нульового значення, а від значення v₀.

При розгляді руху тіла, що вільно падає, за початок відліку зручно вибрати ту точку, з якої починається падіння, а координатну вісь направити у напрямі руху, т. е. по вертикалі вниз.

В цьому випадку напрями векторів переміщення, швидкості і прискорення співпадають, а їх проекції на вісь координат дорівнюють модулям самих векторів.

Формули для швидкості і переміщення тіла, що вільно падає, нічим не відрізняються від формул, отриманих для прямолінійного рівноприскореного руху. Але щоб відрізняти вільне падіння від всякого іншого прямолінійного рівноприскореного руху, прийнято означати модуль прискорення вільного падіння буквою g,

а модуль переміщення буквою h. Маючи на увазі цю заміну букв, приведемо формули, що описують рух тіла, що вільно падає.

1. Швидкість тіла у будь-який момент часу виразиться формулою

де v₀ – швидкість тіла в мить, коли починається відлік часу. Якщо у цей момент тіло покоїлося, то

2. Швидкість тіла у будь-якій точці траєкторії після проходження відстані h від початку відліку відстаней визначається вираженням

Якщо падіння починається із стану спокою (v₀ = 0), то

3. Модуль переміщення тіла, що падає, за час t знаходиться по формулі

Якщо початкова швидкість v₀ = 0, то

Користуючись цими формулами, можна вичислити час падіння тіла із заданої висоти, швидкість тіла, що падає, у будь-якій точці і у будь-який момент часі і т. д.

ЗАДАЧА:

Підйомний кран рівномірно опускає контейнер. З контейнера випала цеглина. Через скільки часу цеглина впала на землю, якщо у момент його удару об землю контейнер знаходився на висоті 20 м над землею ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виберемо в якості початку відліку точку О, в якій знаходився контейнер в мить, коли випала цеглина (цю точку ми вважаємо нерухомою відносно землі, так що тілом відліку фактично є земля), і направимо вісь Х по вертикалі вниз.

Позначимо висоту точки О над поверхнею Землі через Н.

Висоту контейнера у момент падіння цеглини на землю позначимо h, а швидкість рівномірного руху контейнера вниз через v₀. Тоді можна написати

За час t падіння цеглини контейнер вчинив переміщення

H – h = v₀t,

звідки

H = h + v₀t.

Підставивши це значення Н у формулу

отримаємо:

звідки

Оскільки h = 20 м,

а g = 9,8 м/сек², то

Це завдання можна вирішити коротше, якщо вибрати в якості тіла відліку контейнер, що рухається. Відносно нього швидкість цеглини у той момент, коли він випав з контейнера, дорівнює нулю: v₀ = 0. Отже, переміщення h цеглини відносно контейнера визначається по формулі

Який результат дає для t ця формула, ми вже бачили.

ЗАДАЧА:

З аеростата, що знаходиться на висоті h = 300 м, впав камінь. Через який час камінь досягне землі, якщо:

1) аеростат нерухомий

2) аеростат опускається із швидкістю v₀ = 4,9 м/сек

3) аеростат піднімається із швидкістю v₀ = 4,9 м/сек.

Опором повітря нехтувати.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У першому випадку (аеростат нерухомий) камінь вільно падає і час його падіння визначається по формулі:

У другому випадку (аеростат опускається) камінь падає рівноприскорено з початковою швидкістю v₀, рівній швидкості опускання аеростата. Час падіння визначається з формули шляху рівноприскореного руху з початковою швидкістю

Вирішуючи квадратне рівняння, відносно часу, отримуємо

Чисельне значення часу рівне

У третьому випадку (аеростат піднімається) камінь в плині часу

рівноприскорено рухається вгору, а потім в плині часу, рівного

t₂ = t₁ + t

(де t₁ – час падіння каменю до висоти, на якій він випав з аеростата; t – час падіння з цієї висоти до поверхні землі) рівноприскорено рухається вниз. Чисельне значення часу

t₂ = 0,5 сек + 7,3 сек = 7,8 сек.

Отже, камінь впаде на землю через

t₂ + t₁ = 0,5 сек + 7,8 сек = 8,3 сек.

ПРИМІТКА. Час падіння каменю, кинутого з аеростата під час підйому, можна визначити інакше. Камінь одночасно бере участь в двох рухах: рівномірному, яке спрямоване вертикально вгору і має швидкість v₀, і у вільному падінні. Обидва рухи відбуваються по одній і тій же прямій, і для шуканого часу t шлях першого менше, ніж другого, на величину h; т. е. має місце рівність

Звідси легко визначити час t.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору.

Часткою випадком рівнозмінного руху є рух тіла, кинутого вертикально вгору.

Саме по собі тіло вгору, як відомо, не рухається. Його треба <<кинути>>, т. е. повідомити йому деяку початкову швидкість

спрямовану по вертикалі вгору.

Кинуте вгору тіло рухається, як показує досвід, з таким же прискоренням, як і тіло, що вільно падає. Це прискорення рівне

і спрямовано вертикально вниз. Рух тіла, кинутого вгору, - цей теж прямолінійний рівноприскорений рух, і формули, які були написані для вільного падіння тіла, придатні для опису руху тіла, кинутого вгору. Але при написанні формул потрібно врахувати, що вектор прискорення спрямований проти вектору початковій швидкості: швидкість тіла по абсолютному значенню не збільшується, а зменшується. Тому, якщо вісь координат направити вгору, проекція початкової швидкості

буде позитивна, а проекція прискорення

буде негативна, і формули наберуть вигляду:

Оскільки тіло, кинуте вгору, рухається зі швидкістю, що зменшується, то настане такий момент, коли швидкість стане рівною нулю. У цей момент тіло знаходитиметься на максимальній висоті. Підставивши у формулу

v = v₀– gt

значення v = 0, отримаємо:

v₀= gt.

Звідси можна знайти час, який потрібно для того, щоб тіло піднялося до максимальної висоти:

Максимальну висоту визначаємо з формули

Підставивши в неї

Отримаємо:

Після того, як тіло досягне висоти h_макс, воно почне падати вниз, проекція його швидкості стане негативною, а за абсолютною величиною зростатиме, висота ж зменшуватиметься з часом згідно з формулою

Користуючись формулами

легко переконатися в тому, що

швидкість тіла у момент його падіння на землю або взагалі туди, звідки воно було кинуте (при h = 0), рівна за абсолютною величиною початкової швидкості v0, а час падіння тіла дорівнює часу його підйому.

ЗАДАЧА:

Тіло кинуте вертикально вгору із швидкістю 25 м/сек. Яка швидкість тіла через 4 сек ? Яке переміщення вчинить тіло і яке довжина шляху, пройденого тілом за цей час ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Швидкість тіла обчислюється за формулою

v = v₀– gt

До результату четвертої секунди

v = 25 м/сек – 9,8 м/сек² × 4 сек ≈ –15 м/сек.

Знак <<–>> означає, що швидкість спрямована проти координатної осі, спрямованої вгору, т. е. у кінці четвертої секунди тіло вже рухалося вниз, пройшовши через вищу точку свого підйому. Величину переміщення тіла знайдемо по формулі

звідки

Це переміщення відлічується від того місця, звідки тіло було кинуте. Але у цей момент тіло вже рухалося вниз. Тому довжина пройденого тілом шляху дорівнює максимальній висоті підйому плюс відстань, на яку воно встигло опуститися вниз: