Урок 2. Способы задания последовательностей

Задать последовательность – значит указать правило  f, по которому каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие одно и только одно число  u_n. Существует много способов задания последовательностей. Укажем основные из них.

Задание последовательности путём перечисления её членов в порядке возрастания их номеров.

ПРИМЕР:

Последовательность  (a_n):

1;  4;  9;  16;  25;  36;  49;  64;  81;  100;

В этом случае используется табличный способ задания функции.

Задание последовательности описанием.

ПРИМЕР:

Членами последовательности  (с_n)  являются взятые в порядке возрастания простые числа, меньше  20.

С помощью этого описания легко найти, что

с₁ = 2;  с₂ = 3;  с₃ = 5;  с₄ = 7,

с₅ = 11;  с₆ = 13;  с₇ = 17;  с₈ = 19.

Последовательность  (с_n)  конечная. Число её членов равно  8.

С помощью описания можно задать и бесконечную последовательность.

ПРИМЕР:

Последовательность  (d_n)  такова, что каждый её член записывается с помощью цифры  2  и число цифр равно номеру члена последовательности.

Это описание позволяет найти любой член последовательности:

d₁ = 2;  d₂ = 22;  d₃ = 222; …;  d_n = 22 … 2; … ,

ПРИМЕР:

Каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие число, которое изображается цифрой, стоящей на  n-у месте после запятой в записи  ²/₇  в виде десятичной дроби. 

После преобразования  ²/₇  у десятичную дробь получим:

²/₇ = 0,(285714).

u₁ = 2, u₂ = 8, u₃ = 5, u₄ = 7,

u₅ = 1, u₆ = 4, u₇ = 2, u₈ = 8, …

Задание последовательности формулой.

Иногда последовательность можно задать формулой  (аналитически), когда с помощью какого-нибудь натурального числа  n  можно найти  u_n. Эта формула

u_n = f(n)

называется формулой общего вида последовательности.

Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер  n, называется формулой  n -го члена последовательности.

ПРИМЕР:

Правило  f  формулируется так:

<<каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие обратное до него число>>

то есть это правило можно выразить формулой

Заданная последовательность имеет вид

ПРИМЕР:

Последовательность  (b_n)  такова, что для каждого номера  n  соответствует член  b_n  можно найти по формуле:

b_n = n² – n + 1.

Подставляя в формулу вместо  n  последовательно натуральные числа

1,  2,  3,  4, …,

получим:

b₁ = 1² – 1 + 1 = 1,

b₂ = 2² – 2 + 1 = 3,

b₃ = 3² – 3 + 1 = 7,

b₄ = 4² – 4 + 1 = 13   и т. д.

ПРИМЕР:

Формулой

задаётся бесконечная последовательность, члены которой – арифметические квадратные корни из натуральных чисел:

 √͞͞͞͞͞1 ;  √͞͞͞͞͞2 ;  √͞͞͞͞͞3 ;  √͞͞͞͞͞4 ; … .

ПРИМЕР:

Формулой

x_n = (–1)ⁿ10

задаётся бесконечная последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны –10, а с чётными равны  10;

–10;  10;  –10;  10; … .

• Задания к уроку 2

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии