Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 17 апреля 2019 г.

Урок 2. Способы задания последовательностей

Задать последовательность – значит указать правило  f, по которому каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие одно и только одно число  un. Существует много способов задания последовательностей. Укажем основные из них.

Задание последовательности путём перечисления её членов в порядке возрастания их номеров.

ПРИМЕР:

Последовательность  (an):

1;  4;  9;  16;  25;  36;  49;  64;  81;  100;

В этом случае используется табличный способ задания функции.
Задание последовательности описанием.

ПРИМЕР:

Членами последовательности  (сn)  являются взятые в порядке возрастания простые числа, меньше  20.

С помощью этого описания легко найти, что

с1 = 2;  с2 = 3;  с3 = 5;  с4 = 7,
с5 = 11;  с6 = 13;  с7 = 17;  с8 = 19.

Последовательность  (сn)  конечная. Число её членов равно  8.

С помощью описания можно задать и бесконечную последовательность.

ПРИМЕР:

Последовательность  (dn)  такова, что каждый её член записывается с помощью цифры  2  и число цифр равно номеру члена последовательности.

Это описание позволяет найти любой член последовательности:

d1 = 2;  d2 = 22;  d3 = 222; …;  dn = 22 … 2; … ,

ПРИМЕР:

Каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие число, которое изображается цифрой, стоящей на  n-у месте после запятой в записи  2/7  в виде десятичной дроби. 

После преобразования  2/7  у десятичную дробь получим:

2/7 = 0,(285714).
u1 = 2, u2 = 8, u3 = 5, u4 = 7,
u5 = 1, u6 = 4, u7 = 2, u8 = 8, …

Задание последовательности формулой.

Иногда последовательность можно задать формулой  (аналитически), когда с помощью какого-нибудь натурального числа  n  можно найти  un. Эта формула

un = f(n)

называется формулой общего вида последовательности.

Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер  n, называется формулой  n -го члена последовательности.

ПРИМЕР:

Правило  f  формулируется так:
<<каждому натуральному числу  n  поставлено в соответствие обратное до него число>>
то есть это правило можно выразить формулой
Заданная последовательность имеет вид
ПРИМЕР:

Последовательность  (bn)  такова, что для каждого номера  n  соответствует член  bn  можно найти по формуле:

bn = n2 n + 1.

Подставляя в формулу вместо  n  последовательно натуральные числа

1,  2,  3,  4, …,

получим:

b1 = 12 – 1 + 1 = 1,
b2 = 22 – 2 + 1 = 3,
b3 = 32 – 3 + 1 = 7,
b4 = 42 – 4 + 1 = 13   и т. д.

ПРИМЕР:

Формулой
задаётся бесконечная последовательность, члены которой – арифметические квадратные корни из натуральных чисел:

 √͞͞͞͞͞1 √͞͞͞͞͞2 √͞͞͞͞͞3 √͞͞͞͞͞4 ; … .

ПРИМЕР:

Формулой

xn = (–1)n10

задаётся бесконечная последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны –10, а с чётными равны  10;

–10;  10;  –10;  10; … .
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий