Урок 2. Способи завдання числової послідовності

Задати послідовність – значить вказати правило  f, за яким кожному натуральному числу  n  поставлено у відповідність одне і тільки одне число  u_n. Існує багато способів завдання послідовності. Вкажемо основні з них.

Завдання послідовності шляхом перерахування її членів в порядку зростання їх номерів.

ПРИКЛАД:

Послідовність  (a_n):

1;  4;  9;  16;  25;  36;  49;  64;  81;  100;

В цьому випадку використовується табличний спосіб завдання функції.

Завдання послідовності описом.

ПРИКЛАД:

Членами послідовності  (с_n)  є узяті в порядку зростання прості числа, менше  20.

За допомогою цього опису легко знайти, що

с₁ = 2;  с₂ = 3;  с₃ = 5;  с₄ = 7,

с₅ = 11;  с₆ = 13;  с₇ = 17;  с₈ = 19.

Послідовність  (с_n)  кінцева. Число її членів рівне  8.

За допомогою опису можна задати і нескінченну послідовність.

ПРИКЛАД:

Послідовність  (d_n)  така, що кожен її член записується за допомогою цифри  2  і число цифр дорівнює номеру члена послідовності.

Цей опис дозволяє знайти будь-який член послідовності:

d₁ = 2;  d₂ = 22;  d₃ = 222; …;  d_n = 22 … 2; … ,

ПРИКЛАД:

Кожному натуральному числу  n  поставлено у відповідність число, яке зображується цифрою, що стоїть на  n-у місці після коми в записі  ²/₇  у вигляді десяткового дробу. 

Після перетворення  ²/₇  у десятковий дріб достанемо:

²/₇ = 0,(285714).

u₁ = 2, u₂ = 8, u₃ = 5, u₄ = 7,

u₅ = 1, u₆ = 4, u₇ = 2, u₈ = 8, …

Завдання послідовності формулою.

Іноді послідовність можна задати формулою  (аналітично), за допомогою якої для будь-якого натурального числа  n  можна обчислити  u_n. Ця формула

u_n = f(n)

називається формулою загального числа послідовності.

Формула, що виражає кожен член послідовності через його номер  n, називається формулою  n -го члена послідовності.

ПРИКЛАД:

Завдання послідовності формулою.

Правило  f  формулюється так:

Кожному натуральному число  n  поставлено  у відповідність обернене до нього число

тобто це правило можна виразити формулою

Задана послідовність має вигляд

ПРИКЛАД:

Послідовність  (b_n)  така, що для кожного номера  n  відповідає член  b_n  можна знайти по формулі:

b_n = n² – n + 1.

Підставляючи у формулу замість  n  послідовно натуральні числа

1,  2,  3,  4, …,

отримаємо:

b₁ = 1² – 1 + 1 = 1,

b₂ = 2² – 2 + 1 = 3,

b₃ = 3² – 3 + 1 = 7,

b₄ = 4² – 4 + 1 = 13   и т. д.

ПРИКЛАД:

Формулою

задається нескінченна послідовність, члени якої – арифметичні квадратні корені з натуральних чисел:

 √͞͞͞͞͞1 ;  √͞͞͞͞͞2 ;  √͞͞͞͞͞3 ;  √͞͞͞͞͞4 ; … .

ПРИКЛАД:

Формулою

x_n = (–1)ⁿ10

задається нескінченна послідовність, усі члени якої з непарними номерами рівні  –10, а з парними рівні  10:

–10;  10;  –10;  10; … .

Завдання до уроку 2
Інші уроки:

• Урок 1. Поняття послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
• Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії