Задания к уроку 3. Рекуррентный способ задания последовательности

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Рекуррентный способ задания последовательности

Задание 1.

 1. Выпишите пять членов последовательности, если известно, что первый член равен  4, а каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа  12.

 а)  4; 16; 28; 40; 52; … .;

 б)  4; 18; 28; 40; 52; … .;

 в)  4; 16; 28; 42; 52; … .;

 г)  4; 16; 24; 40; 52; … .

 2. Выпишите пять членов последовательности, если известно, что первый член последовательности равен  10, а каждый член, начиная со второго, получается делением предыдущего на число  2.

а)  10; 5; 2,5; 1,25; 0,65; … .;

б)  10; 5; 2,5; 1,2; 0,625; … .;

в)  10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; … .;

г)  10; 5; 2,7; 1,25; 0,625; … .

 3. Найдите первые пять членов последовательности  (a_n), заданной рекуррентным способом:

a₁ = 1,  a_n+1 = a_n + 1.

 а)  1; 2; 2; 4; 5; … .;      

 б)  1; 2; 3; 4; 6; … .;

 в)  1; 2; 4; 4; 5; … .;      

 г)  1; 2; 3; 4; 5; … .

 4. Найдите первые пять членов последовательности  (a_n), заданной рекуррентным способом:

a₁ = –5,  a_n+1 = 2a_n.

а)  –5; –15; –20; –40; –80; … .;

б)  –5; –10; –20; –40; –80; … .;

в)  –5; –10; –30; –40; –80; … .;

г)  –5; –10; –20; –40; –60; … .

 5. Найдите первые пять членов последовательности  (a_n), заданной рекуррентным способом:

a₁ = ¹/₆,  a_n+1 = –a_n.

а)  ¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; ¹/₆; … .;

б)  ¹/₆; –¹/₆; ¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; … .;

в)  ¹/₆; –¹/₆; ¹/₆; –¹/₆; ¹/₆; … .;

г)  ¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; –¹/₆; … .

 6. Выпишите пять первых членов последовательности  (с_n), если:

с₁ = 13, с₂ = 6,  с_n+2 = с_n – с_n+1.

 а)  13; 6; 7; –1; –8; … .;     

 б)  13; –6; 7; –1; –8; … .;     

 в)  13; 6; 7; –1; 8; … .;     

 г)  13; 6; 7; 1; 8; … .

Последовательность  (а_n)  задана рекуррентным способом.

 7. Выпишите шесть первых членов последовательности:

а₁ = 2,  а_n+1 × а_n = 1.

 а)  2; ¹/₂; 1; ¹/₂; 2; ¹/₂; … .;      

 б)  2; ¹/₂; 2; ¹/₄; 2; ¹/₈; … .;

 в)  2; ¹/₂; 2; ¹/₂; 1; ¹/₂; … .;      

 г)  2; ¹/₂; 2; ¹/₂; 2; ¹/₂; … .

 8. Выпишите шесть первых членов последовательности:

а₁ = 1, а₂ = 2,  
а_n × а_n+1 × а_n+2 = 6.

 а)  1; 2; 3; 4; 2; 3; … .;      

 б)  1; 2; 3; 3; 2; 1; … .;

 в)  1; 2; 3; 1; 2; 3; … .;      

 г)  1; 2; 3; 4; 5; 6; … .

Последовательность  (u_n)  задана рекуррентным способом.

 9. Выпишите пять первых членов последовательности:

u₁ = 10,  u_n+1 = u_n × 10.

 а)  10; 100; 1000; 10000; 100000; … .;      

 б)  10; 1000; 100; 10000; 100000; … .;

 в)  10; 100; 1000; 100000; 10000; … .;      

 г)  10; 200; 3000; 40000; 500000; … .

10. Задайте последовательность формулой  n-го члена:

u₁ = 10,  u_n+1 = u_n × 10.

11. Выпишите пять первых членов последовательности:

u₁ = 2,  u_n+1 = u_n + 2.

 а)  2; 3; 4; 5; 10; … .;      

 б)  2; 4; 6; 8; 12; … .;

 в)  2; 4; 6; 8; 10; … .;      

 г)  2; 4; 5; 8; 10; … .

12. Задайте последовательность формулой  n-го члена:

u₁ = 2,  u_n+1 = u_n + 2.

 а)  u_n = u_n+1 + 2;      

 б)  u_n = u_n+1 – 2;

 в)  u_n = u_n+1 – 1;      

 г)  u_n = u_n+1 + 1.

Задание 2.

 1. Последовательность  (a_n)  определена как

a₁ = 137  и  
a_n+1 – a_n = 0  для  n ≥ 1.

Найдите  а₈₉₉₉.

 а)  8999;      
 б)  0;     

 в)  137;        
 г)  1.

 2. Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом.

Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.

 а)  2, 1, 2, 2, 4, 8. 32, … .;     

 б)  2, 1, 2, 3, 4, 8. 32, … .;     

 в)  2, 1, 2, 2, 4, 9. 32, … .;     

 г)  2, 1, 2, 2, 4, 8. 30, … .

 3. Числовая последовательность  (a_n)  задана формулой  n-го члена

a_n = (n – 1)( n + 4).

Будет или нет число  150  членом этой последовательности ?

 а)  ;       
 б)  нет;

 в)  ;       
 г)  да.

 4. Числовая последовательность  (a_n)  задана формулой  n-го члена

a_n = (n – 1)( n + 4).

Будет или нет число  8  членом этой последовательности ?

 а)  ;       
 б)  нет;

 в)  ;       
 г)  да.

 5. Выписать первые четыре члена последовательности  (a_n), если

a₁ = 7  и  a_n+1 = 5 + a_n.

 а)  7; 12; 19; 22; … .;      

 б)  7; 12; 17; 24; … .;

 в)  7; 12; 17; 22; … .;      

 г)  7; 13; 17; 22; … .

 6. Последовательность  (a_n)  определена как 

а₁ = 6 + √͞͞͞͞͞3,  
а₂ =15

и рекуррентное соотношение есть  а,

(2 + √͞͞͞͞͞3)a_n+1 + 2√͞͞͞͞͞3a_n = 0.

Найдите значение  а₈.

 а)  849;      
 б)  853;     

 в)  838;      
 г)  842.

 7. Найдите  a₇, если   

a₁ = 3, a₂ = 7  и 

a_n+2 – 4a_n+1 + 4a_n = 0.

 а)  392;      
 б)  380;     

 в)  384;      
 г)  388.

 8. Задайте последовательность рекуррентным способом:

²/₃;  6;  ²/₃;  6;  ²/₃;  6;  ²/₃;  6;

 а)  а₁ = ²/₃,  a_n+1 × a_n = 4;      

 б)  а₁ = ²/₃,  a_n+1 : a_n = 1;

 в)  а₁ = ²/₃,  a_n+1 × a_n = 1;      

 г)  а₁ = ²/₃,  a_n+1 : a_n = 4.

 9. Пусть последовательность  (a_n)  определена следующим:

а₁ = 1, а₂ = 1, и  

a_n+2 – a_n+1 – a_n = 0.

Она убывающая или возрастающая ?

 а)  убывающая;            
 б)  ;     

 в)  возрастающая;      
 г)  .

10. Найдите  a₁₁, если   

a₁ = 1, a₂ = 1  и 

a_n + a_n-1 = 2ⁿ.

 а)  688;      
 б)  683;     

 в)  679;     
 г)  686.

11. Пусть (a_n) есть числовой последовательностью, определённой рекуррентным соотношением:

а₁ = 1, и

Она убывающая или возрастающая ?

 а)  убывающая;            
 б)  ;     

 в)  возрастающая;      
 г)  .

12. Найти первые  5  члена последовательности, которая задана рекуррентно

p₁ = 10, p₂ = 1,

p_k+1 = 2p_k-1 – p_k.

 а)  10, 1, 19, –15, 55;     

 б)  10, 1, 19, –17, 55;     

 в)  10, 1, 19, –17, 53;     

 г)  10, 1, 13, –17, 55.

Задание 3.

Последовательность задана в рекуррентном виде:

 у₁ = 5,  у_n = у_n-1 – 3.

Если  n = 2, 3, 4, … .

 1. Найти  5  член последовательности.

 а)  –6;       
 б)  –7;

 в)  –5;       
 г)  –9.

 2. Найти  11  член последовательности.

 а)  –26;       
 б)  –28;

 в)  –31;       
 г)  –25.

 3. Найти  12  член последовательности.

 а)  –28;       
 б)  –25;

 в)  –33;       
 г)  –31.

 4. Выпишите пять первых членов последовательности:

b₁ = –2,  b₂ = 3,  

b_n+2 = 2b_n + b_n+1.

 а)  –2; 3; –1; 5; –3; … .;      

 б)  –2; 3; –1; –5; 3; … .;

 в)  –2; 3; –1; 5; 3; … .;      

 г)  –2; 3; 1; 5; 3; … .

 5. Найдите  а₄, если

a₁ = 0,  a₂ = 1,  

a_n+2 = 2a_n+1 – a_n.

 а)  4;       
 б)  3;

 в)  1;       
 г)  2.

 6. Найдите  а₆, если

a₁ = 0,  a₂ = 1,  

a_n+2 = a_n+1×a_n + 1.

 а)  6;       
 б)  5;

 в)  9;       
 г)  7.

7. Найдите  у₄, если  

у₁ = 2  и 

у_n = у_n-1 + 2.

 а)  8;      
 б)  4;     

 в)  5;      
 г)  6.

 8. Найдите  у₆, если  

у₁ = 2, у₂ = 4  и 

у_n = у_n-2 – у_n-1.

 а)  4;      
 б)  –2;     

 в)  2;      
 г)  –4.

Последовательность  (с_n)  задана рекуррентным способом.

 9. Выпишите пять первых членов последовательности:

с₁ = –4,  с_n-1 = с_n – 4.

 а) –4; –8; –12; –18; –20;      

 б)  –4; –8; –12; –16; –22;

 в)  –4; –6; –12; –16; –20;      

 г)  –4; –8; –12; –16; –20;.

10. Задайте последовательность формулой  n-го члена:

с₁ = –4,  с_n+1 = с_n – 4.

 а)  с_n = с_n+1 – 4;      

 б)  с_n = с_n+1 × 4;

 в)  с_n = с_n+1 + 4;      

 г)  с_n = с_n+1 : 4.

11. Выпишите пять первых членов последовательности:

с₁ = 2,  с_n+1 = ¹/₂ с_n + 1.

 а)  2; 1; 2; 1; 2;      

 б)  2; 2; 2; 2; 2;

 в)  2; 3; 2; 3; 2;      

 г)  2; 4; 2; 4; 2.

12. Задайте последовательность формулой  n-го члена:

с₁ = 2,  с_n+1 = ¹/₂ с_n + 1.

 а)  с_n = 2(с_n+1 – 1);      

 б)  с_n = ¹/₂ (с_n+1 + 1);

 в)  с_n = ¹/₂ (с_n+1 – 1);      

 г)  с_n = 2(с_n+1 + 1).